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スターデルタ変換(Y→Δ変換)

次の左の図のような接続をスター結線($\mathrm{Y}$結線)、右の図のような接続をデルタ結線($\Delta$結線)といいます。

 

スター結線とデルタ結線

 

スター結線($\mathrm{Y}$結線)は、ワイ結線、または星形結線とも呼ばれます。また、デルタ結線($\Delta$結線)は、三角結線とも呼ばれます。

 

このスター結線($\mathrm{Y}$結線)とデルタ結線($\Delta$結線)は互いに等価な回路に変換することができ、スター結線($\mathrm{Y}$結線)を等価なデルタ結線($\Delta$結線)に変換するとき、この変換をスターデルタ変換($\mathrm{Y}$→$\Delta$変換)といいます。

 

スターデルタ変換

 

スターデルタ変換は、スターデルタ等価変換と呼ばれることもあります。また、$\mathrm{Y}$→$\Delta$変換は、矢印ではなくハイフンで$\mathrm{Y}$-$\Delta$変換と表記されることもあります。

 

スターデルタ変換($\mathrm{Y}$→$\Delta$変換)のやり方はそれほど難しくはなく、スターデルタ変換の式を使って計算するだけで変換後のデルタ結線($\Delta$結線)の回路を求めることができます。

 

ここでは、スター結線($\mathrm{Y}$結線)をデルタ結線($\Delta$結線)に変換するときに使う変換式をスターデルタ変換の式と呼ぶことにします。

 

例えば次のように、$R_{\mathrm{YA}}$[$\Omega$]、$R_{\mathrm{YB}}$[$\Omega$]、$R_{\mathrm{YC}}$[$\Omega$]の抵抗がスター結線($\mathrm{Y}$結線)されている回路があるすると、

 

スター結線の回路

 

この回路のスターデルタ変換後のデルタ結線($\Delta$結線)の各抵抗値( $R_{\Delta\mathrm{AB}}$[$\Omega$]、$R_{\Delta\mathrm{BC}}$[$\Omega$]、$R_{\Delta\mathrm{CA}}$[$\Omega$])は、

 

スター結線とデルタ結線(デルタ結線の各抵抗値)

 

それぞれ次の①〜③式(スターデルタ変換の式)で与えられます。

 

$R_{\Delta\mathrm{AB}} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}{R_{\mathrm{YC}}}$ …① (変換後のデルタ結線の抵抗 $R_{\Delta\mathrm{AB}}$

 

$R_{\Delta\mathrm{BC}} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}{R_{\mathrm{YA}}}$ …② (変換後のデルタ結線の抵抗 $R_{\Delta\mathrm{BC}}$

 

$R_{\Delta\mathrm{CA}} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}{R_{\mathrm{YB}}}$ …③ (変換後のデルタ結線の抵抗 $R_{\Delta\mathrm{CA}}$

 

つまり、この①〜③式に変換前のスター結線($\mathrm{Y}$結線)の各抵抗値を代入すれば、変換後のデルタ結線($\Delta$結線)の各抵抗値が求められます。

 

スターデルタ変換後のデルタ結線の各抵抗値

 

なお、3つの抵抗が同じ場合は、$R_{\mathrm{YA}}$ $=R_{\mathrm{YB}}$ $=R_{\mathrm{YC}}$ $=R_{\mathrm{Y}}$[$\Omega$]とすると、

 

$R_{\Delta\mathrm{AB}} =\dfrac{R_{\mathrm{Y}} R_{\mathrm{Y}} +R_{\mathrm{Y}} R_{\mathrm{Y}} +R_{\mathrm{Y}} R_{\mathrm{Y}}}{R_{\mathrm{Y}}}$ (①式の $R_{\mathrm{YA}}$ 、$R_{\mathrm{YB}}$ 、$R_{\mathrm{YC}}$ に $R_{\mathrm{Y}}$ を代入した

 

$=\dfrac{3R_{\mathrm{Y}} R_{\mathrm{Y}}}{R_{\mathrm{Y}}} =3R_{\mathrm{Y}}$

 

$\therefore R_{\Delta\mathrm{AB}} =3R_{\mathrm{Y}}$

 

$R_{\Delta\mathrm{BC}} =\dfrac{R_{\mathrm{Y}} R_{\mathrm{Y}} +R_{\mathrm{Y}} R_{\mathrm{Y}} +R_{\mathrm{Y}} R_{\mathrm{Y}}}{R_{\mathrm{Y}}}$ (②式の $R_{\mathrm{YA}}$ 、$R_{\mathrm{YB}}$ 、$R_{\mathrm{YC}}$ に $R_{\mathrm{Y}}$ を代入した

 

$=\dfrac{3R_{\mathrm{Y}} R_{\mathrm{Y}}}{R_{\mathrm{Y}}} =3R_{\mathrm{Y}}$

 

$\therefore R_{\Delta\mathrm{BC}} =3R_{\mathrm{Y}}$

 

$R_{\Delta\mathrm{CA}} =\dfrac{R_{\mathrm{Y}} R_{\mathrm{Y}} +R_{\mathrm{Y}} R_{\mathrm{Y}} +R_{\mathrm{Y}} R_{\mathrm{Y}}}{R_{\mathrm{Y}}}$ (③式の $R_{\mathrm{YA}}$ 、$R_{\mathrm{YB}}$ 、$R_{\mathrm{YC}}$ に $R_{\mathrm{Y}}$ を代入した

 

$=\dfrac{3R_{\mathrm{Y}} R_{\mathrm{Y}}}{R_{\mathrm{Y}}} =3R_{\mathrm{Y}}$

 

$\therefore R_{\Delta\mathrm{CA}} =3R_{\mathrm{Y}}$

 

となるので、スターデルタ変換後のデルタ結線($\Delta$結線)の抵抗値は、スター結線($\mathrm{Y}$結線)の抵抗値の $3$ 倍になります。

 

3つの抵抗が同じ場合はスターデルタ変換後のデルタ結線の抵抗値は3倍になる

 

また、回路が抵抗のみの回路ではなくインピーダンスの場合も同様にスターデルタ変換($\mathrm{Y}$→$\Delta$変換)することができ、インピーダンスの場合のスターデルタ変換の式は次の④〜⑥式で与えられます。

 

スター結線とデルタ結線(デルタ結線の各インピーダンス)

 

$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}$ …④ (変換後のデルタ結線のインピーダンス $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}$

 

$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$ …⑤ (変換後のデルタ結線のインピーダンス $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}$

 

$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}}}$ …⑥ (変換後のデルタ結線のインピーダンス $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}$

 

なお、3つのインピーダンスが同じ場合は、$\dot{Z}_{\mathrm{YA}}$ $=\dot{Z}_{\mathrm{YB}}$ $=\dot{Z}_{\mathrm{YC}}$ $=\dot{Z}_{\mathrm{Y}}$[$\Omega$]とすると、

 

$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{Y}} \dot{Z}_{\mathrm{Y}} +\dot{Z}_{\mathrm{Y}} \dot{Z}_{\mathrm{Y}} +\dot{Z}_{\mathrm{Y}} \dot{Z}_{\mathrm{Y}}}{\dot{Z}_{\mathrm{Y}}}$ (④式の $\dot{Z}_{\mathrm{YA}}$ 、$\dot{Z}_{\mathrm{YB}}$ 、$\dot{Z}_{\mathrm{YC}}$ に $\dot{Z}_{\mathrm{Y}}$ を代入した

 

$=\dfrac{3\dot{Z}_{\mathrm{Y}} \dot{Z}_{\mathrm{Y}}}{\dot{Z}_{\mathrm{Y}}} =3\dot{Z}_{\mathrm{Y}}$

 

$\therefore \dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} =3\dot{Z}_{\mathrm{Y}}$

 

$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{Y}} \dot{Z}_{\mathrm{Y}} +\dot{Z}_{\mathrm{Y}} \dot{Z}_{\mathrm{Y}} +\dot{Z}_{\mathrm{Y}} \dot{Z}_{\mathrm{Y}}}{\dot{Z}_{\mathrm{Y}}}$ (⑤式の $\dot{Z}_{\mathrm{YA}}$ 、$\dot{Z}_{\mathrm{YB}}$ 、$\dot{Z}_{\mathrm{YC}}$ に $\dot{Z}_{\mathrm{Y}}$ を代入した

 

$=\dfrac{3\dot{Z}_{\mathrm{Y}} \dot{Z}_{\mathrm{Y}}}{\dot{Z}_{\mathrm{Y}}} =3\dot{Z}_{\mathrm{Y}}$

 

$\therefore \dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} =3\dot{Z}_{\mathrm{Y}}$

 

$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{Y}} \dot{Z}_{\mathrm{Y}} +\dot{Z}_{\mathrm{Y}} \dot{Z}_{\mathrm{Y}} +\dot{Z}_{\mathrm{Y}} \dot{Z}_{\mathrm{Y}}}{\dot{Z}_{\mathrm{Y}}}$ (⑥式の $\dot{Z}_{\mathrm{YA}}$ 、$\dot{Z}_{\mathrm{YB}}$ 、$\dot{Z}_{\mathrm{YC}}$ に $\dot{Z}_{\mathrm{Y}}$ を代入した

 

$=\dfrac{3\dot{Z}_{\mathrm{Y}} \dot{Z}_{\mathrm{Y}}}{\dot{Z}_{\mathrm{Y}}} =3\dot{Z}_{\mathrm{Y}}$

 

$\therefore \dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} =3\dot{Z}_{\mathrm{Y}}$

 

となるので、スターデルタ変換後のデルタ結線($\Delta$結線)のインピーダンスは、スター結線($\mathrm{Y}$結線)のインピーダンスの $3$ 倍になります。(抵抗のみの回路の場合と同じで $3$ 倍になる。)

 

3つのインピーダンスが同じ場合はスターデルタ変換後のデルタ結線のインピーダンスは3倍になる

 

では続いて、回路が「抵抗のみの場合」と「インピーダンスの場合」のスターデルタ変換の式(①〜⑥式)の導出方法について解説します。

 

 

スターデルタ変換の式の導出(回路が抵抗のみの場合)

 

スター結線とデルタ結線(回路が抵抗のみの場合)

 

スター結線($\mathrm{Y}$結線)とデルタ結線($\Delta$結線)が互いに等価である場合、

  • スター結線($\mathrm{Y}$結線)とデルタ結線($\Delta$結線)それぞれの端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{C}$ 間を短絡し、短絡した端子を $\mathrm{A}^\prime$ としたとき、「スター結線($\mathrm{Y}$結線)の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{A}^\prime$ 間のコンダクタンス」と「デルタ結線($\Delta$結線)の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{A}^\prime$ 間のコンダクタンス」は等しくなる
    スター結線とデルタ結線の端子A-A'間のコンダクタンスは等しくなる
  • スター結線($\mathrm{Y}$結線)とデルタ結線($\Delta$結線)それぞれの端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{A}$ 間を短絡し、短絡した端子を $\mathrm{B}^\prime$ としたとき、「スター結線($\mathrm{Y}$結線)の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{B}^\prime$ 間のコンダクタンス」と「デルタ結線($\Delta$結線)の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{B}^\prime$ 間のコンダクタンス」は等しくなる
    スター結線とデルタ結線の端子B-B'間のコンダクタンスは等しくなる
  • スター結線($\mathrm{Y}$結線)とデルタ結線($\Delta$結線)それぞれの端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{B}$ 間を短絡し、短絡した端子を $\mathrm{C}^\prime$ としたとき、「スター結線($\mathrm{Y}$結線)の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{C}^\prime$ 間のコンダクタンス」と「デルタ結線($\Delta$結線)の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{C}^\prime$ 間のコンダクタンス」は等しくなる
    スター結線とデルタ結線の端子C-C'間のコンダクタンスは等しくなる

という関係が成り立つので、これらの関係を利用すると、回路が抵抗のみの場合のスターデルタ変換の式を導出できます。

 

抵抗の逆数をコンダクタンスといいます。

 

スター結線とデルタ結線の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{A}^\prime$ 間のコンダクタンス

スター結線($\mathrm{Y}$結線)の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{A}^\prime$ 間は「 $R_{\mathrm{YA}}$ 」と「 $R_{\mathrm{YB}}$ と $R_{\mathrm{YC}}$ の並列接続」が直列に接続された回路になっているので、

 

スター結線の端子A-A'間の抵抗の接続

 

スター結線($\mathrm{Y}$結線)の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{A}^\prime$ 間のコンダクタンス $G_{\mathrm{AA}^\prime}$ は、

 

$G_{\mathrm{AA}^\prime} =\dfrac{\dfrac{1}{R_{\mathrm{YA}}}\left(\dfrac{1}{R_{\mathrm{YB}}} +\dfrac{1}{R_{\mathrm{YC}}}\right)}{\dfrac{1}{R_{\mathrm{YA}}} +\left(\dfrac{1}{R_{\mathrm{YB}}} +\dfrac{1}{R_{\mathrm{YC}}}\right)}$ ($\dfrac{1}{R_{\mathrm{YA}}}$ と $\dfrac{1}{R_{\mathrm{YB}}} +\dfrac{1}{R_{\mathrm{YC}}}$ で和分の積

 

$=\dfrac{\dfrac{1}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}}} +\dfrac{1}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YC}}}}{\dfrac{1}{R_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{R_{\mathrm{YB}}} +\dfrac{1}{R_{\mathrm{YC}}}}$

 

$=\dfrac{R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YB}}}{R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}}}$ (分母と分子に $R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}}$ をかけた

 

$\therefore G_{\mathrm{AA}^\prime} =\dfrac{R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$ …⑦ (スター結線の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{A}^\prime$ 間のコンダクタンス

 

となります。

 

⑦式のコンダクタンス $G_{\mathrm{AA}^\prime}$ は、端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{A}^\prime$ 間の合成抵抗が $R_{\mathrm{YA}} +\dfrac{R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YC}}}$ なので、$G_{\mathrm{AA}^\prime} =\dfrac{1}{R_{\mathrm{YA}} +\dfrac{R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YC}}}}$ として $G_{\mathrm{AA}^\prime}$ を求めることもできます。

 

また、デルタ結線($\Delta$結線)の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{A}^\prime$ 間は「 $R_{\Delta\mathrm{AB}}$ 」と「 $R_{\Delta\mathrm{CA}}$ 」が並列に接続された回路になっているので、

 

デルタ結線の端子A-A'間の抵抗の接続

 

この回路の抵抗 $R_{\Delta\mathrm{BC}}$ の両端は短絡されているので、抵抗 $R_{\Delta\mathrm{BC}}$ は無視できます。抵抗が短絡されている場合の回路については、こちらの短絡されている抵抗がある場合の合成抵抗の求め方のページを参考にしてみてください。

 

デルタ結線($\Delta$結線)の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{A}^\prime$ 間のコンダクタンス $G_{\mathrm{AA}^\prime}$ は、

 

$G_{\mathrm{AA}^\prime} =\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{CA}}}$ …⑧ (デルタ結線の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{A}^\prime$ 間のコンダクタンス

 

となります。ここで、スター結線($\mathrm{Y}$結線)とデルタ結線($\Delta$結線)が互いに等価である場合は⑦と⑧は等しくなるので、⑦式と⑧式より次の⑨式が成り立ちます。

 

$\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{CA}}} =\dfrac{R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$ …⑨

 

スター結線とデルタ結線の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{B}^\prime$ 間のコンダクタンス

スター結線($\mathrm{Y}$結線)の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{B}^\prime$ 間は「 $R_{\mathrm{YB}}$ 」と「 $R_{\mathrm{YA}}$ と $R_{\mathrm{YC}}$ の並列接続」が直列に接続された回路になっているので、

 

スター結線の端子B-B'間の抵抗の接続

 

スター結線($\mathrm{Y}$結線)の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{B}^\prime$ 間のコンダクタンス $G_{\mathrm{BB}^\prime}$ は、

 

$G_{\mathrm{BB}^\prime} =\dfrac{\dfrac{1}{R_{\mathrm{YB}}}\left(\dfrac{1}{R_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{R_{\mathrm{YC}}}\right)}{\dfrac{1}{R_{\mathrm{YB}}} +\left(\dfrac{1}{R_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{R_{\mathrm{YC}}}\right)}$ ($\dfrac{1}{R_{\mathrm{YB}}}$ と $\dfrac{1}{R_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{R_{\mathrm{YC}}}$ で和分の積

 

$=\dfrac{\dfrac{1}{R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}}}}{\dfrac{1}{R_{\mathrm{YB}}} +\dfrac{1}{R_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{R_{\mathrm{YC}}}}$

 

$=\dfrac{R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YA}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}}}$ (分母と分子に $R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}}$ をかけた

 

$\therefore G_{\mathrm{BB}^\prime} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$ …⑩ (スター結線の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{B}^\prime$ 間のコンダクタンス

 

となります。

 

⑩式のコンダクタンス $G_{\mathrm{BB}^\prime}$ は、端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{B}^\prime$ 間の合成抵抗が $R_{\mathrm{YB}} +\dfrac{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YC}}}$ なので、$G_{\mathrm{BB}^\prime} =\dfrac{1}{R_{\mathrm{YB}} +\dfrac{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YC}}}}$ として $G_{\mathrm{BB}^\prime}$ を求めることもできます。(コンダクタンスは抵抗の逆数です。)

 

また、デルタ結線($\Delta$結線)の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{B}^\prime$ 間は「 $R_{\Delta\mathrm{AB}}$ 」と「 $R_{\Delta\mathrm{BC}}$ 」が並列に接続された回路になっているので、

 

デルタ結線の端子B-B'間の抵抗の接続

 

デルタ結線($\Delta$結線)の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{B}^\prime$ 間のコンダクタンス $G_{\mathrm{BB}^\prime}$ は、

 

$G_{\mathrm{BB}^\prime} =\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{BC}}}$ …⑪ (デルタ結線の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{B}^\prime$ 間のコンダクタンス

 

となります。ここで、スター結線($\mathrm{Y}$結線)とデルタ結線($\Delta$結線)が互いに等価である場合は⑩と⑪は等しくなるので、⑩式と⑪式より次の⑫式が成り立ちます。

 

$\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{BC}}} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$ …⑫

 

スター結線とデルタ結線の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{C}^\prime$ 間のコンダクタンス

スター結線($\mathrm{Y}$結線)の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{C}^\prime$ 間は「 $R_{\mathrm{YC}}$ 」と「 $R_{\mathrm{YA}}$ と $R_{\mathrm{YB}}$ の並列接続」が直列に接続された回路になっているので、

 

スター結線の端子C-C'間の抵抗の接続

 

スター結線($\mathrm{Y}$結線)の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{C}^\prime$ 間のコンダクタンス $G_{\mathrm{CC}^\prime}$ は、

 

$G_{\mathrm{CC}^\prime} =\dfrac{\dfrac{1}{R_{\mathrm{YC}}}\left(\dfrac{1}{R_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{R_{\mathrm{YB}}}\right)}{\dfrac{1}{R_{\mathrm{YC}}} +\left(\dfrac{1}{R_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{R_{\mathrm{YB}}}\right)}$ ($\dfrac{1}{R_{\mathrm{YC}}}$ と $\dfrac{1}{R_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{R_{\mathrm{YB}}}$ で和分の積

 

$=\dfrac{\dfrac{1}{R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YB}}}}{\dfrac{1}{R_{\mathrm{YC}}} +\dfrac{1}{R_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{R_{\mathrm{YB}}}}$

 

$=\dfrac{R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YA}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YC}}}$ (分母と分子に $R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}}$ をかけた

 

$\therefore G_{\mathrm{CC}^\prime} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YB}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$ …⑬ (スター結線の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{C}^\prime$ 間のコンダクタンス

 

となります。

 

⑬式のコンダクタンス $G_{\mathrm{CC}^\prime}$ は、端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{C}^\prime$ 間の合成抵抗が $R_{\mathrm{YC}} +\dfrac{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}}}{R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YB}}}$ なので、$G_{\mathrm{CC}^\prime} =\dfrac{1}{R_{\mathrm{YC}} +\dfrac{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}}}{R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YB}}}}$ として $G_{\mathrm{CC}^\prime}$ を求めることもできます。(コンダクタンスは抵抗の逆数です。)

 

また、デルタ結線($\Delta$結線)の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{C}^\prime$ 間は「 $R_{\Delta\mathrm{BC}}$ 」と「 $R_{\Delta\mathrm{CA}}$ 」が並列に接続された回路になっているので、

 

デルタ結線の端子C-C'間の抵抗の接続

 

デルタ結線($\Delta$結線)の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{C}^\prime$ 間のコンダクタンス $G_{\mathrm{CC}^\prime}$ は、

 

$G_{\mathrm{CC}^\prime} =\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{BC}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{CA}}}$ …⑭ (デルタ結線の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{C}^\prime$ 間のコンダクタンス

 

となります。ここで、スター結線($\mathrm{Y}$結線)とデルタ結線($\Delta$結線)が互いに等価である場合は⑬と⑭は等しくなるので、⑬式と⑭式より次の⑮式が成り立ちます。

 

$\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{BC}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{CA}}} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YB}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$ …⑮

 

以上⑨式、⑫式、⑮式より、スター結線($\mathrm{Y}$結線)の抵抗( $R_{\mathrm{YA}}$ 、$R_{\mathrm{YB}}$ 、$R_{\mathrm{YC}}$ )とデルタ結線($\Delta$結線)の抵抗( $R_{\Delta\mathrm{AB}}$ 、$R_{\Delta\mathrm{BC}}$ 、$R_{\Delta\mathrm{CA}}$ )の関係式が次のように求められました。

 

$\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{CA}}} =\dfrac{R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$ …⑨

 

$\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{BC}}} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$ …⑫

 

$\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{BC}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{CA}}} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YB}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$ …⑮

 

この3つの式からなる連立方程式を、デルタ結線($\Delta$結線)の抵抗( $R_{\Delta\mathrm{AB}}$ 、$R_{\Delta\mathrm{BC}}$ 、$R_{\Delta\mathrm{CA}}$ )について解きます。

 

⑨式、⑫式、⑮式の3つの式の両辺を足すと、

 

$\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{CA}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{BC}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{BC}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{CA}}}$

$=\dfrac{R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$

$+\dfrac{R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YB}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$

 

$\dfrac{2}{R_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{2}{R_{\Delta\mathrm{BC}}} +\dfrac{2}{R_{\Delta\mathrm{CA}}} =\dfrac{2R_{\mathrm{YA}} +2R_{\mathrm{YB}} +2R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$

 

$2\left(\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{BC}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{CA}}}\right) =\dfrac{2\left( R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YC}}\right)}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$

 

$\therefore\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{BC}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{CA}}} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$ …⑯

 

となります。⑯式から⑮式の両辺を引くと、

 

$\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{BC}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{CA}}} -\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{BC}}} -\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{CA}}}$

$=\dfrac{R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}} -\dfrac{R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YB}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$ (⑯式から⑮式を引くと、左辺は $\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{AB}}}$ だけ残る

 

$\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{AB}}} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YC}} -R_{\mathrm{YA}} -R_{\mathrm{YB}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$

 

$\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{AB}}} =\dfrac{R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$

 

両辺を逆数にすると、

 

$R_{\Delta\mathrm{AB}} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}{R_{\mathrm{YC}}}$

 

$\therefore R_{\Delta\mathrm{AB}} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}{R_{\mathrm{YC}}}$ …⑰ (デルタ結線の抵抗 $R_{\Delta\mathrm{AB}}$

 

となり、この⑰がスターデルタ変換後のデルタ結線($\Delta$結線)の抵抗 $R_{\Delta\mathrm{AB}}$ になります。

 

また、この⑯式から⑨式の両辺を引くと、

 

$\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{BC}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{CA}}} -\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{AB}}} -\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{CA}}}$

$=\dfrac{R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}} -\dfrac{R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$ (⑯式から⑨式を引くと、左辺は $\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{BC}}}$ だけ残る

 

$\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{BC}}} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YC}} -R_{\mathrm{YB}} -R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$

 

$\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{BC}}} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$

 

両辺を逆数にすると、

 

$R_{\Delta\mathrm{BC}} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}{R_{\mathrm{YA}}}$

 

$\therefore R_{\Delta\mathrm{BC}} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}{R_{\mathrm{YA}}}$ …⑱ (デルタ結線の抵抗 $R_{\Delta\mathrm{BC}}$

 

となり、この⑱がスターデルタ変換後のデルタ結線($\Delta$結線)の抵抗 $R_{\Delta\mathrm{BC}}$ になります。

 

また、⑯式から⑫式の両辺を引くと、

 

$\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{BC}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{CA}}} -\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{AB}}} -\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{BC}}}$

$=\dfrac{R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}} -\dfrac{R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$ (⑯式から⑫式を引くと、左辺は $\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{CA}}}$ だけ残る

 

$\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{CA}}} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YC}} -R_{\mathrm{YA}} -R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$

 

$\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{CA}}} =\dfrac{R_{\mathrm{YB}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$

 

両辺を逆数にすると、

 

$R_{\Delta\mathrm{CA}} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}{R_{\mathrm{YB}}}$

 

$\therefore R_{\Delta\mathrm{CA}} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}{R_{\mathrm{YB}}}$ …⑲ (デルタ結線の抵抗 $R_{\Delta\mathrm{CA}}$

 

となり、この⑲がスターデルタ変換後のデルタ結線($\Delta$結線)の抵抗 $R_{\Delta\mathrm{CA}}$ になります。

 

以上⑰式、⑱式、⑲式より、スターデルタ変換後のデルタ結線($\Delta$結線)の抵抗( $R_{\Delta\mathrm{AB}}$ 、$R_{\Delta\mathrm{BC}}$ 、$R_{\Delta\mathrm{CA}}$ )は、次のようにスター結線($\mathrm{Y}$結線)の抵抗( $R_{\mathrm{YA}}$ 、$R_{\mathrm{YB}}$ 、$R_{\mathrm{YC}}$ )で表わすことができ、

 

$R_{\Delta\mathrm{AB}} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}{R_{\mathrm{YC}}}$

 

$R_{\Delta\mathrm{BC}} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}{R_{\mathrm{YA}}}$

 

$R_{\Delta\mathrm{CA}} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}{R_{\mathrm{YB}}}$

 

この3つの式が、回路が抵抗のみの場合のスターデルタ変換の式になります。

 

スターデルタ変換の式(回路が抵抗のみの場合)

 

続いて、「回路がインピーダンスの場合」のスターデルタ変換の式の導出方法について解説しますが、導出方法はここで解説した「回路が抵抗のみの場合」とほぼ同じ(抵抗をインピーダンスに置き換えているだけ)です。

 

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スターデルタ変換の式の導出(回路がインピーダンスの場合)

 

スター結線とデルタ結線(回路がインピーダンスの場合)

 

スター結線($\mathrm{Y}$結線)とデルタ結線($\Delta$結線)が互いに等価である場合、

  • スター結線($\mathrm{Y}$結線)とデルタ結線($\Delta$結線)それぞれの端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{C}$ 間を短絡し、短絡した端子を $\mathrm{A}^\prime$ としたとき、「スター結線($\mathrm{Y}$結線)の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{A}^\prime$ 間のアドミタンス」と「デルタ結線($\Delta$結線)の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{A}^\prime$ 間のアドミタンス」は等しくなる
    スター結線とデルタ結線の端子A-A'間のアドミタンスは等しくなる
  • スター結線($\mathrm{Y}$結線)とデルタ結線($\Delta$結線)それぞれの端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{A}$ 間を短絡し、短絡した端子を $\mathrm{B}^\prime$ としたとき、「スター結線($\mathrm{Y}$結線)の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{B}^\prime$ 間のアドミタンス」と「デルタ結線($\Delta$結線)の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{B}^\prime$ 間のアドミタンス」は等しくなる
    スター結線とデルタ結線の端子B-B'間のアドミタンスは等しくなる
  • スター結線($\mathrm{Y}$結線)とデルタ結線($\Delta$結線)それぞれの端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{B}$ 間を短絡し、短絡した端子を $\mathrm{C}^\prime$ としたとき、「スター結線($\mathrm{Y}$結線)の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{C}^\prime$ 間のアドミタンス」と「デルタ結線($\Delta$結線)の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{C}^\prime$ 間のアドミタンス」は等しくなる
    スター結線とデルタ結線の端子C-C'間のアドミタンスは等しくなる

という関係が成り立つので、これらの関係を利用すると、回路がインピーダンスの場合のスターデルタ変換の式を導出できます。

 

インピーダンスの逆数をアドミタンスといいます。

 

スター結線とデルタ結線の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{A}^\prime$ 間のアドミタンス

スター結線($\mathrm{Y}$結線)の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{A}^\prime$ 間は「 $\dot{Z}_{\mathrm{YA}}$ 」と「 $\dot{Z}_{\mathrm{YB}}$ と $\dot{Z}_{\mathrm{YC}}$ の並列接続」が直列に接続された回路になっているので、

 

スター結線の端子A-A'間のインピーダンスの接続

 

スター結線($\mathrm{Y}$結線)の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{A}^\prime$ 間のアドミタンス $\dot{Y}_{\mathrm{AA}^\prime}$ は、

 

$\dot{Y}_{\mathrm{AA}^\prime} =\dfrac{\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}}}\left(\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}\right)}{\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}}} +\left(\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}\right)}$ ($\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$ と $\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}$ で和分の積

 

$=\dfrac{\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}}}}{\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}}$

 

$=\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}}}$ (分母と分子に $\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}}$ をかけた

 

$\therefore \dot{Y}_{\mathrm{AA}^\prime} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$ …⑳ (スター結線の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{A}^\prime$ 間のアドミタンス

 

となります。

 

⑳式のアドミタンス $\dot{Y}_{\mathrm{AA}^\prime}$ は、端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{A}^\prime$ 間の合成インピーダンスが $\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}$ なので、$\dot{Y}_{\mathrm{AA}^\prime} =\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}}$ として $\dot{Y}_{\mathrm{AA}^\prime}$ を求めることもできます。

 

また、デルタ結線($\Delta$結線)の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{A}^\prime$ 間は「 $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}$ 」と「 $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}$ 」が並列に接続された回路になっているので、

 

デルタ結線の端子A-A'間のインピーダンスの接続

 

デルタ結線($\Delta$結線)の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{A}^\prime$ 間のアドミタンス $\dot{Y}_{\mathrm{AA}^\prime}$ は、

 

$\dot{Y}_{\mathrm{AA}^\prime} =\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}$ …㉑ (デルタ結線の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{A}^\prime$ 間のアドミタンス

 

となります。ここで、スター結線($\mathrm{Y}$結線)とデルタ結線($\Delta$結線)が互いに等価である場合は⑳と㉑は等しくなるので、⑳式と㉑式より次の㉒式が成り立ちます。

 

$\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$ …㉒

 

スター結線とデルタ結線の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{B}^\prime$ 間のアドミタンス

スター結線($\mathrm{Y}$結線)の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{B}^\prime$ 間は「 $\dot{Z}_{\mathrm{YB}}$ 」と「 $\dot{Z}_{\mathrm{YA}}$ と $\dot{Z}_{\mathrm{YC}}$ の並列接続」が直列に接続された回路になっているので、

 

スター結線の端子B-B'間のインピーダンスの接続

 

スター結線($\mathrm{Y}$結線)の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{B}^\prime$ 間のアドミタンス $\dot{Y}_{\mathrm{BB}^\prime}$ は、

 

$\dot{Y}_{\mathrm{BB}^\prime} =\dfrac{\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}}}\left(\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}\right)}{\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}}} +\left(\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}\right)}$ ($\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}}}$ と $\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}$ で和分の積

 

$=\dfrac{\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}}}}{\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}}$

 

$=\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YA}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}}}$ (分母と分子に $\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}}$ をかけた

 

$\therefore \dot{Y}_{\mathrm{BB}^\prime} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$ …㉓ (スター結線の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{B}^\prime$ 間のアドミタンス

 

となります。

 

㉓式のアドミタンス $\dot{Y}_{\mathrm{BB}^\prime}$ は、端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{B}^\prime$ 間の合成インピーダンスが $\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}$ なので、$\dot{Y}_{\mathrm{BB}^\prime} =\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}}$ として $\dot{Y}_{\mathrm{BB}^\prime}$ を求めることもできます。

 

また、デルタ結線($\Delta$結線)の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{B}^\prime$ 間は「 $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}$ 」と「 $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}$ 」が並列に接続された回路になっているので、

 

デルタ結線の端子B-B'間のインピーダンスの接続

 

デルタ結線($\Delta$結線)の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{B}^\prime$ 間のアドミタンス $\dot{Y}_{\mathrm{BB}^\prime}$ は、

 

$\dot{Y}_{\mathrm{BB}^\prime} =\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}}$ …㉔ (デルタ結線の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{B}^\prime$ 間のアドミタンス

 

となります。ここで、スター結線($\mathrm{Y}$結線)とデルタ結線($\Delta$結線)が互いに等価である場合は㉓と㉔は等しくなるので、㉓式と㉔式より次の㉕式が成り立ちます。

 

$\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$ …㉕

 

スター結線とデルタ結線の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{C}^\prime$ 間のアドミタンス

スター結線($\mathrm{Y}$結線)の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{C}^\prime$ 間は「 $\dot{Z}_{\mathrm{YC}}$ 」と「 $\dot{Z}_{\mathrm{YA}}$ と $\dot{Z}_{\mathrm{YB}}$ の並列接続」が直列に接続された回路になっているので、

 

スター結線の端子C-C'間のインピーダンスの接続

 

スター結線($\mathrm{Y}$結線)の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{C}^\prime$ 間のアドミタンス $\dot{Y}_{\mathrm{CC}^\prime}$ は、

 

$\dot{Y}_{\mathrm{CC}^\prime} =\dfrac{\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}\left(\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}}}\right)}{\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YC}}} +\left(\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}}}\right)}$ ($\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}$ と $\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}}}$ で和分の積

 

$=\dfrac{\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}}}}{\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YC}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}}}}$

 

$=\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YA}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}}}$ (分母と分子に $\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}}$ をかけた

 

$\therefore \dot{Y}_{\mathrm{CC}^\prime} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$ …㉖ (スター結線の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{C}^\prime$ 間のアドミタンス

 

となります。

 

㉖式のアドミタンス $\dot{Y}_{\mathrm{CC}^\prime}$ は、端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{C}^\prime$ 間の合成インピーダンスが $\dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}}}$ なので、$\dot{Y}_{\mathrm{CC}^\prime} =\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}}}}$ として $\dot{Y}_{\mathrm{CC}^\prime}$ を求めることもできます。

 

また、デルタ結線($\Delta$結線)の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{C}^\prime$ 間は「 $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}$ 」と「 $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}$ 」が並列に接続された回路になっているので、

 

デルタ結線の端子C-C'間のインピーダンスの接続

 

デルタ結線($\Delta$結線)の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{C}^\prime$ 間のアドミタンス $\dot{Y}_{\mathrm{CC}^\prime}$ は、

 

$\dot{Y}_{\mathrm{CC}^\prime} =\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}$ …㉗ (デルタ結線の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{C}^\prime$ 間のアドミタンス

 

となります。ここで、スター結線($\mathrm{Y}$結線)とデルタ結線($\Delta$結線)が互いに等価である場合は㉖と㉗は等しくなるので、㉖式と㉗式より次の㉘式が成り立ちます。

 

$\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$ …㉘

 

以上㉒式、㉕式、㉘式より、スター結線($\mathrm{Y}$結線)のインピーダンス( $\dot{Z}_{\mathrm{YA}}$ 、$\dot{Z}_{\mathrm{YB}}$ 、$\dot{Z}_{\mathrm{YC}}$ )とデルタ結線($\Delta$結線)のインピーダンス( $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}$ 、$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}$ 、$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}$ )の関係式が次のように求められました。

 

$\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$ …㉒

 

$\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$ …㉕

 

$\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$ …㉘

 

この3つの式からなる連立方程式を、デルタ結線($\Delta$結線)のインピーダンス( $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}$ 、$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}$ 、$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}$ )について解きます。

 

㉒式、㉕式、㉘式の3つの式の両辺を足すと、

 

$\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}$

$=\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$

$+\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$

 

$\dfrac{2}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{2}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}} +\dfrac{2}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}} =\dfrac{2\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +2\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +2\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$

 

$2\left(\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}\right) =\dfrac{2\left( \dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}}\right)}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$

 

$\therefore\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$ …㉙

 

となります。㉙式から㉘式の両辺を引くと、

 

$\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}} -\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}} -\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}$

$=\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}} -\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$ (㉙式から㉘式を引くと、左辺は $\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}}$ だけ残る

 

$\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} -\dot{Z}_{\mathrm{YA}} -\dot{Z}_{\mathrm{YB}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$

 

$\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$

 

両辺を逆数にすると、

 

$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}$

 

$\therefore \dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}$ …㉚ (デルタ結線のインピーダンス $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}$

 

となり、この㉚がスターデルタ変換後のデルタ結線($\Delta$結線)のインピーダンス $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}$ になります。

 

また、㉙式から㉒式の両辺を引くと、

 

$\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}} -\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}} -\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}$

$=\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}} -\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$ (㉙式から㉒式を引くと、左辺は $\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}}$ だけ残る

 

$\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} -\dot{Z}_{\mathrm{YB}} -\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$

 

$\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$

 

両辺を逆数にすると、

 

$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$

 

$\therefore \dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$ …㉛ (デルタ結線のインピーダンス $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}$

 

となり、この㉛がスターデルタ変換後のデルタ結線($\Delta$結線)のインピーダンス $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}$ になります。

 

また、㉙式から㉕式の両辺を引くと、

 

$\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}} -\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}} -\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}}$

$=\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}} -\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$ (㉙式から㉕式を引くと、左辺は $\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}$ だけ残る

 

$\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} -\dot{Z}_{\mathrm{YA}} -\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$

 

$\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YB}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$

 

両辺を逆数にすると、

 

$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}}}$

 

$\therefore \dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}}}$ …㉜ (デルタ結線のインピーダンス $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}$

 

となり、この㉜がスターデルタ変換後のデルタ結線($\Delta$結線)のインピーダンス $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}$ になります。

 

以上㉚式、㉛式、㉜式より、スターデルタ変換後のデルタ結線($\Delta$結線)のインピーダンス( $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}$ 、$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}$ 、$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}$ )は、次のようにスター結線($\mathrm{Y}$結線)のインピーダンス( $\dot{Z}_{\mathrm{YA}}$ 、$\dot{Z}_{\mathrm{YB}}$ 、$\dot{Z}_{\mathrm{YC}}$ )で表わすことができ、

 

$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}$

 

$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$

 

$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}}}$

 

この3つの式が、回路がインピーダンスの場合のスターデルタ変換の式になります。

 

スターデルタ変換の式(回路がインピーダンスの場合)

 

 

スターデルタ変換の式の導出方法の解説は以上になりますが、スターデルタ変換するたびに変換の式を導出するのは大変ですので、スターデルタ変換の式は公式としておぼえておくといいと思います。

 

スターデルタ変換($\mathrm{Y}$→$\Delta$変換)のまとめ
  • スター結線($\mathrm{Y}$結線)を等価なデルタ結線($\Delta$結線)に変換するとき、この変換をスターデルタ変換($\mathrm{Y}$→$\Delta$変換)という
  • スターデルタ変換するときは、スターデルタ変換の式を使う
  • 回路が抵抗のみの場合のスターデルタ変換の式は次のようになる
    スターデルタ変換の式(回路が抵抗のみの場合)
  • 抵抗のみの回路において3つの抵抗が同じ場合、スターデルタ変換後のデルタ結線($\Delta$結線)の抵抗値は、スター結線($\mathrm{Y}$結線)の抵抗値の $3$ 倍になる
  • 回路がインピーダンスの場合のスターデルタ変換の式は次のようになる
    スターデルタ変換の式(回路がインピーダンスの場合)
  • インピーダンスの回路において3つのインピーダンスが同じ場合、スターデルタ変換後のデルタ結線($\Delta$結線)のインピーダンスは、スター結線($\mathrm{Y}$結線)のインピーダンスの $3$ 倍になる

 

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スターデルタ変換($\mathrm{Y}$→$\Delta$変換)とは逆に、デルタ結線($\Delta$結線)を等価なスター結線($\mathrm{Y}$結線)に変換するのをデルタスター変換($\Delta$→$\mathrm{Y}$変換)といいます。デルタスター変換($\Delta$→$\mathrm{Y}$変換)についてはデルタスター変換(Δ→Y変換)のページにまとめていますので、こちらも参考にしてみてください。



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