スターデルタ変換（Y→Δ変換）

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次の左の図のような接続をスター結線（$\mathrm{Y}$結線）、右の図のような接続をデルタ結線（$\Delta$結線）といいます。

スター結線とデルタ結線

スター結線（$\mathrm{Y}$結線）は、ワイ結線、または星形結線とも呼ばれます。また、デルタ結線（$\Delta$結線）は、三角結線とも呼ばれます。

このスター結線（$\mathrm{Y}$結線）とデルタ結線（$\Delta$結線）は互いに等価な回路に変換することができ、スター結線（$\mathrm{Y}$結線）を等価なデルタ結線（$\Delta$結線）に変換するとき、この変換をスターデルタ変換（$\mathrm{Y}$→$\Delta$変換）といいます。

スターデルタ変換

スターデルタ変換は、スターデルタ等価変換と呼ばれることもあります。また、$\mathrm{Y}$→$\Delta$変換は、矢印ではなくハイフンで$\mathrm{Y}$-$\Delta$変換と表記されることもあります。

スターデルタ変換（$\mathrm{Y}$→$\Delta$変換）のやり方はそれほど難しくはなく、スターデルタ変換の式を使って計算するだけで変換後のデルタ結線（$\Delta$結線）の回路を求めることができます。

ここでは、スター結線（$\mathrm{Y}$結線）をデルタ結線（$\Delta$結線）に変換するときに使う変換式をスターデルタ変換の式と呼ぶことにします。

例えば次のように、$R_{\mathrm{YA}}$［$\Omega$］、$R_{\mathrm{YB}}$［$\Omega$］、$R_{\mathrm{YC}}$［$\Omega$］の抵抗がスター結線（$\mathrm{Y}$結線）されている回路があるすると、

スター結線の回路

この回路のスターデルタ変換後のデルタ結線（$\Delta$結線）の各抵抗値（ $R_{\Delta\mathrm{AB}}$［$\Omega$］、$R_{\Delta\mathrm{BC}}$［$\Omega$］、$R_{\Delta\mathrm{CA}}$［$\Omega$］）は、

スター結線とデルタ結線（デルタ結線の各抵抗値）

それぞれ次の①～③式（スターデルタ変換の式）で与えられます。

$R_{\Delta\mathrm{AB}} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}{R_{\mathrm{YC}}}$　…①　（変換後のデルタ結線の抵抗 $R_{\Delta\mathrm{AB}}$ ）

$R_{\Delta\mathrm{BC}} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}{R_{\mathrm{YA}}}$　…②　（変換後のデルタ結線の抵抗 $R_{\Delta\mathrm{BC}}$ ）

$R_{\Delta\mathrm{CA}} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}{R_{\mathrm{YB}}}$　…③　（変換後のデルタ結線の抵抗 $R_{\Delta\mathrm{CA}}$ ）

つまり、この①～③式に変換前のスター結線（$\mathrm{Y}$結線）の各抵抗値を代入すれば、変換後のデルタ結線（$\Delta$結線）の各抵抗値が求められます。

スターデルタ変換後のデルタ結線の各抵抗値

なお、3つの抵抗が同じ場合は、$R_{\mathrm{YA}}$ $=R_{\mathrm{YB}}$ $=R_{\mathrm{YC}}$ $=R_{\mathrm{Y}}$［$\Omega$］とすると、

$R_{\Delta\mathrm{AB}} =\dfrac{R_{\mathrm{Y}} R_{\mathrm{Y}} +R_{\mathrm{Y}} R_{\mathrm{Y}} +R_{\mathrm{Y}} R_{\mathrm{Y}}}{R_{\mathrm{Y}}}$　（①式の $R_{\mathrm{YA}}$ 、$R_{\mathrm{YB}}$ 、$R_{\mathrm{YC}}$ に $R_{\mathrm{Y}}$ を代入した）

$=\dfrac{3R_{\mathrm{Y}} R_{\mathrm{Y}}}{R_{\mathrm{Y}}} =3R_{\mathrm{Y}}$

$\therefore R_{\Delta\mathrm{AB}} =3R_{\mathrm{Y}}$

$R_{\Delta\mathrm{BC}} =\dfrac{R_{\mathrm{Y}} R_{\mathrm{Y}} +R_{\mathrm{Y}} R_{\mathrm{Y}} +R_{\mathrm{Y}} R_{\mathrm{Y}}}{R_{\mathrm{Y}}}$　（②式の $R_{\mathrm{YA}}$ 、$R_{\mathrm{YB}}$ 、$R_{\mathrm{YC}}$ に $R_{\mathrm{Y}}$ を代入した）

$=\dfrac{3R_{\mathrm{Y}} R_{\mathrm{Y}}}{R_{\mathrm{Y}}} =3R_{\mathrm{Y}}$

$\therefore R_{\Delta\mathrm{BC}} =3R_{\mathrm{Y}}$

$R_{\Delta\mathrm{CA}} =\dfrac{R_{\mathrm{Y}} R_{\mathrm{Y}} +R_{\mathrm{Y}} R_{\mathrm{Y}} +R_{\mathrm{Y}} R_{\mathrm{Y}}}{R_{\mathrm{Y}}}$　（③式の $R_{\mathrm{YA}}$ 、$R_{\mathrm{YB}}$ 、$R_{\mathrm{YC}}$ に $R_{\mathrm{Y}}$ を代入した）

$=\dfrac{3R_{\mathrm{Y}} R_{\mathrm{Y}}}{R_{\mathrm{Y}}} =3R_{\mathrm{Y}}$

$\therefore R_{\Delta\mathrm{CA}} =3R_{\mathrm{Y}}$

となるので、スターデルタ変換後のデルタ結線（$\Delta$結線）の抵抗値は、スター結線（$\mathrm{Y}$結線）の抵抗値の $3$ 倍になります。

3つの抵抗が同じ場合はスターデルタ変換後のデルタ結線の抵抗値は3倍になる

また、回路が抵抗のみの回路ではなくインピーダンスの場合も同様にスターデルタ変換（$\mathrm{Y}$→$\Delta$変換）することができ、インピーダンスの場合のスターデルタ変換の式は次の④～⑥式で与えられます。

スター結線とデルタ結線（デルタ結線の各インピーダンス）

$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}$　…④　（変換後のデルタ結線のインピーダンス $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}$ ）

$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$　…⑤　（変換後のデルタ結線のインピーダンス $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}$ ）

$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}}}$　…⑥　（変換後のデルタ結線のインピーダンス $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}$ ）

なお、3つのインピーダンスが同じ場合は、$\dot{Z}_{\mathrm{YA}}$ $=\dot{Z}_{\mathrm{YB}}$ $=\dot{Z}_{\mathrm{YC}}$ $=\dot{Z}_{\mathrm{Y}}$［$\Omega$］とすると、

$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{Y}} \dot{Z}_{\mathrm{Y}} +\dot{Z}_{\mathrm{Y}} \dot{Z}_{\mathrm{Y}} +\dot{Z}_{\mathrm{Y}} \dot{Z}_{\mathrm{Y}}}{\dot{Z}_{\mathrm{Y}}}$　（④式の $\dot{Z}_{\mathrm{YA}}$ 、$\dot{Z}_{\mathrm{YB}}$ 、$\dot{Z}_{\mathrm{YC}}$ に $\dot{Z}_{\mathrm{Y}}$ を代入した）

$=\dfrac{3\dot{Z}_{\mathrm{Y}} \dot{Z}_{\mathrm{Y}}}{\dot{Z}_{\mathrm{Y}}} =3\dot{Z}_{\mathrm{Y}}$

$\therefore \dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} =3\dot{Z}_{\mathrm{Y}}$

$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{Y}} \dot{Z}_{\mathrm{Y}} +\dot{Z}_{\mathrm{Y}} \dot{Z}_{\mathrm{Y}} +\dot{Z}_{\mathrm{Y}} \dot{Z}_{\mathrm{Y}}}{\dot{Z}_{\mathrm{Y}}}$　（⑤式の $\dot{Z}_{\mathrm{YA}}$ 、$\dot{Z}_{\mathrm{YB}}$ 、$\dot{Z}_{\mathrm{YC}}$ に $\dot{Z}_{\mathrm{Y}}$ を代入した）

$=\dfrac{3\dot{Z}_{\mathrm{Y}} \dot{Z}_{\mathrm{Y}}}{\dot{Z}_{\mathrm{Y}}} =3\dot{Z}_{\mathrm{Y}}$

$\therefore \dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} =3\dot{Z}_{\mathrm{Y}}$

$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{Y}} \dot{Z}_{\mathrm{Y}} +\dot{Z}_{\mathrm{Y}} \dot{Z}_{\mathrm{Y}} +\dot{Z}_{\mathrm{Y}} \dot{Z}_{\mathrm{Y}}}{\dot{Z}_{\mathrm{Y}}}$　（⑥式の $\dot{Z}_{\mathrm{YA}}$ 、$\dot{Z}_{\mathrm{YB}}$ 、$\dot{Z}_{\mathrm{YC}}$ に $\dot{Z}_{\mathrm{Y}}$ を代入した）

$=\dfrac{3\dot{Z}_{\mathrm{Y}} \dot{Z}_{\mathrm{Y}}}{\dot{Z}_{\mathrm{Y}}} =3\dot{Z}_{\mathrm{Y}}$

$\therefore \dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} =3\dot{Z}_{\mathrm{Y}}$

となるので、スターデルタ変換後のデルタ結線（$\Delta$結線）のインピーダンスは、スター結線（$\mathrm{Y}$結線）のインピーダンスの $3$ 倍になります。（抵抗のみの回路の場合と同じで $3$ 倍になる。）

3つのインピーダンスが同じ場合はスターデルタ変換後のデルタ結線のインピーダンスは3倍になる

では続いて、回路が「抵抗のみの場合」と「インピーダンスの場合」のスターデルタ変換の式（①～⑥式）の導出方法について解説します。

スターデルタ変換の式の導出（回路が抵抗のみの場合）

スター結線とデルタ結線（回路が抵抗のみの場合）

スター結線（$\mathrm{Y}$結線）とデルタ結線（$\Delta$結線）が互いに等価である場合、

スター結線（$\mathrm{Y}$結線）とデルタ結線（$\Delta$結線）それぞれの端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{C}$ 間を短絡し、短絡した端子を $\mathrm{A}^\prime$ としたとき、「スター結線（$\mathrm{Y}$結線）の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{A}^\prime$ 間のコンダクタンス」と「デルタ結線（$\Delta$結線）の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{A}^\prime$ 間のコンダクタンス」は等しくなる
スター結線（$\mathrm{Y}$結線）とデルタ結線（$\Delta$結線）それぞれの端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{A}$ 間を短絡し、短絡した端子を $\mathrm{B}^\prime$ としたとき、「スター結線（$\mathrm{Y}$結線）の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{B}^\prime$ 間のコンダクタンス」と「デルタ結線（$\Delta$結線）の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{B}^\prime$ 間のコンダクタンス」は等しくなる
スター結線（$\mathrm{Y}$結線）とデルタ結線（$\Delta$結線）それぞれの端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{B}$ 間を短絡し、短絡した端子を $\mathrm{C}^\prime$ としたとき、「スター結線（$\mathrm{Y}$結線）の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{C}^\prime$ 間のコンダクタンス」と「デルタ結線（$\Delta$結線）の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{C}^\prime$ 間のコンダクタンス」は等しくなる

という関係が成り立つので、これらの関係を利用すると、回路が抵抗のみの場合のスターデルタ変換の式を導出できます。

抵抗の逆数をコンダクタンスといいます。

スター結線とデルタ結線の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{A}^\prime$ 間のコンダクタンス

スター結線（$\mathrm{Y}$結線）の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{A}^\prime$ 間は「 $R_{\mathrm{YA}}$ 」と「 $R_{\mathrm{YB}}$ と $R_{\mathrm{YC}}$ の並列接続」が直列に接続された回路になっているので、

スター結線の端子A-A'間の抵抗の接続

スター結線（$\mathrm{Y}$結線）の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{A}^\prime$ 間のコンダクタンス $G_{\mathrm{AA}^\prime}$ は、

$G_{\mathrm{AA}^\prime} =\dfrac{\dfrac{1}{R_{\mathrm{YA}}}\left(\dfrac{1}{R_{\mathrm{YB}}} +\dfrac{1}{R_{\mathrm{YC}}}\right)}{\dfrac{1}{R_{\mathrm{YA}}} +\left(\dfrac{1}{R_{\mathrm{YB}}} +\dfrac{1}{R_{\mathrm{YC}}}\right)}$　（$\dfrac{1}{R_{\mathrm{YA}}}$ と $\dfrac{1}{R_{\mathrm{YB}}} +\dfrac{1}{R_{\mathrm{YC}}}$ で和分の積）

$=\dfrac{\dfrac{1}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}}} +\dfrac{1}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YC}}}}{\dfrac{1}{R_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{R_{\mathrm{YB}}} +\dfrac{1}{R_{\mathrm{YC}}}}$

$=\dfrac{R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YB}}}{R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}}}$　（分母と分子に $R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}}$ をかけた）

$\therefore G_{\mathrm{AA}^\prime} =\dfrac{R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$　…⑦　（スター結線の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{A}^\prime$ 間のコンダクタンス）

となります。

⑦式のコンダクタンス $G_{\mathrm{AA}^\prime}$ は、端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{A}^\prime$ 間の合成抵抗が $R_{\mathrm{YA}} +\dfrac{R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YC}}}$ なので、$G_{\mathrm{AA}^\prime} =\dfrac{1}{R_{\mathrm{YA}} +\dfrac{R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YC}}}}$ として $G_{\mathrm{AA}^\prime}$ を求めることもできます。

また、デルタ結線（$\Delta$結線）の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{A}^\prime$ 間は「 $R_{\Delta\mathrm{AB}}$ 」と「 $R_{\Delta\mathrm{CA}}$ 」が並列に接続された回路になっているので、

デルタ結線の端子A-A'間の抵抗の接続

この回路の抵抗 $R_{\Delta\mathrm{BC}}$ の両端は短絡されているので、抵抗 $R_{\Delta\mathrm{BC}}$ は無視できます。抵抗が短絡されている場合の回路については、こちらの短絡されている抵抗がある場合の合成抵抗の求め方のページを参考にしてみてください。

デルタ結線（$\Delta$結線）の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{A}^\prime$ 間のコンダクタンス $G_{\mathrm{AA}^\prime}$ は、

$G_{\mathrm{AA}^\prime} =\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{CA}}}$　…⑧　（デルタ結線の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{A}^\prime$ 間のコンダクタンス）

となります。ここで、スター結線（$\mathrm{Y}$結線）とデルタ結線（$\Delta$結線）が互いに等価である場合は⑦と⑧は等しくなるので、⑦式と⑧式より次の⑨式が成り立ちます。

$\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{CA}}} =\dfrac{R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$　…⑨

スター結線とデルタ結線の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{B}^\prime$ 間のコンダクタンス

スター結線（$\mathrm{Y}$結線）の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{B}^\prime$ 間は「 $R_{\mathrm{YB}}$ 」と「 $R_{\mathrm{YA}}$ と $R_{\mathrm{YC}}$ の並列接続」が直列に接続された回路になっているので、

スター結線の端子B-B'間の抵抗の接続

スター結線（$\mathrm{Y}$結線）の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{B}^\prime$ 間のコンダクタンス $G_{\mathrm{BB}^\prime}$ は、

$G_{\mathrm{BB}^\prime} =\dfrac{\dfrac{1}{R_{\mathrm{YB}}}\left(\dfrac{1}{R_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{R_{\mathrm{YC}}}\right)}{\dfrac{1}{R_{\mathrm{YB}}} +\left(\dfrac{1}{R_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{R_{\mathrm{YC}}}\right)}$　（$\dfrac{1}{R_{\mathrm{YB}}}$ と $\dfrac{1}{R_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{R_{\mathrm{YC}}}$ で和分の積）

$=\dfrac{\dfrac{1}{R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}}}}{\dfrac{1}{R_{\mathrm{YB}}} +\dfrac{1}{R_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{R_{\mathrm{YC}}}}$

$=\dfrac{R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YA}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}}}$　（分母と分子に $R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}}$ をかけた）

$\therefore G_{\mathrm{BB}^\prime} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$　…⑩　（スター結線の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{B}^\prime$ 間のコンダクタンス）

となります。

⑩式のコンダクタンス $G_{\mathrm{BB}^\prime}$ は、端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{B}^\prime$ 間の合成抵抗が $R_{\mathrm{YB}} +\dfrac{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YC}}}$ なので、$G_{\mathrm{BB}^\prime} =\dfrac{1}{R_{\mathrm{YB}} +\dfrac{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YC}}}}$ として $G_{\mathrm{BB}^\prime}$ を求めることもできます。（コンダクタンスは抵抗の逆数です。）

また、デルタ結線（$\Delta$結線）の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{B}^\prime$ 間は「 $R_{\Delta\mathrm{AB}}$ 」と「 $R_{\Delta\mathrm{BC}}$ 」が並列に接続された回路になっているので、

デルタ結線の端子B-B'間の抵抗の接続

デルタ結線（$\Delta$結線）の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{B}^\prime$ 間のコンダクタンス $G_{\mathrm{BB}^\prime}$ は、

$G_{\mathrm{BB}^\prime} =\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{BC}}}$　…⑪　（デルタ結線の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{B}^\prime$ 間のコンダクタンス）

となります。ここで、スター結線（$\mathrm{Y}$結線）とデルタ結線（$\Delta$結線）が互いに等価である場合は⑩と⑪は等しくなるので、⑩式と⑪式より次の⑫式が成り立ちます。

$\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{BC}}} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$　…⑫

スター結線とデルタ結線の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{C}^\prime$ 間のコンダクタンス

スター結線（$\mathrm{Y}$結線）の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{C}^\prime$ 間は「 $R_{\mathrm{YC}}$ 」と「 $R_{\mathrm{YA}}$ と $R_{\mathrm{YB}}$ の並列接続」が直列に接続された回路になっているので、

スター結線の端子C-C'間の抵抗の接続

スター結線（$\mathrm{Y}$結線）の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{C}^\prime$ 間のコンダクタンス $G_{\mathrm{CC}^\prime}$ は、

$G_{\mathrm{CC}^\prime} =\dfrac{\dfrac{1}{R_{\mathrm{YC}}}\left(\dfrac{1}{R_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{R_{\mathrm{YB}}}\right)}{\dfrac{1}{R_{\mathrm{YC}}} +\left(\dfrac{1}{R_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{R_{\mathrm{YB}}}\right)}$　（$\dfrac{1}{R_{\mathrm{YC}}}$ と $\dfrac{1}{R_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{R_{\mathrm{YB}}}$ で和分の積）

$=\dfrac{\dfrac{1}{R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YB}}}}{\dfrac{1}{R_{\mathrm{YC}}} +\dfrac{1}{R_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{R_{\mathrm{YB}}}}$

$=\dfrac{R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YA}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YC}}}$　（分母と分子に $R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}}$ をかけた）

$\therefore G_{\mathrm{CC}^\prime} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YB}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$　…⑬　（スター結線の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{C}^\prime$ 間のコンダクタンス）

となります。

⑬式のコンダクタンス $G_{\mathrm{CC}^\prime}$ は、端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{C}^\prime$ 間の合成抵抗が $R_{\mathrm{YC}} +\dfrac{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}}}{R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YB}}}$ なので、$G_{\mathrm{CC}^\prime} =\dfrac{1}{R_{\mathrm{YC}} +\dfrac{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}}}{R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YB}}}}$ として $G_{\mathrm{CC}^\prime}$ を求めることもできます。（コンダクタンスは抵抗の逆数です。）

また、デルタ結線（$\Delta$結線）の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{C}^\prime$ 間は「 $R_{\Delta\mathrm{BC}}$ 」と「 $R_{\Delta\mathrm{CA}}$ 」が並列に接続された回路になっているので、

デルタ結線の端子C-C'間の抵抗の接続

デルタ結線（$\Delta$結線）の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{C}^\prime$ 間のコンダクタンス $G_{\mathrm{CC}^\prime}$ は、

$G_{\mathrm{CC}^\prime} =\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{BC}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{CA}}}$　…⑭　（デルタ結線の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{C}^\prime$ 間のコンダクタンス）

となります。ここで、スター結線（$\mathrm{Y}$結線）とデルタ結線（$\Delta$結線）が互いに等価である場合は⑬と⑭は等しくなるので、⑬式と⑭式より次の⑮式が成り立ちます。

$\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{BC}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{CA}}} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YB}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$　…⑮

以上⑨式、⑫式、⑮式より、スター結線（$\mathrm{Y}$結線）の抵抗（ $R_{\mathrm{YA}}$ 、$R_{\mathrm{YB}}$ 、$R_{\mathrm{YC}}$ ）とデルタ結線（$\Delta$結線）の抵抗（ $R_{\Delta\mathrm{AB}}$ 、$R_{\Delta\mathrm{BC}}$ 、$R_{\Delta\mathrm{CA}}$ ）の関係式が次のように求められました。

この3つの式からなる連立方程式を、デルタ結線（$\Delta$結線）の抵抗（ $R_{\Delta\mathrm{AB}}$ 、$R_{\Delta\mathrm{BC}}$ 、$R_{\Delta\mathrm{CA}}$ ）について解きます。

⑨式、⑫式、⑮式の3つの式の両辺を足すと、

$\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{CA}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{BC}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{BC}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{CA}}}$

$=\dfrac{R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$

$+\dfrac{R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YB}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$

$\dfrac{2}{R_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{2}{R_{\Delta\mathrm{BC}}} +\dfrac{2}{R_{\Delta\mathrm{CA}}} =\dfrac{2R_{\mathrm{YA}} +2R_{\mathrm{YB}} +2R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$

$2\left(\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{BC}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{CA}}}\right) =\dfrac{2\left( R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YC}}\right)}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$

$\therefore\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{BC}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{CA}}} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$　…⑯

となります。⑯式から⑮式の両辺を引くと、

$\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{BC}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{CA}}} -\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{BC}}} -\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{CA}}}$

$=\dfrac{R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}} -\dfrac{R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YB}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$　（⑯式から⑮式を引くと、左辺は $\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{AB}}}$ だけ残る）

$\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{AB}}} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YC}} -R_{\mathrm{YA}} -R_{\mathrm{YB}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$

$\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{AB}}} =\dfrac{R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$

両辺を逆数にすると、

$R_{\Delta\mathrm{AB}} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}{R_{\mathrm{YC}}}$

$\therefore R_{\Delta\mathrm{AB}} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}{R_{\mathrm{YC}}}$　…⑰　（デルタ結線の抵抗 $R_{\Delta\mathrm{AB}}$ ）

となり、この⑰がスターデルタ変換後のデルタ結線（$\Delta$結線）の抵抗 $R_{\Delta\mathrm{AB}}$ になります。

また、この⑯式から⑨式の両辺を引くと、

$\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{BC}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{CA}}} -\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{AB}}} -\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{CA}}}$

$=\dfrac{R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}} -\dfrac{R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$　（⑯式から⑨式を引くと、左辺は $\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{BC}}}$ だけ残る）

$\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{BC}}} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YC}} -R_{\mathrm{YB}} -R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$

$\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{BC}}} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$

両辺を逆数にすると、

$R_{\Delta\mathrm{BC}} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}{R_{\mathrm{YA}}}$

$\therefore R_{\Delta\mathrm{BC}} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}{R_{\mathrm{YA}}}$　…⑱　（デルタ結線の抵抗 $R_{\Delta\mathrm{BC}}$ ）

となり、この⑱がスターデルタ変換後のデルタ結線（$\Delta$結線）の抵抗 $R_{\Delta\mathrm{BC}}$ になります。

また、⑯式から⑫式の両辺を引くと、

$\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{BC}}} +\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{CA}}} -\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{AB}}} -\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{BC}}}$

$=\dfrac{R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}} -\dfrac{R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$　（⑯式から⑫式を引くと、左辺は $\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{CA}}}$ だけ残る）

$\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{CA}}} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YC}} -R_{\mathrm{YA}} -R_{\mathrm{YC}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$

$\dfrac{1}{R_{\Delta\mathrm{CA}}} =\dfrac{R_{\mathrm{YB}}}{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}$

両辺を逆数にすると、

$R_{\Delta\mathrm{CA}} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}{R_{\mathrm{YB}}}$

$\therefore R_{\Delta\mathrm{CA}} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}{R_{\mathrm{YB}}}$　…⑲　（デルタ結線の抵抗 $R_{\Delta\mathrm{CA}}$ ）

となり、この⑲がスターデルタ変換後のデルタ結線（$\Delta$結線）の抵抗 $R_{\Delta\mathrm{CA}}$ になります。

以上⑰式、⑱式、⑲式より、スターデルタ変換後のデルタ結線（$\Delta$結線）の抵抗（ $R_{\Delta\mathrm{AB}}$ 、$R_{\Delta\mathrm{BC}}$ 、$R_{\Delta\mathrm{CA}}$ ）は、次のようにスター結線（$\mathrm{Y}$結線）の抵抗（ $R_{\mathrm{YA}}$ 、$R_{\mathrm{YB}}$ 、$R_{\mathrm{YC}}$ ）で表わすことができ、

$R_{\Delta\mathrm{AB}} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}{R_{\mathrm{YC}}}$

$R_{\Delta\mathrm{BC}} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}{R_{\mathrm{YA}}}$

$R_{\Delta\mathrm{CA}} =\dfrac{R_{\mathrm{YA}} R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} R_{\mathrm{YA}}}{R_{\mathrm{YB}}}$

この3つの式が、回路が抵抗のみの場合のスターデルタ変換の式になります。

スターデルタ変換の式（回路が抵抗のみの場合）

続いて、「回路がインピーダンスの場合」のスターデルタ変換の式の導出方法について解説しますが、導出方法はここで解説した「回路が抵抗のみの場合」とほぼ同じ（抵抗をインピーダンスに置き換えているだけ）です。

スターデルタ変換の式の導出（回路がインピーダンスの場合）

スター結線とデルタ結線（回路がインピーダンスの場合）

スター結線（$\mathrm{Y}$結線）とデルタ結線（$\Delta$結線）が互いに等価である場合、

スター結線（$\mathrm{Y}$結線）とデルタ結線（$\Delta$結線）それぞれの端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{C}$ 間を短絡し、短絡した端子を $\mathrm{A}^\prime$ としたとき、「スター結線（$\mathrm{Y}$結線）の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{A}^\prime$ 間のアドミタンス」と「デルタ結線（$\Delta$結線）の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{A}^\prime$ 間のアドミタンス」は等しくなる
スター結線（$\mathrm{Y}$結線）とデルタ結線（$\Delta$結線）それぞれの端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{A}$ 間を短絡し、短絡した端子を $\mathrm{B}^\prime$ としたとき、「スター結線（$\mathrm{Y}$結線）の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{B}^\prime$ 間のアドミタンス」と「デルタ結線（$\Delta$結線）の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{B}^\prime$ 間のアドミタンス」は等しくなる
スター結線（$\mathrm{Y}$結線）とデルタ結線（$\Delta$結線）それぞれの端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{B}$ 間を短絡し、短絡した端子を $\mathrm{C}^\prime$ としたとき、「スター結線（$\mathrm{Y}$結線）の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{C}^\prime$ 間のアドミタンス」と「デルタ結線（$\Delta$結線）の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{C}^\prime$ 間のアドミタンス」は等しくなる

という関係が成り立つので、これらの関係を利用すると、回路がインピーダンスの場合のスターデルタ変換の式を導出できます。

インピーダンスの逆数をアドミタンスといいます。

スター結線とデルタ結線の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{A}^\prime$ 間のアドミタンス

スター結線（$\mathrm{Y}$結線）の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{A}^\prime$ 間は「 $\dot{Z}_{\mathrm{YA}}$ 」と「 $\dot{Z}_{\mathrm{YB}}$ と $\dot{Z}_{\mathrm{YC}}$ の並列接続」が直列に接続された回路になっているので、

スター結線の端子A-A'間のインピーダンスの接続

スター結線（$\mathrm{Y}$結線）の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{A}^\prime$ 間のアドミタンス $\dot{Y}_{\mathrm{AA}^\prime}$ は、

$\dot{Y}_{\mathrm{AA}^\prime} =\dfrac{\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}}}\left(\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}\right)}{\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}}} +\left(\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}\right)}$　（$\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$ と $\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}$ で和分の積）

$=\dfrac{\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}}}}{\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}}$

$=\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}}}$　（分母と分子に $\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}}$ をかけた）

$\therefore \dot{Y}_{\mathrm{AA}^\prime} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$　…⑳　（スター結線の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{A}^\prime$ 間のアドミタンス）

となります。

⑳式のアドミタンス $\dot{Y}_{\mathrm{AA}^\prime}$ は、端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{A}^\prime$ 間の合成インピーダンスが $\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}$ なので、$\dot{Y}_{\mathrm{AA}^\prime} =\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}}$ として $\dot{Y}_{\mathrm{AA}^\prime}$ を求めることもできます。

また、デルタ結線（$\Delta$結線）の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{A}^\prime$ 間は「 $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}$ 」と「 $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}$ 」が並列に接続された回路になっているので、

デルタ結線の端子A-A'間のインピーダンスの接続

デルタ結線（$\Delta$結線）の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{A}^\prime$ 間のアドミタンス $\dot{Y}_{\mathrm{AA}^\prime}$ は、

$\dot{Y}_{\mathrm{AA}^\prime} =\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}$　…㉑　（デルタ結線の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{A}^\prime$ 間のアドミタンス）

となります。ここで、スター結線（$\mathrm{Y}$結線）とデルタ結線（$\Delta$結線）が互いに等価である場合は⑳と㉑は等しくなるので、⑳式と㉑式より次の㉒式が成り立ちます。

$\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$　…㉒

スター結線とデルタ結線の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{B}^\prime$ 間のアドミタンス

スター結線（$\mathrm{Y}$結線）の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{B}^\prime$ 間は「 $\dot{Z}_{\mathrm{YB}}$ 」と「 $\dot{Z}_{\mathrm{YA}}$ と $\dot{Z}_{\mathrm{YC}}$ の並列接続」が直列に接続された回路になっているので、

スター結線の端子B-B'間のインピーダンスの接続

スター結線（$\mathrm{Y}$結線）の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{B}^\prime$ 間のアドミタンス $\dot{Y}_{\mathrm{BB}^\prime}$ は、

$\dot{Y}_{\mathrm{BB}^\prime} =\dfrac{\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}}}\left(\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}\right)}{\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}}} +\left(\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}\right)}$　（$\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}}}$ と $\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}$ で和分の積）

$=\dfrac{\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}}}}{\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}}$

$=\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YA}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}}}$　（分母と分子に $\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}}$ をかけた）

$\therefore \dot{Y}_{\mathrm{BB}^\prime} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$　…㉓　（スター結線の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{B}^\prime$ 間のアドミタンス）

となります。

㉓式のアドミタンス $\dot{Y}_{\mathrm{BB}^\prime}$ は、端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{B}^\prime$ 間の合成インピーダンスが $\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}$ なので、$\dot{Y}_{\mathrm{BB}^\prime} =\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}}$ として $\dot{Y}_{\mathrm{BB}^\prime}$ を求めることもできます。

また、デルタ結線（$\Delta$結線）の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{B}^\prime$ 間は「 $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}$ 」と「 $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}$ 」が並列に接続された回路になっているので、

デルタ結線の端子B-B'間のインピーダンスの接続

デルタ結線（$\Delta$結線）の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{B}^\prime$ 間のアドミタンス $\dot{Y}_{\mathrm{BB}^\prime}$ は、

$\dot{Y}_{\mathrm{BB}^\prime} =\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}}$　…㉔　（デルタ結線の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{B}^\prime$ 間のアドミタンス）

となります。ここで、スター結線（$\mathrm{Y}$結線）とデルタ結線（$\Delta$結線）が互いに等価である場合は㉓と㉔は等しくなるので、㉓式と㉔式より次の㉕式が成り立ちます。

$\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$　…㉕

スター結線とデルタ結線の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{C}^\prime$ 間のアドミタンス

スター結線（$\mathrm{Y}$結線）の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{C}^\prime$ 間は「 $\dot{Z}_{\mathrm{YC}}$ 」と「 $\dot{Z}_{\mathrm{YA}}$ と $\dot{Z}_{\mathrm{YB}}$ の並列接続」が直列に接続された回路になっているので、

スター結線の端子C-C'間のインピーダンスの接続

スター結線（$\mathrm{Y}$結線）の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{C}^\prime$ 間のアドミタンス $\dot{Y}_{\mathrm{CC}^\prime}$ は、

$\dot{Y}_{\mathrm{CC}^\prime} =\dfrac{\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}\left(\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}}}\right)}{\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YC}}} +\left(\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}}}\right)}$　（$\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}$ と $\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}}}$ で和分の積）

$=\dfrac{\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}}}}{\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YC}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}}}}$

$=\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YA}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}}}$　（分母と分子に $\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}}$ をかけた）

$\therefore \dot{Y}_{\mathrm{CC}^\prime} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$　…㉖　（スター結線の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{C}^\prime$ 間のアドミタンス）

となります。

㉖式のアドミタンス $\dot{Y}_{\mathrm{CC}^\prime}$ は、端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{C}^\prime$ 間の合成インピーダンスが $\dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}}}$ なので、$\dot{Y}_{\mathrm{CC}^\prime} =\dfrac{1}{\dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}}}}$ として $\dot{Y}_{\mathrm{CC}^\prime}$ を求めることもできます。

また、デルタ結線（$\Delta$結線）の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{C}^\prime$ 間は「 $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}$ 」と「 $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}$ 」が並列に接続された回路になっているので、

デルタ結線の端子C-C'間のインピーダンスの接続

デルタ結線（$\Delta$結線）の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{C}^\prime$ 間のアドミタンス $\dot{Y}_{\mathrm{CC}^\prime}$ は、

$\dot{Y}_{\mathrm{CC}^\prime} =\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}$　…㉗　（デルタ結線の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{C}^\prime$ 間のアドミタンス）

となります。ここで、スター結線（$\mathrm{Y}$結線）とデルタ結線（$\Delta$結線）が互いに等価である場合は㉖と㉗は等しくなるので、㉖式と㉗式より次の㉘式が成り立ちます。

$\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$　…㉘

以上㉒式、㉕式、㉘式より、スター結線（$\mathrm{Y}$結線）のインピーダンス（ $\dot{Z}_{\mathrm{YA}}$ 、$\dot{Z}_{\mathrm{YB}}$ 、$\dot{Z}_{\mathrm{YC}}$ ）とデルタ結線（$\Delta$結線）のインピーダンス（ $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}$ 、$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}$ 、$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}$ ）の関係式が次のように求められました。

この3つの式からなる連立方程式を、デルタ結線（$\Delta$結線）のインピーダンス（ $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}$ 、$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}$ 、$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}$ ）について解きます。

㉒式、㉕式、㉘式の3つの式の両辺を足すと、

$\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}$

$=\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}} +\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$

$+\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$

$\dfrac{2}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{2}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}} +\dfrac{2}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}} =\dfrac{2\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +2\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +2\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$

$2\left(\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}\right) =\dfrac{2\left( \dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}}\right)}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$

$\therefore\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$　…㉙

となります。㉙式から㉘式の両辺を引くと、

$\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}} +\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}} -\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}} -\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}$

$=\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}} -\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$　（㉙式から㉘式を引くと、左辺は $\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}}$ だけ残る）

$\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} -\dot{Z}_{\mathrm{YA}} -\dot{Z}_{\mathrm{YB}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$

$\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$

両辺を逆数にすると、

$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}$

$\therefore \dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}$　…㉚　（デルタ結線のインピーダンス $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}$ ）

となり、この㉚がスターデルタ変換後のデルタ結線（$\Delta$結線）のインピーダンス $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}$ になります。

また、㉙式から㉒式の両辺を引くと、

$=\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}} -\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$　（㉙式から㉒式を引くと、左辺は $\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}}$ だけ残る）

$\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} -\dot{Z}_{\mathrm{YB}} -\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$

$\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$

両辺を逆数にすると、

$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$

$\therefore \dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$　…㉛　（デルタ結線のインピーダンス $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}$ ）

となり、この㉛がスターデルタ変換後のデルタ結線（$\Delta$結線）のインピーダンス $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}$ になります。

また、㉙式から㉕式の両辺を引くと、

$=\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}} -\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$　（㉙式から㉕式を引くと、左辺は $\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}$ だけ残る）

$\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} -\dot{Z}_{\mathrm{YA}} -\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$

$\dfrac{1}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YB}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$

両辺を逆数にすると、

$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}}}$

$\therefore \dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}}}$　…㉜　（デルタ結線のインピーダンス $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}$ ）

となり、この㉜がスターデルタ変換後のデルタ結線（$\Delta$結線）のインピーダンス $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}$ になります。

以上㉚式、㉛式、㉜式より、スターデルタ変換後のデルタ結線（$\Delta$結線）のインピーダンス（ $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}$ 、$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}$ 、$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}$ ）は、次のようにスター結線（$\mathrm{Y}$結線）のインピーダンス（ $\dot{Z}_{\mathrm{YA}}$ 、$\dot{Z}_{\mathrm{YB}}$ 、$\dot{Z}_{\mathrm{YC}}$ ）で表わすことができ、

$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YC}}}$

$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YA}}}$

$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} =\dfrac{\dot{Z}_{\mathrm{YA}} \dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} \dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} \dot{Z}_{\mathrm{YA}}}{\dot{Z}_{\mathrm{YB}}}$

この3つの式が、回路がインピーダンスの場合のスターデルタ変換の式になります。

スターデルタ変換の式（回路がインピーダンスの場合）

スターデルタ変換の式の導出方法の解説は以上になりますが、スターデルタ変換するたびに変換の式を導出するのは大変ですので、スターデルタ変換の式は公式としておぼえておくといいと思います。

スターデルタ変換（$\mathrm{Y}$→$\Delta$変換）のまとめ

スター結線（$\mathrm{Y}$結線）を等価なデルタ結線（$\Delta$結線）に変換するとき、この変換をスターデルタ変換（$\mathrm{Y}$→$\Delta$変換）という
スターデルタ変換するときは、スターデルタ変換の式を使う
回路が抵抗のみの場合のスターデルタ変換の式は次のようになる
抵抗のみの回路において3つの抵抗が同じ場合、スターデルタ変換後のデルタ結線（$\Delta$結線）の抵抗値は、スター結線（$\mathrm{Y}$結線）の抵抗値の $3$ 倍になる
回路がインピーダンスの場合のスターデルタ変換の式は次のようになる
インピーダンスの回路において3つのインピーダンスが同じ場合、スターデルタ変換後のデルタ結線（$\Delta$結線）のインピーダンスは、スター結線（$\mathrm{Y}$結線）のインピーダンスの $3$ 倍になる

スターデルタ変換（$\mathrm{Y}$→$\Delta$変換）とは逆に、デルタ結線（$\Delta$結線）を等価なスター結線（$\mathrm{Y}$結線）に変換するのをデルタスター変換（$\Delta$→$\mathrm{Y}$変換）といいます。デルタスター変換（$\Delta$→$\mathrm{Y}$変換）についてはデルタスター変換（Δ→Y変換）のページにまとめていますので、こちらも参考にしてみてください。

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