交流回路の電圧と電流の計算とベクトル図（RC並列回路）

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電圧 $\dot{V}$［$\mathrm{V}$］の正弦波交流電源に、$R$［$\Omega$］の抵抗と静電容量 $C$［$\mathrm{F}$］のコンデンサが並列に接続されている次のようなRC並列回路があるとします。

RC並列回路

図のように、抵抗（ $R$ ）とコンデンサ（ $C$ ）が並列に接続されている回路をRC並列回路といいます。

このRC並列回路において、正弦波交流電源の電圧を $\dot{V} =V$（ $\dot{V} =V+j\, 0$ ）［$\mathrm{V}$］、角周波数を $\omega$［$\mathrm{rad/s}$］として、この回路の各素子に流れる電流（ $I_R$［$\mathrm{A}$］、$I_C$［$\mathrm{A}$］）と回路全体に流れる電流（ $I$［$\mathrm{A}$］）を計算して求めてみます。

RC並列回路の電圧と各電流

RC並列回路の各素子に流れる電流

初めに、RC並列回路の各素子に流れる電流（ $I_R$：抵抗 $R$ に流れる電流 $\dot{I_R}$ の大きさ、$I_C$：コンデンサ $C$ に流れる電流 $\dot{I_C}$ の大きさ）を求めてみます。

抵抗Rに流れる電流

RC並列回路の電流IR

抵抗 $R$ にかかる電圧は $\dot{V}$ 、抵抗 $R$ のアドミタンスは $\dfrac{1}{R}$［$\mathrm{S}$］なので、抵抗 $R$ に流れる電流 $\dot{I_R}$ と電圧 $\dot{V}$ の関係は次のように表わせます。

$\dot{I_R} =\dfrac{1}{R}\dot{V}$　…①

インピーダンスの逆数をアドミタンスといいます。抵抗 $R$ のインピーダンス $\dot{Z_R}$ は $\dot{Z_R} =R$ なので、抵抗 $R$ のアドミタンス $\dot{Y_R}$ は $\dot{Y_R} =\dfrac{1}{\dot{Z_R}} =\dfrac{1}{R}$ になります。
また、この回路は電源に抵抗 $R$ とコンデンサ $C$ が並列に接続された回路なので、電源の電圧 $\dot{V}$ がそのまま抵抗 $R$ とコンデンサ $C$ にかかります（つまり、$\dot{V} =\dot{V_R} =\dot{V_C}$ ）。

①式より電流 $\dot{I_R}$ を求めると、

$\dot{I_R} =\dfrac{\dot{V}}{R}$

$=\dfrac{V}{R}$　（$\dot{V} =V$ としているので $\dot{V}$ を $V$ とした）

$\therefore\dot{I_R} =\dfrac{V}{R}$　…②　（電流 $\dot{I_R}$ ）

となります。この電流 $\dot{I_R}$ の大きさが電流 $I_R$ になるので、電流 $I_R$ は、

$I_R=|\dot{I_R} |$　（$\dot{I_R}$ の絶対値が $\dot{I_R}$ の大きさ（電流 $I_R$ ）になる）

$=\left|\dfrac{V}{R}\right| =\dfrac{V}{R}$

$\therefore I_R=\dfrac{V}{R}$　…③　（電流 $I_R$ ）

となり、この電流 $I_R$（③式）がRC並列回路の抵抗 $R$ に流れる電流の大きさになります。（オームの法則そのままの式ですね。）

RC並列回路の抵抗に流れる電流の大きさ

コンデンサCに流れる電流

RC並列回路の電流IC

コンデンサ $C$ にかかる電圧は $\dot{V}$ 、コンデンサ $C$ のアドミタンスは $j\omega C$［$\mathrm{S}$］なので、コンデンサ $C$ に流れる電流 $\dot{I_C}$ と電圧 $\dot{V}$ の関係は次のように表わせます。

$\dot{I_C} =j\omega C\dot{V}$　…④

コンデンサ $C$ のインピーダンス $\dot{Z_C}$ は $\dot{Z_C} =\dfrac{1}{j\omega C}$ なので、コンデンサ $C$ のアドミタンス $\dot{Y_C}$ は $\dot{Y_C} =\dfrac{1}{\dot{Z_C}} =j\omega C$ になります。

④式より電流 $\dot{I_C}$ を求めると、

$\dot{I_C} =j\omega C\dot{V}$

$=j\omega CV$　（$\dot{V} =V$ としているので $\dot{V}$ を $V$ とした）

$\therefore\dot{I_C} =j\omega CV$　…⑤　（電流 $\dot{I_C}$ ）

となります。この電流 $\dot{I_C}$ の大きさが電流 $I_C$ になるので、電流 $I_C$ は、

$I_C=|\dot{I_C} |$　（$\dot{I_C}$ の絶対値が $\dot{I_C}$ の大きさ（電流 $I_C$ ）になる）

$=\sqrt{\left(\omega CV\right)^2}$

$=\omega CV$

$\therefore I_C=\omega CV$　…⑥　（電流 $I_C$ ）

となり、この電流 $I_C$（⑥式）がRC並列回路のコンデンサ $C$ に流れる電流の大きさになります。

RC並列回路のコンデンサに流れる電流の大きさ

ちなみに、コンデンサ $C$ のリアクタンスは $\dfrac{1}{\omega C}$ なので、このリアクタンスを $X_C$［$\Omega$］とすると、⑥式の電流 $I_C$ は、

$I_C=\omega CV=\dfrac{V}{\dfrac{1}{\omega C}} =\dfrac{V}{X_C}$

$\therefore I_C=\dfrac{V}{X_C}$

とも表わせます。

RC並列回路の回路全体に流れる電流

次に、RC並列回路の回路全体に流れる電流 $I$（回路全体に流れる電流 $\dot{I}$ の大きさ）を求めてみます。

RC並列回路の回路全体に流れる電流I

この回路は抵抗 $R$ とコンデンサ $C$ が並列接続された回路なので、回路のアドミタンス $\dot{Y}$［$\mathrm{S}$］は、

$\dot{Y} =\dfrac{1}{R} +j\omega C$

となります。

RC並列回路のアドミタンス $\dot{Y}$ は、抵抗 $R$ のアドミタンス $\dot{Y_R}$ とコンデンサ $C$ のアドミタンス $\dot{Y_C}$ の和で表わされるので、$\dot{Y} =\dot{Y_R} +\dot{Y_C} =\dfrac{1}{R} +j\omega C$ になります。

なので、この回路の電圧 $\dot{V}$ と電流 $\dot{I}$ の関係は次のように表わせます。

$\dot{I} =\left(\dfrac{1}{R} +j\omega C\right)\dot{V}$　…⑦

この⑦式より電流 $\dot{I}$ を求めると、

$\dot{I} =\left(\dfrac{1}{R} +j\omega C\right)\dot{V}$

$=\left(\dfrac{1}{R} +j\omega C\right) V$　（$\dot{V} =V$ としているので $\dot{V}$ を $V$ とした）

$=\dfrac{V}{R} +j\omega CV$

$\therefore\dot{I} =\dfrac{V}{R} +j\omega CV$　…⑧　（電流 $\dot{I}$ ）

となります。この電流 $\dot{I}$ の大きさが電流 $I$ になるので、電流 $I$ は、

$I=|\dot{I} |$　（$\dot{I}$ の絶対値が $\dot{I}$ の大きさ（電流 $I$ ）になる）

$=\sqrt{\left(\dfrac{V}{R}\right)^2 +\left(\omega CV\right)^2}$

$=\sqrt{V^2\left\{\left(\dfrac{1}{R}\right)^2 +\left(\omega C\right)^2\right\}}$

$=V\sqrt{\left(\dfrac{1}{R}\right)^2 +\left(\omega C\right)^2}$

$\therefore I=V\sqrt{\left(\dfrac{1}{R}\right)^2 +\left(\omega C\right)^2}$　…⑨　（電流 $I$ ）

となり、この電流 $I$（⑨式）がRC並列回路全体に流れる電流の大きさになります。

RC並列回路の回路全体に流れる電流の大きさ

コンデンサ $C$ のリアクタンスを $X_C$（ $=\dfrac{1}{\omega C}$ ）とすると、電流 $I$ は、$I=V\sqrt{\left(\dfrac{1}{R}\right)^2 +\left(\dfrac{1}{X_C}\right)^2}$ とも表わせます。

ちなみに、この回路は抵抗 $R$ とコンデンサ $C$ が並列接続された回路なので、回路全体に流れる電流 $\dot{I}$ は抵抗 $R$ に流れる電流 $\dot{I_R}$ とコンデンサ $C$ に流れる電流 $\dot{I_C}$ のベクトル和 $\dot{I} =\dot{I_R} +\dot{I_C}$ でも表わすことができるので、

RC並列回路の回路全体に流れる電流は各素子に流れる電流のベクトル和

さきほど計算して求めた②式（電流 $\dot{I_R}$ ）と⑤式（電流 $\dot{I_C}$ ）を使って、回路全体に流れる電流 $\dot{I}$ を次のようにして求めることもできます。

$\dot{I} =\dot{I_R} +\dot{I_C}$

$=\dfrac{V}{R} +j\omega CV$　（$\dot{I_R}$ に $\dfrac{V}{R}$ 、$\dot{I_C}$ に $j\omega CV$ を代入した）

$\therefore\dot{I} =\dfrac{V}{R} +j\omega CV$　…⑩　（②式と⑤式を使って求めた電流 $\dot{I}$ ）

⑩式は、さきほど計算して求めた⑧式（電流 $\dot{I}$ ）と一致します。

以上で、抵抗 $R$ に流れる電流 $I_R$ 、コンデンサ $C$ に流れる電流 $I_C$ 、回路全体に流れる電流 $I$ が求められたので、続いて、RC並列回路の電圧と電流のベクトル図の描き方と位相差の求め方について解説します。

RC並列回路の電圧と電流のベクトル図

RC並列回路の電圧と電流のベクトル図も描いてみましょう。

RC並列回路のように並列接続の回路の場合は、一般に、電圧のベクトルを基準にして描いていくとベクトル図を描きやすいです。なので、ここでも電圧のベクトルを基準にしてRC並列回路の電圧と電流のベクトル図を描いてみます。

まず、基準のベクトルになる電圧 $\dot{V}$ を描きます。（ $\dot{V}$ は電源の電圧です。）

RC並列回路の電源の電圧のベクトル

抵抗 $R$ に流れる電流 $\dot{I_R}$ は $\dot{I_R} =\dfrac{1}{R}\dot{V}$ と表わされるので、電流 $\dot{I_R}$ のベクトルの向きは、電圧 $\dot{V}$ のベクトルと同じ向きになります。

RC並列回路の抵抗に流れる電流のベクトル

$\dot{I_R} =\dfrac{1}{R}\dot{V}$ は、ベクトル $\dot{V}$ を $\dfrac{1}{R}$ 倍したのがベクトル $\dot{I_R}$ になるということを表わしています。
$\dot{I_R}$ と $\dot{V}$ は同じ向きなので、電流 $\dot{I_R}$ は電圧 $\dot{V}$ と同相（位相のずれがない）ということになります。

コンデンサ $C$ に流れる電流 $\dot{I_C}$ は $\dot{I_C} =j\omega C\dot{V}$ と表わされるので、電流 $\dot{I_C}$ のベクトルの向きは、電圧 $\dot{V}$ のベクトルを反時計方向に90°回転した向きになります。

RC並列回路のコンデンサに流れる電流のベクトル

$\dot{I_C} =j\omega C\dot{V}$ は、ベクトル $\dot{V}$ を $\omega C$ 倍して反時計方向に90°回転したのがベクトル $\dot{I_C}$ になるということを表わしています。（ベクトルに「 $j$ 」を1回かけると、ベクトルは反時計方向に90°回転します。）
$\dot{I_C}$ の向きは $\dot{V}$ を反時計方向に90°回転した向きになるので、電流 $\dot{I_C}$ は電圧 $\dot{V}$ より $\dfrac{\pi}{2}$［$\mathrm{rad}$］（90°）位相が進んでいる（言い換えれば、電圧 $\dot{V}$ は電流 $\dot{I_C}$ より $\dfrac{\pi}{2}$［$\mathrm{rad}$］（90°）位相が遅れている）ということになります。

回路全体に流れる電流 $\dot{I}$ は抵抗 $R$ に流れる電流 $\dot{I_R}$ とコンデンサ $C$ に流れる電流 $\dot{I_C}$ の和（ベクトル和）$\dot{I} =\dot{I_R} +\dot{I_C}$ で表わされるので、回路全体に流れる電流 $\dot{I}$ は電流 $\dot{I_R}$ と電流 $\dot{I_C}$ のベクトルを合成したベクトルになります。

RC並列回路の回路全体に流れる電流のベクトル

以上より、RC並列回路の電圧と電流のベクトル図は次のようになり、回路全体に流れる電流 $\dot{I}$ は電源の電圧 $\dot{V}$ より位相が進んでいる（言い換えれば、電源の電圧 $\dot{V}$ は回路全体に流れる電流 $\dot{I}$ より位相が遅れている）のが分かります。

RC並列回路の電圧と電流のベクトル図

なお、各ベクトルの大きさ（長さ）は、それぞれさきほど計算した $I_R$ 、$I_C$ 、$I$ になるので（ $\dot{V}$ の大きさは $V$ ）、

RC並列回路の各ベクトルの大きさ

ベクトル図より電圧 $\dot{V}$ に対する電流 $\dot{I}$ の位相差 $\theta$［$\mathrm{rad}$］を求めると、

$\tan\theta =\dfrac{I_C}{I_R}$

$\theta =\tan^{-1}\dfrac{I_C}{I_R}$　（$\tan^{-1}$ は $\tan$ の逆三角関数です）

$=\tan^{-1}\dfrac{\omega CV}{\dfrac{V}{R}}$　（$I_C$ に $\omega CV$ 、$I_R$ に $\dfrac{V}{R}$ を代入した）

$=\tan^{-1}\left(\omega CV\times\dfrac{R}{V}\right)$

$=\tan^{-1}\omega CR$

$\therefore\theta =\tan^{-1}\omega CR$　（位相差 $\theta$ ）

となります。

RC並列回路の位相差θ

コンデンサ $C$ のリアクタンスを $X_C$（ $=\dfrac{1}{\omega C}$ ）とすると、$\theta$ は、$\theta =\tan^{-1}\dfrac{R}{X_C}$ とも表わせます。

以上で、RC並列回路の電圧と電流のベクトル図と位相差が求められました。

交流回路の電圧と電流の計算とベクトル図（RC並列回路）のまとめ

RC並列回路

抵抗 $R$ に流れる電流 $I_R$
$I_R=\dfrac{V}{R}$

コンデンサ $C$ に流れる電流 $I_C$
$I_C=\omega CV$

RC並列回路全体に流れる電流 $I$
$I=V\sqrt{\left(\dfrac{1}{R}\right)^2 +\left(\omega C\right)^2}$

RC並列回路の電圧と電流のベクトル図と位相差

位相差： $\theta =\tan^{-1}\omega CR$

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