交流回路の合成インピーダンスの計算（RLC並列回路）

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回路の素子が3個（抵抗 $R$ 、コイル $L$ 、コンデンサ $C$ ）並列接続されたRLC並列回路の合成インピーダンスを計算してみます。

抵抗RとコイルLとコンデンサCの並列回路の合成インピーダンス（RLC並列回路）

RLC並列回路の合成インピーダンス

RLC並列回路は、抵抗 $R$ とコイル $L$ とコンデンサ $C$ が並列に接続された回路で、次のような回路になります。

抵抗RとコイルLとコンデンサCが並列接続の回路

並列接続なので、この回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ は、

それぞれのインピーダンスの逆数※を足して、それの逆数をとれば

求められます。

インピーダンスの逆数をアドミタンスといいます。

したがって、抵抗 $R$ のインピーダンスの逆数は $\dfrac{1}{R}$ 、コイル $L$ のインピーダンスの逆数は $\dfrac{1}{j \omega L}$ 、コンデンサ $C$ のインピーダンスの逆数は $j \omega C$ なので、RLC並列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ は次の式で与えられます。（ $\omega$ は角周波数（ $\omega = 2 \pi f$ ）です。）

$\dfrac{1}{\dot{Z}} = \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{j \omega L} + j \omega C$

あとはこの式を整理して、$\dot{Z} = \cdots$ にすれば合成インピーダンスを求めることができます。

$\dfrac{1}{\dot{Z}} = \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{j \omega L} + j \omega C$ $= \dfrac{j \omega L + R + j \omega C \cdot j \omega R L}{j \omega R L}$ $= \dfrac{R + j \omega L + j^2 \omega^2 R L C}{j \omega R L}$

$= \dfrac{R + j \omega L - \omega^2 R L C}{j \omega R L}$ $= \dfrac{R - \omega^2 R L C + j \omega L}{j \omega R L}$ $= \dfrac{R \left( 1 - \omega^2 L C \right) + j \omega L}{j \omega R L}$

分母と分子をひっくり返して、　$\dot{Z} = \dfrac{j \omega R L}{R \left( 1 - \omega^2 L C \right) + j \omega L}$

この式を虚数単位 $j$ で整理したいので、分母と分子に $\left\{ R \left( 1 - \omega^2 L C \right) - j \omega L \right\}$ をかけると、

$\dot{Z} = \dfrac{j \omega R L \left\{ R \left( 1 - \omega^2 L C \right) - j \omega L \right\}}{\left\{ R \left( 1 - \omega^2 L C \right) + j \omega L \right\} \left\{ R \left( 1 - \omega^2 L C \right) - j \omega L \right\}}$

$= \dfrac{j \omega R L \cdot R \left( 1 - \omega^2 L C \right) - j \omega R L \cdot j \omega L}{R \left( 1- \omega^2 L C \right) \cdot R \left( 1 - \omega^2 L C \right) - R \left( 1 - \omega^2 L C \right) \cdot j \omega L +j \omega L \cdot R \left( 1 - \omega^2 L C \right) - j \omega L \cdot j \omega L}$

$= \dfrac{j \omega R^2 L \left( 1 - \omega^2 L C \right) - j^2 \omega^2 R L^2}{R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 - j \omega R L \left( 1 - \omega^2 L C \right) + j \omega R L \left( 1 - \omega^2 L C \right) - j^2 \omega^2 L^2}$

$= \dfrac{\omega^2 R L^2 + j \omega R^2 L \left( 1 - \omega^2 L C \right)}{R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2}$

$= \dfrac{\omega^2 R L^2}{R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2}$ $+ j \dfrac{\omega R^2 L \left( 1 - \omega^2 L C \right)}{R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2}$

したがって、RLC並列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ は、

$\therefore \dot{Z} = \dfrac{\omega^2 R L^2}{R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2}$ $+ j \dfrac{\omega R^2 L \left( 1 - \omega^2 L C \right)}{R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2}$　［$ \mathrm{\Omega} $］　…①

となります。めんどくさそうな式になっちゃいましたね。

RLC並列回路の合成インピーダンスの大きさ

RLC並列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ の大きさは、①式の絶対値を求めればいいので、

$| \dot{Z} | = \sqrt{\left\{ \dfrac{\omega^2 R L^2}{R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2} \right\}^2 + \left\{ \dfrac{\omega R^2 L \left( 1 - \omega^2 L C \right)}{R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2} \right\}^2}$

$= \sqrt{\dfrac{\omega^4 R^2 L^4}{\left\{ R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2 \right\}^2} + \dfrac{\omega^2 R^4 L^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2}{\left\{ R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2 \right\}^2}}$

$= \sqrt{\dfrac{\omega^4 R^2 L^4 + \omega^2 R^4 L^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2}{\left\{ R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2 \right\}^2}}$ $= \sqrt{\dfrac{\omega^2 R^2 L^2 \left\{ \omega^2 L^2 + R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 \right\}}{\left\{ R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2 \right\}^2}}$

$= \sqrt{\dfrac{\omega^2 R^2 L^2 \left\{ R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2 \right\}}{\left\{ R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2 \right\}^2}}$ $= \sqrt{\dfrac{\omega^2 R^2 L^2}{R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2}}$

$= \dfrac{\omega R L}{\sqrt{R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2}}$

したがって、RLC並列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ の大きさは、

$\therefore | \dot{Z} | = \dfrac{\omega R L}{\sqrt{R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2}}$　［$ \mathrm{\Omega} $］

となります。

RLC並列回路の合成インピーダンスのベクトル図

RLC並列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトル図を書くときは、①式の虚部（ $j$ にかかるところ）が正になるか？負になるか？またはゼロになるか？によって合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトルの向きが変わるので、ちょっと注意が必要ですよ。

つまり、①式の虚部が正のとき、負のとき、ゼロのときで、場合分けして考えなければならないということです。ちょっとめんどくさいですね。

まず、①式の虚部をみてみましょう。虚部は、

①式の虚部 $= \dfrac{\omega R^2 L \left( 1 - \omega^2 L C \right)}{R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2}$　…②

ですね。

この②式が正になるとか負になるとかの条件が分かればいいのですが…

②式をじ～っとみましょう。

みました？

すると、②式はこんな式になってますよね？

②式（①式の虚部）の説明

2乗されているところは2乗なので「正」になります。

それから、$\omega \gt 0$ 、$R \gt 0$ 、$L \gt 0$ なので、$\omega R^2 L$ も「正」になります。

虚部で正にも負にもゼロにもなるのは（ $1 - \omega^2 L C$ ）ですね。

つまり、この（ $1 - \omega^2 L C$ ）が正のときは①式の虚部が正、（ $1 - \omega^2 L C$ ）が負のときは①式の虚部が負、（$1 - \omega^2 L C$）がゼロのときは①式の虚部がゼロになります。

なので、場合分けは、（ $1 - \omega^2 L C$ ）が正か負かゼロかで分ければいいです。

ちなみに、①式の実部はどうなの？　①式の実部は、

①式の実部 $= \dfrac{\omega^2 R L^2}{R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2}$

ですね。　これは、

①式の実部の説明

となるので、①式の実部は常に正になりますよ。

それでは、それぞれの場合で場合分けしてベクトル図を書いてみます。

（$\mathrm{A}$）$1 - \omega^2 L C \gt 0$ のとき

$1 - \omega^2 L C \gt 0$ のときは①式の $j$ にかかる値が正ということになるので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトルは、次のように右上向きになります。

1－ω2LC＞0 のときのRLC並列回路の合成インピーダンスのベクトル図

（$\mathrm{B}$）$1 - \omega^2 L C \lt 0$ のとき

$1 - \omega^2 L C \lt 0$ のときは①式の $j$ にかかる値が負ということになるので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトルは、次のように右下向きになります。

1－ω2LC＜0 のときのRLC並列回路の合成インピーダンスのベクトル図

（$\mathrm{C}$）$1 - \omega^2 L C = 0$ のとき

$1 - \omega^2 L C = 0$ のときは①式の $j$ にかかる値がゼロになるので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ は…
どうなるの？

合成インピーダンスの式（①式）をもう一度みてみると、①式は、

$\dot{Z} = \dfrac{\omega^2 R L^2}{R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2}$ $+ j \dfrac{\omega R^2 L \left( 1 - \omega^2 L C \right)}{R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2}$　…①

今考えているのは、$1 - \omega^2 L C = 0$ のときなので、①式の虚部はゼロになります。

ここで、①式の実部にも $1 - \omega^2 L C = 0$ を代入してみます。すると、

①式の実部 $= \dfrac{\omega^2 R L^2}{R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2}$ $= \dfrac{\omega^2 R L^2}{R^2 \times 0^2 + \omega^2 L^2}$ $= \dfrac{\omega^2 R L^2}{\omega^2 L^2}$ $= R$

となります。

なので、$1 - \omega^2 L C = 0$ のときの合成インピーダンス $\dot{Z}$ は、$\dot{Z} = R$ になっちゃうんですね。

ベクトル図を書くと、

1－ω2LC＝0 のときのRLC並列回路の合成インピーダンスのベクトル図

となります。

$1 - \omega^2 L C = 0$ の条件を満たす周波数は反共振周波数なので、コイル $L$ とコンデンサ $C$ の並列回路部分は開放状態と同じになってしまうので、結果的に抵抗 $R$ だけになってしまいます。

開放状態の回路図

補足

グラフの横軸と縦軸について

グラフの横軸と縦軸に書いてある［$\mathrm{Re}$］と［$\mathrm{Im}$］は、複素平面の実軸と虚軸という意味です。複素平面の実軸には複素数の実部が対応し、虚軸には複素数の虚部が対応します。

グラフ（複素平面）の縦軸と横軸の説明図（実軸と虚軸）

ちなみに、複素平面は、ガウス平面とか複素数平面ともいいます。

以上が素子3個を並列接続したRLC並列回路の合成インピーダンスになります。

$1 - \omega^2 L C = 0$ のときのRLC並列回路の合成インピーダンスは、抵抗 $R$ だけになることをおぼえておきましょう。これってものすご～く大事ですよ！

他の回路についてもインピーダンスの計算をしていますので、それぞれ次のページを参考にしてみてください。
R、L、Cのインピーダンスはこちら
⇒　交流回路のインピーダンスの計算（素子が1個の場合）
RL直列回路、RC直列回路、LC直列回路の合成インピーダンスはこちら
⇒　交流回路の合成インピーダンスの計算（素子が2個直列接続の場合）
RL並列回路、RC並列回路、LC並列回路の合成インピーダンスはこちら
⇒　交流回路の合成インピーダンスの計算（素子が2個並列接続の場合）
RLC直列回路の合成インピーダンスはこちら
⇒　交流回路の合成インピーダンスの計算（RLC直列回路）

RLC並列回路の電圧と電流の計算とベクトル図については、こちらの交流回路の電圧と電流の計算とベクトル図（RLC並列回路）のページを参考にしてみてください。

RLC並列共振回路については、こちらのRLC並列共振回路のページを参考にしてみてください。

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交流回路の合成インピーダンスの計算（RLC並列回路）　関連ページ

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