交流回路の合成インピーダンスの計算（素子が2個直列接続の場合）

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回路の素子（抵抗 $R$ 、コイル $L$ 、コンデンサ $C$ ）が2個直列接続されている場合の合成インピーダンスを計算してみます。

抵抗RとコイルLの直列回路の合成インピーダンス（RL直列回路）

RL直列回路の合成インピーダンス

RL直列回路は、抵抗 $R$ とコイル $L$ が直列に接続された回路で、次のような回路になります。

抵抗RとコイルLが直列接続の回路

直列接続なので、この回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ は、

それぞれのインピーダンスを足すだけ

で求められ、抵抗 $R$ のインピーダンスは $R$［$ \mathrm{\Omega} $］、コイル $L$ のインピーダンスは $j \omega L$［$ \mathrm{\Omega} $］なので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ は2つのインピーダンスを足して、

$\dot{Z} = R + j \omega L$　［$ \mathrm{\Omega} $］　…①

となります。（ $\omega$ は角周波数（ $\omega = 2 \pi f$ ）です。）

RL直列回路の合成インピーダンスの大きさ

RL直列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ の大きさは、①式の絶対値を求めればいいので、

$| \dot{Z} | = \sqrt{R^2 + \left( \omega L \right)^2} = \sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}$

$\therefore | \dot{Z} | = \sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}$　［$ \mathrm{\Omega} $］

となります。

RL直列回路の合成インピーダンスのベクトル図

RL直列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトル図は、合成インピーダンスが $\dot{Z} = R + j \omega L$ なので、次のようになります。

抵抗RとコイルLが直列接続の回路のインピーダンスのベクトル図

$R$ は右向き、$j \omega L$ は上向きのベクトルなので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトルは2つのベクトルを合成した右上向きのベクトル（図中の赤色のベクトル）になります。

補足

グラフの横軸と縦軸について

グラフの横軸と縦軸に書いてある［$\mathrm{Re}$］と［$\mathrm{Im}$］は、複素平面の実軸と虚軸という意味です。複素平面の実軸には複素数の実部が対応し、虚軸には複素数の虚部が対応します。

グラフ（複素平面）の縦軸と横軸の説明図（実軸と虚軸）

ちなみに、複素平面は、ガウス平面とか複素数平面ともいいます。

抵抗RとコンデンサCの直列回路の合成インピーダンス（RC直列回路）

RC直列回路の合成インピーダンス

RC直列回路は、抵抗 $R$ とコンデンサ $C$ が直列に接続された回路で、次のような回路になります。

抵抗RとコンデンサCが直列接続の回路

直列接続なので、この回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ も、

それぞれのインピーダンスを足すだけ

で求められ、抵抗 $R$ のインピーダンスは $R$［$ \mathrm{\Omega} $］、コンデンサ $C$ のインピーダンスは $\dfrac{1}{j \omega C}$［$ \mathrm{\Omega} $］なので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ は2つのインピーダンスを足して、

$\dot{Z} = R + \dfrac{1}{j \omega C}$　［$ \mathrm{\Omega} $］

となります。

虚数単位 $j$ が分母にあるので、$j$ を分子に持ってきてもいいですよ。$j$ を分子に持ってくると、

$\dot{Z} = R + \dfrac{j \times 1}{j \times j \omega C}$ $= R + \dfrac{j}{-1 \cdot \omega C}$ $= R - \dfrac{j}{\omega C}$ $= R - j \dfrac{1}{\omega C}$

$\therefore \dot{Z} = R - j \dfrac{1}{\omega C}$　［$ \mathrm{\Omega} $］　…②

となります。

RC直列回路の合成インピーダンスの大きさ

RC直列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ の大きさは、②式の絶対値を求めればいいので、

$| \dot{Z} | = \sqrt{R^2 + \left( -\dfrac{1}{\omega C} \right)^2}$ $= \sqrt{R^2 + \left( \dfrac{1}{\omega C} \right)^2}$ $= \sqrt{R^2 + \dfrac{1}{\omega^2 C^2}}$

$\therefore | \dot{Z} | = \sqrt{R^2 + \dfrac{1}{\omega^2 C^2}}$　［$ \mathrm{\Omega} $］

となります。

RC直列回路の合成インピーダンスのベクトル図

RC直列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトル図は、合成インピーダンスが $\dot{Z} = R - j \dfrac{1}{\omega C}$ なので、次のようになります。

抵抗RとコンデンサCが直列接続の回路のインピーダンスのベクトル図

$R$ は右向き、$-j \dfrac{1}{\omega C}$ は下向きのベクトルなので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトルは2つのベクトルを合成した右下向きのベクトル（図中の赤色のベクトル）になります。

コイルLとコンデンサCの直列回路の合成インピーダンス（LC直列回路）

LC直列回路の合成インピーダンス

LC直列回路は、コイル $L$ とコンデンサ $C$ が直列に接続された回路で、次のような回路になります。

コイルLとコンデンサCが直列接続の回路

直列接続なので、この回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ も、

それぞれのインピーダンスを足すだけ

で求められ、コイル $L$ のインピーダンスは $j \omega L$［$ \mathrm{\Omega} $］、コンデンサ $C$ のインピーダンスは $\dfrac{1}{j \omega C}$［$ \mathrm{\Omega} $］なので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ は2つのインピーダンスを足して、

$\dot{Z} = j \omega L + \dfrac{1}{j \omega C}$

となります。この式を虚数単位 $j$ で整理すると、

$\dot{Z} = j \omega L + \dfrac{j \times1}{j \times j \omega C}$ $= j \omega L + \dfrac{j}{-1 \cdot \omega C}$ $= j \omega L - j \dfrac{1}{\omega C}$ $= j \left( \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right)$

$\therefore \dot{Z} = j \left( \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right)$　…③

となります。

LC直列回路の合成インピーダンスの大きさ

LC直列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ の大きさは、③式の絶対値を求めればいいので、

$| \dot{Z} | = \sqrt{\left( \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right)^2}$ $= \left| \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right|$

$\therefore | \dot{Z} | = \left| \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right|$

となります。

LC直列回路の合成インピーダンスのベクトル図

LC直列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトル図を書くときは、③式の（　）の中が正になるか？負になるか？またはゼロになるか？によって合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトルの向きが変わるので、ちょっと注意が必要ですよ。

つまり、$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \gt 0$ のとき、$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \lt 0$ のとき、$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} = 0$ のときで、場合分けして考えなければならないということです。ちょっとめんどくさいですね。

（$\mathrm{A}$）$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \gt 0$ のとき

$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \gt 0$ のときは③式の $j$ にかかる値が正ということになるので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトルは、次のように上向きになります。

ωL－1/ωC＞0のときのコイルLとコンデンサCが直列接続の回路のインピーダンスのベクトル図

ちなみに、$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \gt 0$ というのは $\omega L \gt \dfrac{1}{\omega C}$ ということになるので、物理的な意味は、コイル $L$ のリアクタンスがコンデンサ $C$ のリアクタンスよりも大きい場合ということになります。

（$\mathrm{B}$）$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \lt 0$ のとき

$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \lt 0$ のときは③式の $j$ にかかる値が負ということになるので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトルは、次のように下向きになります。

ωL－1/ωC＜0のときのコイルLとコンデンサCが直列接続の回路のインピーダンスのベクトル図

ちなみにこの場合は、$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \lt 0$ より $\omega L \lt \dfrac{1}{\omega C}$ ということになるので、物理的な意味は、コイル $L$ のリアクタンスがコンデンサ $C$ のリアクタンスよりも小さい場合ということになります。

（$\mathrm{C}$）$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} = 0$ のとき

$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} = 0$ のときは③式の $j$ にかかる値がゼロになるので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ はゼロになってしまいます。

ωL－1/ωC＝0のときのコイルLとコンデンサCが直列接続の回路のインピーダンスのベクトル図

この場合は、$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} = 0$ より $\omega L = \dfrac{1}{\omega C}$ ということになるので、物理的な意味は、コイル $L$ のリアクタンスとコンデンサ $C$ のリアクタンスが同じ値の場合ということになります。

なので、コイル $L$ のリアクタンスとコンデンサ $C$ のリアクタンスが同じ値のときは、

合成インピーダンスはゼロになっちゃいますよ

ということなんですね。（でも実際のモノで考えた場合、$LC$ の直列に小さい抵抗が直列に入るので、ぴったりゼロってことにはならないんですけどね。（電線の抵抗を無視すればゼロになりますが、電線には抵抗があるという意味です。））

ちなみに、$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} = 0$ すなわち、$\omega = \dfrac{1}{\sqrt{L C}}$ は、回路の共振条件になります。共振については、こちらのRLC直列共振回路のページを参考にしてみてください。

以上が素子2個を直列接続した場合の合成インピーダンスになります。

コイル $L$ とコンデンサ $C$ が直列接続されている場合は、それぞれのリアクタンスの大きさで合成インピーダンスのベクトルの向きが変わることをおぼえておきましょう。

他の回路についてもインピーダンスの計算をしていますので、それぞれ次のページを参考にしてみてください。
R、L、Cのインピーダンスはこちら
⇒　交流回路のインピーダンスの計算（素子が1個の場合）
RL並列回路、RC並列回路、LC並列回路の合成インピーダンスはこちら
⇒　交流回路の合成インピーダンスの計算（素子が2個並列接続の場合）
RLC直列回路の合成インピーダンスはこちら
⇒　交流回路の合成インピーダンスの計算（RLC直列回路）
RLC並列回路の合成インピーダンスはこちら
⇒　交流回路の合成インピーダンスの計算（RLC並列回路）

RL直列回路の電圧と電流の計算とベクトル図についてはこちら
⇒　交流回路の電圧と電流の計算とベクトル図（RL直列回路）
RC直列回路の電圧と電流の計算とベクトル図についてはこちら
⇒　交流回路の電圧と電流の計算とベクトル図（RC直列回路）
を参考にしてみてください。

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