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交流回路の合成インピーダンスの計算(素子が2個直列接続の場合)
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回路の素子(抵抗 $R$ 、コイル $L$ 、コンデンサ $C$ )が2個直列接続されている場合の合成インピーダンスを計算してみます。
抵抗RとコイルLの直列回路の合成インピーダンス(RL直列回路)
RL直列回路の合成インピーダンス
RL直列回路は、抵抗 $R$ とコイル $L$ が直列に接続された回路で、次のような回路になります。
直列接続なので、この回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ は、
それぞれのインピーダンスを足すだけ
で求められ、抵抗 $R$ のインピーダンスは $R$[$ \mathrm{\Omega} $]、コイル $L$ のインピーダンスは $j \omega L$[$ \mathrm{\Omega} $]なので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ は2つのインピーダンスを足して、
$\dot{Z} = R + j \omega L$ [$ \mathrm{\Omega} $] …①
となります。( $\omega$ は角周波数( $\omega = 2 \pi f$ )です。)
RL直列回路の合成インピーダンスの大きさ
RL直列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ の大きさは、①式の絶対値を求めればいいので、
$| \dot{Z} | = \sqrt{R^2 + \left( \omega L \right)^2} = \sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}$
$\therefore | \dot{Z} | = \sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}$ [$ \mathrm{\Omega} $]
となります。
RL直列回路の合成インピーダンスのベクトル図
RL直列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトル図は、合成インピーダンスが $\dot{Z} = R + j \omega L$ なので、次のようになります。
$R$ は右向き、$j \omega L$ は上向きのベクトルなので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトルは2つのベクトルを合成した右上向きのベクトル(図中の赤色のベクトル)になります。
グラフの横軸と縦軸について
グラフの横軸と縦軸に書いてある[$\mathrm{Re}$]と[$\mathrm{Im}$]は、複素平面の実軸と虚軸という意味です。複素平面の実軸には複素数の実部が対応し、虚軸には複素数の虚部が対応します。
ちなみに、複素平面は、ガウス平面とか複素数平面ともいいます。
抵抗RとコンデンサCの直列回路の合成インピーダンス(RC直列回路)
RC直列回路の合成インピーダンス
RC直列回路は、抵抗 $R$ とコンデンサ $C$ が直列に接続された回路で、次のような回路になります。
直列接続なので、この回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ も、
それぞれのインピーダンスを足すだけ
で求められ、抵抗 $R$ のインピーダンスは $R$[$ \mathrm{\Omega} $]、コンデンサ $C$ のインピーダンスは $\dfrac{1}{j \omega C}$[$ \mathrm{\Omega} $]なので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ は2つのインピーダンスを足して、
$\dot{Z} = R + \dfrac{1}{j \omega C}$ [$ \mathrm{\Omega} $]
となります。
虚数単位 $j$ が分母にあるので、$j$ を分子に持ってきてもいいですよ。$j$ を分子に持ってくると、
$\dot{Z} = R + \dfrac{j \times 1}{j \times j \omega C}$ $= R + \dfrac{j}{-1 \cdot \omega C}$ $= R - \dfrac{j}{\omega C}$ $= R - j \dfrac{1}{\omega C}$
$\therefore \dot{Z} = R - j \dfrac{1}{\omega C}$ [$ \mathrm{\Omega} $] …②
となります。
RC直列回路の合成インピーダンスの大きさ
RC直列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ の大きさは、②式の絶対値を求めればいいので、
$| \dot{Z} | = \sqrt{R^2 + \left( -\dfrac{1}{\omega C} \right)^2}$ $= \sqrt{R^2 + \left( \dfrac{1}{\omega C} \right)^2}$ $= \sqrt{R^2 + \dfrac{1}{\omega^2 C^2}}$
$\therefore | \dot{Z} | = \sqrt{R^2 + \dfrac{1}{\omega^2 C^2}}$ [$ \mathrm{\Omega} $]
となります。
RC直列回路の合成インピーダンスのベクトル図
RC直列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトル図は、合成インピーダンスが $\dot{Z} = R - j \dfrac{1}{\omega C}$ なので、次のようになります。
$R$ は右向き、$-j \dfrac{1}{\omega C}$ は下向きのベクトルなので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトルは2つのベクトルを合成した右下向きのベクトル(図中の赤色のベクトル)になります。
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コイルLとコンデンサCの直列回路の合成インピーダンス(LC直列回路)
LC直列回路の合成インピーダンス
LC直列回路は、コイル $L$ とコンデンサ $C$ が直列に接続された回路で、次のような回路になります。
直列接続なので、この回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ も、
それぞれのインピーダンスを足すだけ
で求められ、コイル $L$ のインピーダンスは $j \omega L$[$ \mathrm{\Omega} $]、コンデンサ $C$ のインピーダンスは $\dfrac{1}{j \omega C}$[$ \mathrm{\Omega} $]なので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ は2つのインピーダンスを足して、
$\dot{Z} = j \omega L + \dfrac{1}{j \omega C}$
となります。この式を虚数単位 $j$ で整理すると、
$\dot{Z} = j \omega L + \dfrac{j \times1}{j \times j \omega C}$ $= j \omega L + \dfrac{j}{-1 \cdot \omega C}$ $= j \omega L - j \dfrac{1}{\omega C}$ $= j \left( \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right)$
$\therefore \dot{Z} = j \left( \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right)$ …③
となります。
LC直列回路の合成インピーダンスの大きさ
LC直列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ の大きさは、③式の絶対値を求めればいいので、
$| \dot{Z} | = \sqrt{\left( \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right)^2}$ $= \left| \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right|$
$\therefore | \dot{Z} | = \left| \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right|$
となります。
LC直列回路の合成インピーダンスのベクトル図
LC直列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトル図を書くときは、③式の( )の中が正になるか?負になるか?またはゼロになるか?によって合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトルの向きが変わるので、ちょっと注意が必要ですよ。
つまり、$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \gt 0$ のとき、$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \lt 0$ のとき、$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} = 0$ のときで、場合分けして考えなければならないということです。ちょっとめんどくさいですね。
($\mathrm{A}$)$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \gt 0$ のとき
$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \gt 0$ のときは③式の $j$ にかかる値が正ということになるので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトルは、次のように上向きになります。
ちなみに、$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \gt 0$ というのは $\omega L \gt \dfrac{1}{\omega C}$ ということになるので、物理的な意味は、コイル $L$ のリアクタンスがコンデンサ $C$ のリアクタンスよりも大きい場合ということになります。
($\mathrm{B}$)$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \lt 0$ のとき
$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \lt 0$ のときは③式の $j$ にかかる値が負ということになるので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトルは、次のように下向きになります。
ちなみにこの場合は、$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \lt 0$ より $\omega L \lt \dfrac{1}{\omega C}$ ということになるので、物理的な意味は、コイル $L$ のリアクタンスがコンデンサ $C$ のリアクタンスよりも小さい場合ということになります。
($\mathrm{C}$)$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} = 0$ のとき
$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} = 0$ のときは③式の $j$ にかかる値がゼロになるので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ はゼロになってしまいます。
この場合は、$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} = 0$ より $\omega L = \dfrac{1}{\omega C}$ ということになるので、物理的な意味は、コイル $L$ のリアクタンスとコンデンサ $C$ のリアクタンスが同じ値の場合ということになります。
なので、コイル $L$ のリアクタンスとコンデンサ $C$ のリアクタンスが同じ値のときは、
合成インピーダンスはゼロになっちゃいますよ
ということなんですね。(でも実際のモノで考えた場合、$LC$ の直列に小さい抵抗が直列に入るので、ぴったりゼロってことにはならないんですけどね。(電線の抵抗を無視すればゼロになりますが、電線には抵抗があるという意味です。))
ちなみに、$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} = 0$ すなわち、$\omega = \dfrac{1}{\sqrt{L C}}$ は、回路の共振条件になります。共振については、こちらのRLC直列共振回路のページを参考にしてみてください。
以上が素子2個を直列接続した場合の合成インピーダンスになります。
コイル $L$ とコンデンサ $C$ が直列接続されている場合は、それぞれのリアクタンスの大きさで合成インピーダンスのベクトルの向きが変わることをおぼえておきましょう。
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他の回路についてもインピーダンスの計算をしていますので、それぞれ次のページを参考にしてみてください。
R、L、Cのインピーダンスはこちら
⇒ 交流回路のインピーダンスの計算(素子が1個の場合)
RL並列回路、RC並列回路、LC並列回路の合成インピーダンスはこちら
⇒ 交流回路の合成インピーダンスの計算(素子が2個並列接続の場合)
RLC直列回路の合成インピーダンスはこちら
⇒ 交流回路の合成インピーダンスの計算(RLC直列回路)
RLC並列回路の合成インピーダンスはこちら
⇒ 交流回路の合成インピーダンスの計算(RLC並列回路)
RL直列回路の電圧と電流の計算とベクトル図についてはこちら
⇒ 交流回路の電圧と電流の計算とベクトル図(RL直列回路)
RC直列回路の電圧と電流の計算とベクトル図についてはこちら
⇒ 交流回路の電圧と電流の計算とベクトル図(RC直列回路)
を参考にしてみてください。
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