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RL直列回路の電圧と電流の計算(電源の電圧を基準にした場合)

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電圧 $\dot{V}$[$\mathrm{V}$]の正弦波交流電源に、$R$[$\Omega$]の抵抗とインダクタンス $L$[$\mathrm{H}$]のコイルが直列に接続されている次のようなRL直列回路があるとします。

 

RL直列回路

 

図のように、抵抗( $R$ )とコイル( $L$ )が直列に接続されている回路をRL直列回路といいます。

 

このRL直列回路において、正弦波交流電源の電圧を $\dot{V} =V$( $\dot{V} =V+j\, 0$ )[$\mathrm{V}$]、角周波数を $\omega$[$\mathrm{rad/s}$]として、この回路の回路に流れる電流( $I$[$\mathrm{A}$])と各素子にかかる電圧( $V_R$[$\mathrm{V}$]、$V_L$[$\mathrm{V}$])を計算して求めてみます。

 

RL直列回路の各電圧と電流

 

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RL直列回路に流れる電流

初めに、RL直列回路に流れる電流 $I$(RL直列回路に流れる電流 $\dot{I}$ の大きさ)を求めてみます。

 

RL直列回路の電流I

 

この回路は抵抗 $R$ とコイル $L$ が直列接続された回路なので、回路のインピーダンス $\dot{Z}$[$\Omega$]は、

 

$\dot{Z} =R+j\omega L$

 

となります。なので、この回路の電圧 $\dot{V}$ と電流 $\dot{I}$ の関係は次のように表わせます。

 

$\dot{V} =\left( R+j\omega L\right)\dot{I}$ …①

 

この①式より電流 $\dot{I}$ を求めると、

 

$\dot{I} =\dfrac{\dot{V}}{R+j\omega L}$

 

$=\dfrac{V}{R+j\omega L}$ ($\dot{V} =V$ としているので $\dot{V}$ を $V$ とした

 

$=\dfrac{R-j\omega L}{\left( R+j\omega L\right)\left( R-j\omega L\right)} V$ (分母と分子に $R+j\omega L$ の共役複素数 $R-j\omega L$ をかけた

 

$=\dfrac{R-j\omega L}{R^2+\omega^2 L^2} V$

 

$=\dfrac{RV}{R^2+\omega^2 L^2} -j\dfrac{\omega LV}{R^2+\omega^2 L^2}$

 

$\therefore\dot{I} =\dfrac{RV}{R^2+\omega^2 L^2} -j\dfrac{\omega LV}{R^2+\omega^2 L^2}$ …② (電流 $\dot{I}$

 

となります。この電流 $\dot{I}$ の大きさが電流 $I$ になるので、電流 $I$ は、

 

$I=|\dot{I} |$ ($\dot{I}$ の絶対値が $\dot{I}$ の大きさ(電流 $I$ )になる

 

$=\sqrt{\left(\dfrac{RV}{R^2+\omega^2 L^2}\right)^2+\left(\dfrac{\omega LV}{R^2+\omega^2 L^2}\right)^2}$

 

$=\sqrt{\dfrac{R^2V^2+\omega^2 L^2V^2}{\left( R^2+\omega^2 L^2\right)^2}}$

 

$=\sqrt{\dfrac{\left( R^2+\omega^2 L^2\right) V^2}{\left( R^2+\omega^2 L^2\right)^2}}$

 

$=\sqrt{\dfrac{V^2}{R^2+\omega^2 L^2}}$

 

$=\dfrac{V}{\sqrt{\mathstrut R^2+\omega^2 L^2}}$

 

$\therefore I=\dfrac{V}{\sqrt{R^2+\left(\omega L\right)^2}}$ …③ (電流 $I$

 

となり、この電流 $I$(③式)がRL直列回路に流れる電流の大きさになります。

 

RL直列回路に流れる電流の大きさ

 

ちなみに、電流 $I$(③式)の式中の $\omega L$ はコイル $L$ のリアクタンスなので、このリアクタンスを $X_L$[$\Omega$]とすると、③式の電流 $I$ は、

 

$I=\dfrac{V}{\sqrt{R^2+{X_L}^2}}$

 

とも表わせます。

 

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RL直列回路の各素子にかかる電圧

次に、RL直列回路の各素子にかかる電圧( $V_R$:抵抗 $R$ にかかる電圧 $\dot{V_R}$ の大きさ、$V_L$:コイル $L$ にかかる電圧 $\dot{V_L}$ の大きさ)を求めてみます。

 

抵抗Rにかかる電圧

 

RL直列回路の電圧VR

 

電流 $\dot{I}$ が抵抗 $R$ に流れるので、抵抗 $R$ にかかる電圧 $\dot{V_R}$ と電流 $\dot{I}$ の関係は次のように表わせます。

 

$\dot{V_R} =R\dot{I}$ …④

 

この回路は抵抗 $R$ とコイル $L$ が直列接続された回路なので、抵抗 $R$ とコイル $L$ には同じ電流 $\dot{I}$ が流れますよ!

 

ここで、さきほど求めた②式より電流 $\dot{I}$ は、

 

$\dot{I} =\dfrac{RV}{R^2+\omega^2 L^2} -j\dfrac{\omega LV}{R^2+\omega^2 L^2}$

 

でしたので、これを④式に代入して電圧 $\dot{V_R}$ を求めると、

 

$\dot{V_R} =R\dot{I}$

 

$=R\left(\dfrac{RV}{R^2+\omega^2 L^2} -j\dfrac{\omega LV}{R^2+\omega^2 L^2}\right)$

 

$=\dfrac{R^2V}{R^2+\omega^2 L^2} -j\dfrac{\omega RLV}{R^2+\omega^2 L^2}$

 

$\therefore\dot{V_R}=\dfrac{R^2V}{R^2+\omega^2 L^2} -j\dfrac{\omega RLV}{R^2+\omega^2 L^2}$ (電圧 $\dot{V_R}$

 

となります。この電圧 $\dot{V_R}$ の大きさが電圧 $V_R$ になるので、電圧 $V_R$ は、

 

$V_R=|\dot{V_R} |$ ($\dot{V_R}$ の絶対値が $\dot{V_R}$ の大きさ(電圧 $V_R$ )になる

 

$=\sqrt{\left(\dfrac{R^2V}{R^2+\omega^2 L^2}\right)^2+\left(\dfrac{\omega RLV}{R^2+\omega^2 L^2}\right)^2}$

 

$=\sqrt{\dfrac{R^4V^2+\omega^2 R^2L^2V^2}{\left( R^2+\omega^2 L^2\right)^2}}$

 

$=\sqrt{\dfrac{R^2V^2\left( R^2+\omega^2 L^2\right)}{\left( R^2+\omega^2 L^2\right)^2}}$

 

$=\sqrt{\dfrac{R^2V^2}{R^2+\omega^2 L^2}}$

 

$=\dfrac{RV}{\sqrt{\mathstrut R^2+\omega^2 L^2}}$

 

$\therefore V_R=\dfrac{RV}{\sqrt{R^2+\left(\omega L\right)^2}}$ …⑤ (電圧 $V_R$

 

となり、この電圧 $V_R$(⑤式)がRL直列回路の抵抗 $R$ にかかる電圧の大きさになります。

 

なお、電流 $I$ は③式より $I=\dfrac{V}{\sqrt{R^2+\left(\omega L\right)^2}}$ でしたので、⑤式の $\dfrac{V}{\sqrt{R^2+\left(\omega L\right)^2}}$ を $I$ で置きかえると、

 

$V_R=\dfrac{RV}{\sqrt{R^2+\left(\omega L\right)^2}} =RI$

 

$\therefore V_R=RI$ (電流 $I$ で表わした電圧 $V_R$

 

となります。色々ゴチャゴチャ計算してますけど、結局はここにたどり着く、みたいな。

 

RL直列回路の抵抗にかかる電圧の大きさ

 

コイル $L$ のリアクタンスを $X_L$( $=\omega L$ )とすると、電圧 $V_R$ は、$V_R=\dfrac{RV}{\sqrt{R^2+{X_L}^2}}$ とも表わせます。

 

コイルLにかかる電圧

 

RL直列回路の電圧VL

 

電流 $\dot{I}$ がコイル $L$ に流れるので、コイル $L$ にかかる電圧 $\dot{V_L}$ と電流 $\dot{I}$ の関係は次のように表わせます。

 

$\dot{V_L} =j\omega L\dot{I}$ …⑥

 

ここで、さきほど求めた②式より電流 $\dot{I}$ は、

 

$\dot{I} =\dfrac{RV}{R^2+\omega^2 L^2} -j\dfrac{\omega LV}{R^2+\omega^2 L^2}$

 

でしたので、これを⑥式に代入して電圧 $\dot{V_L}$ を求めると、

 

$\dot{V_L} =j\omega L\dot{I}$

 

$=j\omega L\left(\dfrac{RV}{R^2+\omega^2 L^2} -j\dfrac{\omega LV}{R^2+\omega^2 L^2}\right)$

 

$=j\dfrac{\omega RLV}{R^2+\omega^2 L^2} +\dfrac{\omega^2 L^2V}{R^2+\omega^2 L^2}$ ($j\times j=-1$ ですよ!

 

$\therefore\dot{V_L} =\dfrac{\omega^2 L^2V}{R^2+\omega^2 L^2} +j\dfrac{\omega RLV}{R^2+\omega^2 L^2}$ (電圧 $\dot{V_L}$

 

となります。この電圧 $\dot{V_L}$ の大きさが電圧 $V_L$ になるので、電圧 $V_L$ は、

 

$V_L=|\dot{V_L} |$ ($\dot{V_L}$ の絶対値が $\dot{V_L}$ の大きさ(電圧 $V_L$ )になる

 

$=\sqrt{\left(\dfrac{\omega^2 L^2V}{R^2+\omega^2 L^2}\right)^2 +\left(\dfrac{\omega RLV}{R^2+\omega^2 L^2}\right)^2}$

 

$=\sqrt{\dfrac{\omega^4 L^4V^2+\omega^2 R^2L^2V^2}{\left( R^2+\omega^2 L^2\right)^2}}$

 

$=\sqrt{\dfrac{\omega^2 L^2V^2\left(\omega^2 L^2+R^2\right)}{\left( R^2+\omega^2 L^2\right)^2}}$

 

$=\sqrt{\dfrac{\omega^2 L^2V^2}{R^2+\omega^2 L^2}}$

 

$=\dfrac{\omega LV}{\sqrt{\mathstrut R^2+\omega^2L^2}}$

 

$\therefore V_L=\dfrac{\omega LV}{\sqrt{R^2+\left(\omega L\right)^2}}$ …⑦ (電圧 $V_L$

 

となり、この電圧 $V_L$(⑦式)がRL直列回路のコイル $L$ にかかる電圧の大きさになります。

 

なお、電流 $I$ は③式より $I=\dfrac{V}{\sqrt{R^2+\left(\omega L\right)^2}}$ でしたので、⑦式の $\dfrac{V}{\sqrt{R^2+\left(\omega L\right)^2}}$ を $I$ で置きかえると、

 

$V_L=\dfrac{\omega LV}{\sqrt{R^2+\left(\omega L\right)^2}} =\omega LI$

 

$\therefore V_L=\omega LI$ (電流 $I$ で表わした電圧 $V_L$

 

となります。

 

RL直列回路のコイルにかかる電圧の大きさ

 

コイル $L$ のリアクタンスを $X_L$( $=\omega L$ )とすると、電圧 $V_L$ は、$V_L=\dfrac{X_LV}{\sqrt{R^2+{X_L}^2}} =X_LI$ とも表わせます。

 

以上で、回路に流れる電流 $I$ 、抵抗 $R$ にかかる電圧 $V_R$ 、コイル $L$ にかかる電圧 $V_L$ が求められました。

 

RL直列回路の電圧と電流の計算(電源の電圧を基準にした場合)のまとめ

 

RL直列回路

 

  • RL直列回路に流れる電流 $I$
    $I=\dfrac{V}{\sqrt{R^2+\left(\omega L\right)^2}}$

 

  • 抵抗 $R$ にかかる電圧 $V_R$
    $V_R=\dfrac{RV}{\sqrt{R^2+\left(\omega L\right)^2}} =RI$

 

  • コイル $L$ にかかる電圧 $V_L$
    $V_L=\dfrac{\omega LV}{\sqrt{R^2+\left(\omega L\right)^2}} =\omega LI$

 

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このページでは電源の電圧を基準( $\dot{V} =V$( $\dot{V} =V+j\, 0$ ))にしてRL直列回路の計算をしましたが、回路に流れる電流を基準( $\dot{I} =I$( $\dot{I} =I+j\, 0$ ))にしてもRL直列回路の計算をすることができます。回路に流れる電流を基準にした場合のRL直列回路の計算方法については、こちらの交流回路の電圧と電流の計算とベクトル図(RL直列回路)のページを参考にしてみてください。(こちらのページでは、RL直列回路の電圧と電流のベクトル図の描き方についても解説しています。)

 

RL直列回路のインピーダンスについてはこちら
⇒ 交流回路の合成インピーダンスの計算(素子が2個直列接続の場合)
RL直列回路の電力の計算についてはこちら
⇒ 交流回路の電力の計算(RL直列回路)
を参考にしてみてください。



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