交流回路｜RL直列回路の電圧と電流の計算（電源の電圧を基準にした場合）

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電圧 $\dot{V}$［$\mathrm{V}$］の正弦波交流電源に、$R$［$\Omega$］の抵抗とインダクタンス $L$［$\mathrm{H}$］のコイルが直列に接続されている次のようなRL直列回路があるとします。

 

 

 

このRL直列回路において、正弦波交流電源の電圧を $\dot{V} =V$（ $\dot{V} =V+j\, 0$ ）［$\mathrm{V}$］、角周波数を $\omega$［$\mathrm{rad/s}$］として、この回路の回路に流れる電流（ $I$［$\mathrm{A}$］）と各素子にかかる電圧（ $V_R$［$\mathrm{V}$］、$V_L$［$\mathrm{V}$］）を計算して求めてみます。

 

 

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RL直列回路に流れる電流

初めに、RL直列回路に流れる電流 $I$（RL直列回路に流れる電流 $\dot{I}$ の大きさ）を求めてみます。

 

 

この回路は抵抗 $R$ とコイル $L$ が直列接続された回路なので、回路のインピーダンス $\dot{Z}$［$\Omega$］は、

 

$\dot{Z} =R+j\omega L$

 

となります。なので、この回路の電圧 $\dot{V}$ と電流 $\dot{I}$ の関係は次のように表わせます。

 

$\dot{V} =\left( R+j\omega L\right)\dot{I}$　…①

 

この①式より電流 $\dot{I}$ を求めると、

 

$\dot{I} =\dfrac{\dot{V}}{R+j\omega L}$

 

$=\dfrac{V}{R+j\omega L}$　（$\dot{V} =V$ としているので $\dot{V}$ を $V$ とした）

 

$=\dfrac{R-j\omega L}{\left( R+j\omega L\right)\left( R-j\omega L\right)} V$　（分母と分子に $R+j\omega L$ の共役複素数 $R-j\omega L$ をかけた）

 

$=\dfrac{R-j\omega L}{R^2+\omega^2 L^2} V$

 

$=\dfrac{RV}{R^2+\omega^2 L^2} -j\dfrac{\omega LV}{R^2+\omega^2 L^2}$

 

$\therefore\dot{I} =\dfrac{RV}{R^2+\omega^2 L^2} -j\dfrac{\omega LV}{R^2+\omega^2 L^2}$　…②　（電流 $\dot{I}$ ）

 

となります。この電流 $\dot{I}$ の大きさが電流 $I$ になるので、電流 $I$ は、

 

$I=|\dot{I} |$　（$\dot{I}$ の絶対値が $\dot{I}$ の大きさ（電流 $I$ ）になる）

 

$=\sqrt{\left(\dfrac{RV}{R^2+\omega^2 L^2}\right)^2+\left(\dfrac{\omega LV}{R^2+\omega^2 L^2}\right)^2}$

 

$=\sqrt{\dfrac{R^2V^2+\omega^2 L^2V^2}{\left( R^2+\omega^2 L^2\right)^2}}$

 

$=\sqrt{\dfrac{\left( R^2+\omega^2 L^2\right) V^2}{\left( R^2+\omega^2 L^2\right)^2}}$

 

$=\sqrt{\dfrac{V^2}{R^2+\omega^2 L^2}}$

 

$=\dfrac{V}{\sqrt{\mathstrut R^2+\omega^2 L^2}}$

 

 

となり、この電流 $I$（③式）がRL直列回路に流れる電流の大きさになります。

 

 

ちなみに、電流 $I$（③式）の式中の $\omega L$ はコイル $L$ のリアクタンスなので、このリアクタンスを $X_L$［$\Omega$］とすると、③式の電流 $I$ は、

 

$I=\dfrac{V}{\sqrt{R^2+{X_L}^2}}$

 

とも表わせます。

 

 

RL直列回路の各素子にかかる電圧

次に、RL直列回路の各素子にかかる電圧（ $V_R$：抵抗 $R$ にかかる電圧 $\dot{V_R}$ の大きさ、$V_L$：コイル $L$ にかかる電圧 $\dot{V_L}$ の大きさ）を求めてみます。

 

抵抗Rにかかる電圧

 

 

電流 $\dot{I}$ が抵抗 $R$ に流れるので、抵抗 $R$ にかかる電圧 $\dot{V_R}$ と電流 $\dot{I}$ の関係は次のように表わせます。

 

$\dot{V_R} =R\dot{I}$　…④

 

 

ここで、さきほど求めた②式より電流 $\dot{I}$ は、

 

$\dot{I} =\dfrac{RV}{R^2+\omega^2 L^2} -j\dfrac{\omega LV}{R^2+\omega^2 L^2}$

 

でしたので、これを④式に代入して電圧 $\dot{V_R}$ を求めると、

 

$\dot{V_R} =R\dot{I}$

 

$=R\left(\dfrac{RV}{R^2+\omega^2 L^2} -j\dfrac{\omega LV}{R^2+\omega^2 L^2}\right)$

 

$=\dfrac{R^2V}{R^2+\omega^2 L^2} -j\dfrac{\omega RLV}{R^2+\omega^2 L^2}$

 

$\therefore\dot{V_R}=\dfrac{R^2V}{R^2+\omega^2 L^2} -j\dfrac{\omega RLV}{R^2+\omega^2 L^2}$　（電圧 $\dot{V_R}$ ）

 

となります。この電圧 $\dot{V_R}$ の大きさが電圧 $V_R$ になるので、電圧 $V_R$ は、

 

$V_R=|\dot{V_R} |$　（$\dot{V_R}$ の絶対値が $\dot{V_R}$ の大きさ（電圧 $V_R$ ）になる）

 

$=\sqrt{\left(\dfrac{R^2V}{R^2+\omega^2 L^2}\right)^2+\left(\dfrac{\omega RLV}{R^2+\omega^2 L^2}\right)^2}$

 

$=\sqrt{\dfrac{R^4V^2+\omega^2 R^2L^2V^2}{\left( R^2+\omega^2 L^2\right)^2}}$

 

$=\sqrt{\dfrac{R^2V^2\left( R^2+\omega^2 L^2\right)}{\left( R^2+\omega^2 L^2\right)^2}}$

 

$=\sqrt{\dfrac{R^2V^2}{R^2+\omega^2 L^2}}$

 

$=\dfrac{RV}{\sqrt{\mathstrut R^2+\omega^2 L^2}}$

 

 

となり、この電圧 $V_R$（⑤式）がRL直列回路の抵抗 $R$ にかかる電圧の大きさになります。

 

なお、電流 $I$ は③式より $I=\dfrac{V}{\sqrt{R^2+\left(\omega L\right)^2}}$ でしたので、⑤式の $\dfrac{V}{\sqrt{R^2+\left(\omega L\right)^2}}$ を $I$ で置きかえると、

 

$V_R=\dfrac{RV}{\sqrt{R^2+\left(\omega L\right)^2}} =RI$

 

 

となります。色々ゴチャゴチャ計算してますけど、結局はここにたどり着く、みたいな。

 

 

 

コイルLにかかる電圧

 

 

電流 $\dot{I}$ がコイル $L$ に流れるので、コイル $L$ にかかる電圧 $\dot{V_L}$ と電流 $\dot{I}$ の関係は次のように表わせます。

 

$\dot{V_L} =j\omega L\dot{I}$　…⑥

 

ここで、さきほど求めた②式より電流 $\dot{I}$ は、

 

$\dot{I} =\dfrac{RV}{R^2+\omega^2 L^2} -j\dfrac{\omega LV}{R^2+\omega^2 L^2}$

 

でしたので、これを⑥式に代入して電圧 $\dot{V_L}$ を求めると、

 

$\dot{V_L} =j\omega L\dot{I}$

 

$=j\omega L\left(\dfrac{RV}{R^2+\omega^2 L^2} -j\dfrac{\omega LV}{R^2+\omega^2 L^2}\right)$

 

$=j\dfrac{\omega RLV}{R^2+\omega^2 L^2} +\dfrac{\omega^2 L^2V}{R^2+\omega^2 L^2}$　（$j\times j=-1$ ですよ！）

 

$\therefore\dot{V_L} =\dfrac{\omega^2 L^2V}{R^2+\omega^2 L^2} +j\dfrac{\omega RLV}{R^2+\omega^2 L^2}$　（電圧 $\dot{V_L}$ ）

 

となります。この電圧 $\dot{V_L}$ の大きさが電圧 $V_L$ になるので、電圧 $V_L$ は、

 

$V_L=|\dot{V_L} |$　（$\dot{V_L}$ の絶対値が $\dot{V_L}$ の大きさ（電圧 $V_L$ ）になる）

 

$=\sqrt{\left(\dfrac{\omega^2 L^2V}{R^2+\omega^2 L^2}\right)^2 +\left(\dfrac{\omega RLV}{R^2+\omega^2 L^2}\right)^2}$

 

$=\sqrt{\dfrac{\omega^4 L^4V^2+\omega^2 R^2L^2V^2}{\left( R^2+\omega^2 L^2\right)^2}}$

 

$=\sqrt{\dfrac{\omega^2 L^2V^2\left(\omega^2 L^2+R^2\right)}{\left( R^2+\omega^2 L^2\right)^2}}$

 

$=\sqrt{\dfrac{\omega^2 L^2V^2}{R^2+\omega^2 L^2}}$

 

$=\dfrac{\omega LV}{\sqrt{\mathstrut R^2+\omega^2L^2}}$

 

 

となり、この電圧 $V_L$（⑦式）がRL直列回路のコイル $L$ にかかる電圧の大きさになります。

 

なお、電流 $I$ は③式より $I=\dfrac{V}{\sqrt{R^2+\left(\omega L\right)^2}}$ でしたので、⑦式の $\dfrac{V}{\sqrt{R^2+\left(\omega L\right)^2}}$ を $I$ で置きかえると、

 

$V_L=\dfrac{\omega LV}{\sqrt{R^2+\left(\omega L\right)^2}} =\omega LI$

 

 

となります。

 

 

 

以上で、回路に流れる電流 $I$ 、抵抗 $R$ にかかる電圧 $V_R$ 、コイル $L$ にかかる電圧 $V_L$ が求められました。

 

 

 

このページでは電源の電圧を基準（ $\dot{V} =V$（ $\dot{V} =V+j\, 0$ ））にしてRL直列回路の計算をしましたが、回路に流れる電流を基準（ $\dot{I} =I$（ $\dot{I} =I+j\, 0$ ））にしてもRL直列回路の計算をすることができます。回路に流れる電流を基準にした場合のRL直列回路の計算方法については、こちらの交流回路の電圧と電流の計算とベクトル図（RL直列回路）のページを参考にしてみてください。（こちらのページでは、RL直列回路の電圧と電流のベクトル図の描き方についても解説しています。）

 

RL直列回路のインピーダンスについてはこちら
⇒　交流回路の合成インピーダンスの計算（素子が2個直列接続の場合）
RL直列回路の電力の計算についてはこちら
⇒　交流回路の電力の計算（RL直列回路）
を参考にしてみてください。

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