電気のお勉強｜交流回路｜複素アドミタンス

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次のように複素数で表わされたアドミタンスを複素アドミタンスといい、複素アドミタンスは複素インピーダンスの逆数になります。複素アドミタンスの単位はコンダクタンスと同じ「 $\mathrm{S}$ 」（ジーメンスと読む）になります。

 

$\dot{Y} =G+jB$　［$\mathrm{S}$］　…①　（複素アドミタンス）

 

$\dot{Y} =\dfrac{1}{\dot{Z}}$　（複素アドミタンス $\dot{Y}$ と複素インピーダンス $\dot{Z}$ の関係（逆数の関係になる））

 

 

複素アドミタンスは一般に $Y$ の上にドットを付けた「 $\dot{Y}$ 」で表わされ、複素アドミタンスの実部はアドミタンスのコンダクタンス（コンダクタンス成分）を表わし、虚部はアドミタンスのサセプタンス（サセプタンス成分）を表わします。

 

 

複素アドミタンスの実部はコンダクタンス（抵抗の逆数）なのでゼロまたは正の値になり、実部が負になることはありません。

 

また、虚部はサセプタンスなのでゼロまたは正または負の値になり、回路が容量性の回路の場合はサセプタンス $B$ は正の値、回路が誘導性の回路の場合はサセプタンス $B$ は負の値になります。

 

 

 

①式の複素アドミタンス $\dot{Y}$ を複素平面上に図示すると次のようになります。

 

 

この図をみると分かるように複素アドミタンス $\dot{Y}$ は大きさと角度（向き）の情報をもっていて、複素アドミタンス $\dot{Y}$ の大きさ $Y$ は三平方の定理より、

 

 

と求められ、実軸と複素アドミタンス $\dot{Y}$ のなす角 $\theta$［$\mathrm{rad}$］は、

 

$\tan\theta =\dfrac{B}{G}$ より、

 

$\theta =\tan^{-1}\dfrac{B}{G}$　（$\tan^{-1}$ は $\tan$ の逆三角関数です）

 

 

と求められます。

 

 

また、複素アドミタンス $\dot{Y}$［$\mathrm{S}$］は複素インピーダンス $\dot{Z}$［$\Omega$］の逆数なので、複素電圧（複素数で表わされた電圧）を $\dot{V}$［$\mathrm{V}$］、複素電流（複素数で表わされた電流）を $\dot{I}$［$\mathrm{A}$］とすると、複素アドミタンス $\dot{Y}$ は、

 

$\dot{Y} =\dfrac{1}{\dot{Z}} =\dfrac{1}{\dfrac{\dot{V}}{\dot{I}}} =\dfrac{\dot{I}}{\dot{V}}$　（複素インピーダンス $\dot{Z}$ は、$\dot{Z} =\dfrac{\dot{V}}{\dot{I}}$ です）

 

 

となり、電圧と電流の比（複素電流/複素電圧）でも表わされます。

 

 

では続いて、いろいろな交流回路を例にして、複素アドミタンスを求めてみます。

 

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複素アドミタンスの求め方

抵抗だけの交流回路の場合

 

 

抵抗を $R$［$\Omega$］とすると、抵抗だけの回路の複素インピーダンス $\dot{Y}$ は、

 

$\dot{Z} =R$

 

と表わされます。この複素インピーダンス $\dot{Z}$ の逆数がこの回路の複素アドミタンス $\dot{Y}$ になるので、複素アドミタンス $\dot{Y}$ は、

 

$\dot{Y} =\dfrac{1}{\dot{Z}} =\dfrac{1}{R}$

 

 

となります。

 

 

 

コイルだけの交流回路の場合

 

 

コイルのインダクタンスを $L$［$\mathrm{H}$］、電源の角周波数を $\omega$［$\mathrm{rad/s}$］とすると、コイルだけの回路の複素インピーダンス $\dot{Z}$ は、

 

$\dot{Z} =j\omega L$

 

と表わされます。この複素インピーダンス $\dot{Z}$ の逆数がこの回路の複素アドミタンス $\dot{Y}$ になるので、複素アドミタンス $\dot{Y}$ は、

 

$\dot{Y} =\dfrac{1}{\dot{Z}} =\dfrac{1}{j\omega L}$

 

 

となります。

 

 

 

コンデンサだけの交流回路の場合

 

 

コンデンサの静電容量を $C$［$\mathrm{F}$］、電源の角周波数を $\omega$［$\mathrm{rad/s}$］とすると、コンデンサだけの回路の複素インピーダンス $\dot{Z}$ は、

 

$\dot{Z} =\dfrac{1}{j\omega C}$

 

と表わされます。この複素インピーダンス $\dot{Z}$ の逆数がこの回路の複素アドミタンス $\dot{Y}$ になるので、複素アドミタンス $\dot{Y}$ は、

 

$\dot{Y} =\dfrac{1}{\dot{Z}} =\dfrac{1}{\dfrac{1}{j\omega C}} =j\omega C$

 

 

となります。

 

 

 

 

複数のアドミタンスが直列接続されている交流回路の場合

次のように複数のアドミタンス（ $\dot{Y_1}$ 、$\dot{Y_2}$ 、$\cdots$ $\dot{Y_n}$ ）が直列に接続されている交流回路があるとして、アドミタンス全体にかかる電圧を $\dot{V}$ 、回路に流れる電流を $\dot{I}$ 、各アドミタンスにかかる電圧を $\dot{V_1}$ 、$\dot{V_2}$ 、$\cdots$ $\dot{V_n}$ とします。

 

 

 

この回路において、各アドミタンスにかかる電圧（ $\dot{V_1}$ 、$\dot{V_2}$ 、$\cdots$ $\dot{V_n}$ ）は、さきぼどの②式より（②式は $\dot{Y} =\dfrac{\dot{I}}{\dot{V}}$ なので、$\dot{V} =\dfrac{\dot{I}}{\dot{Y}}$ と表わせる）、

 

$\dot{V_1} =\dfrac{\dot{I}}{\dot{Y_1}}$

$\dot{V_2} =\dfrac{\dot{I}}{\dot{Y_2}}$

$\vdots$

$\dot{V_n} =\dfrac{\dot{I}}{\dot{Y_n}}$

 

となるので、アドミタンス全体にかかる電圧 $\dot{V}$ は、各アドミタンスにかかる電圧を足して、

 

$\dot{V} =\dot{V_1} +\dot{V_2} +\cdots +\dot{V_n}$

 

$\dot{V} =\dfrac{\dot{I}}{\dot{Y_1}} +\dfrac{\dot{I}}{\dot{Y_2}} +\cdots +\dfrac{\dot{I}}{\dot{Y_n}}$

 

$\therefore\dot{V} =\left(\dfrac{1}{\dot{Y_1}} +\dfrac{1}{\dot{Y_2}} +\cdots +\dfrac{1}{\dot{Y_n}}\right)\dot{I}$　…⑤

 

と表わせます。

 

 

⑤式の両辺を $\dot{V}$ で割ると、

 

$1=\left(\dfrac{1}{\dot{Y_1}} +\dfrac{1}{\dot{Y_2}} +\cdots +\dfrac{1}{\dot{Y_n}}\right)\dfrac{\dot{I}}{\dot{V}}$　…⑥

 

⑥式の両辺を $\dfrac{1}{\dot{Y_1}} +\dfrac{1}{\dot{Y_2}} +\cdots +\dfrac{1}{\dot{Y_n}}$ で割ると、

 

$\dfrac{1}{\dfrac{1}{\dot{Y_1}} +\dfrac{1}{\dot{Y_2}} +\cdots +\dfrac{1}{\dot{Y_n}}} =\dfrac{\dot{I}}{\dot{V}}$

 

となり、$\dfrac{\dot{I}}{\dot{V}}$ はさきほどの②式より複素アドミタンスを表わすので、この回路の複素アドミタンス $\dot{Y}$ は、

 

$\dfrac{1}{\dfrac{1}{\dot{Y_1}} +\dfrac{1}{\dot{Y_2}} +\cdots +\dfrac{1}{\dot{Y_n}}} =\dfrac{\dot{I}}{\dot{V}} =\dot{Y}$

 

 

となります。

 

 

 

⑦式をみると分かるように、複数のアドミタンスが直列接続されている場合は、接続されているアドミタンス（複素アドミタンス）の逆数をすべて足し合わせて、さらにそれを逆数にすることで全体のアドミタンス（合成された複素アドミタンス）を求めることができます。

 

なお、アドミタンスが2つ直列に接続されている場合の複素アドミタンス $\dot{Y}$ は、

 

$\dot{Y} =\dfrac{1}{\dfrac{1}{\dot{Y_1}} +\dfrac{1}{\dot{Y_2}}}$

 

$=\dfrac{1}{\dfrac{\dot{Y_2} +\dot{Y_1}}{\dot{Y_1}\dot{Y_2}}}$

 

$=\dfrac{\dot{Y_1}\dot{Y_2}}{\dot{Y_2} +\dot{Y_1}}$

 

$\therefore\dot{Y}=\dfrac{\dot{Y_1}\dot{Y_2}}{\dot{Y_1} +\dot{Y_2}}$　…⑧　（アドミタンスが2つ直列接続の場合の複素アドミタンス）

 

となり、⑧式は和分の積の形になるので、アドミタンスが2つ直列に接続されている場合は「和分の積」で計算することもできます。

 

 

ただし、和分の積を使えるのはアドミタンスが2つ直列接続されている場合で、アドミタンスが3つ以上のときは和分の積を使えないので注意です！

 

 

以上のように、アドミタンスが直列接続されている場合は、「和分の積」または「⑦式」を使えばいいので、例えば、RL直列回路の複素アドミタンス $\dot{Y}$ は、

 

 

$\dot{Y} =\dfrac{\dot{I}}{\dot{V}} =\dfrac{1}{\dfrac{1}{\dfrac{1}{R}} +\dfrac{1}{\dfrac{1}{j\omega L}}}$　（⑦式に各複素アドミタンスを代入した）

 

$=\dfrac{1}{R+j\omega L}$　（この式はRL直列回路の複素インピーダンスの逆数になっている）

 

$=\dfrac{R-j\omega L}{\left(R+j\omega L\right)\left(R-j\omega L\right)}$　（分母と分子に $R+j\omega L$ の共役複素数をかけた）

 

$=\dfrac{R-j\omega L}{R^2+\omega^2 L^2}$

 

$=\dfrac{R}{R^2+\omega^2 L^2} -j\dfrac{\omega L}{R^2+\omega^2 L^2}$

 

 

となります。

 

また、RC直列回路の複素アドミタンス $\dot{Y}$ は、

 

 

$\dot{Y} =\dfrac{\dot{I}}{\dot{V}} =\dfrac{1}{\dfrac{1}{\dfrac{1}{R}} +\dfrac{1}{j\omega C}}$　（⑦式に各複素アドミタンスを代入した）

 

$=\dfrac{1}{R+\dfrac{1}{j\omega C}}$　（この式はRC直列回路の複素インピーダンスの逆数になっている）

 

$=\dfrac{j\omega C}{j\omega RC +1}$　（分母と分子に $j\omega C$ をかけた）

 

$=\dfrac{j\omega C}{1+j\omega RC}$

 

$=\dfrac{j\omega C\left( 1-j\omega RC\right)}{\left( 1+j\omega RC\right)\left( 1-j\omega RC\right)}$　（分母と分子に $1+j\omega RC$ の共役複素数をかけた）

 

$=\dfrac{j\omega C+\omega^2 RC^2}{1+\omega^2 R^2C^2}$

 

$=\dfrac{\omega^2 RC^2}{1+\omega^2 R^2C^2} +j\dfrac{\omega C}{1+\omega^2 R^2C^2}$

 

 

となります。

 

また、RLC直列回路の複素アドミタンス $\dot{Y}$ は、

 

 

$\dot{Y} =\dfrac{\dot{I}}{\dot{V}} =\dfrac{1}{\dfrac{1}{\dfrac{1}{R}} +\dfrac{1}{\dfrac{1}{j\omega L}} +\dfrac{1}{j\omega C}}$　（⑦式に各複素アドミタンスを代入した）

 

$=\dfrac{1}{R+j\omega L+\dfrac{1}{j\omega C}}$　（この式はRLC直列回路の複素インピーダンスの逆数になっている）

 

$=\dfrac{1}{R+j\omega L+\dfrac{j}{j\times j\omega C}}$　（$\dfrac{1}{j\omega C}$ の分母と分子に $j$ をかけた）

 

$=\dfrac{1}{R+j\omega L+\dfrac{j}{-\omega C}}$

 

$=\dfrac{1}{R+j\omega L-j\dfrac{1}{\omega C}}$

 

$=\dfrac{1}{R+j\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)}$

 

$=\dfrac{R-j\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)}{\left\{R+j\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)\right\}\left\{R-j\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)\right\}}$　（分母と分子に $R+j\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)$ の共役複素数をかけた）

 

$=\dfrac{R-j\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)}{R^2+\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)^2}$

 

$=\dfrac{R}{R^2+\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)^2} -j\dfrac{\omega L-\dfrac{1}{\omega C}}{R^2+\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)^2}$

 

 

となります。

 

以上のように直列接続の場合は少し計算が複雑（めんどくさい）になりますが、並列接続の場合は直列接続の場合よりも計算がちょっと簡単になります。ということで、次は並列接続について解説します。

 

 

複数のアドミタンスが並列接続されている交流回路の場合

次のように複数のアドミタンス（ $\dot{Y_1}$ 、$\dot{Y_2}$ 、$\cdots$ $\dot{Y_n}$ ）が並列に接続されている交流回路があるとして、アドミタンス全体にかかる電圧を $\dot{V}$ 、回路全体に流れる電流を $\dot{I}$ 、各アドミタンスに流れる電流を $\dot{I_1}$ 、$\dot{I_2}$ 、$\cdots$ $\dot{I_n}$ とします。

 

 

 

この回路において、各アドミタンスに流れる電流（ $\dot{I_1}$ 、$\dot{I_2}$ 、$\cdots$ $\dot{I_n}$ ）は、さきぼどの②式より（②式は $\dot{Y} =\dfrac{\dot{I}}{\dot{V}}$ なので、$\dot{I} =\dot{Y}\dot{V}$ と表わせる）、

 

$\dot{I_1} =\dot{Y_1}\dot{V}$

$\dot{I_2} =\dot{Y_2}\dot{V}$

$\vdots$

$\dot{I_n} =\dot{Y_n}\dot{V}$

 

となるので、回路全体に流れる電流 $\dot{I}$ は、各アドミタンスに流れる電流を足して、

 

$\dot{I} =\dot{I_1} +\dot{I_2} +\cdots +\dot{I_n}$

 

$\dot{I} =\dot{Y_1}\dot{V} +\dot{Y_2}\dot{V} +\cdots +\dot{Y_n}\dot{V}$

 

$\therefore\dot{I} =\left(\dot{Y_1} +\dot{Y_2} +\cdots +\dot{Y_n}\right)\dot{V}$　…⑨

 

と表わせます。

 

 

⑨式の両辺を $\dot{V}$ で割ると、

 

$\dfrac{\dot{I}}{\dot{V}} =\dot{Y_1} +\dot{Y_2} +\cdots +\dot{Y_n}$

 

となり、$\dfrac{\dot{I}}{\dot{V}}$ はさきほどの②式より複素アドミタンスを表わすので、この回路の複素アドミタンス $\dot{Y}$ は、

 

$\dfrac{\dot{I}}{\dot{V}} =\dot{Y_1} +\dot{Y_2} +\cdots +\dot{Y_n} =\dot{Y}$

 

 

となります。

 

 

⑩式をみると分かるように、複数のアドミタンスが並列接続されている場合は、接続されているアドミタンス（複素アドミタンス）をすべて足し合わせることで全体のアドミタンス（合成された複素アドミタンス）を求めることができます。

 

つまり、並列接続の場合は、ただ足すだけで求められます。

 

 

ただし、足し合わせるアドミタンスは複素アドミタンスであって、アドミタンスの大きさの足し算ではありませんので注意しましょう！

 

 

以上のように、アドミタンスが並列接続されている場合は、各複素アドミタンスを足し合わせればいいので、例えば、RL並列回路の複素アドミタンス $\dot{Y}$ は、

 

 

$\dot{Y} =\dfrac{\dot{I}}{\dot{V}} =\dfrac{1}{R} +\dfrac{1}{j\omega L}$　（$\dfrac{1}{R}$ と $\dfrac{1}{j\omega L}$ を足した）

 

$=\dfrac{1}{R} +\dfrac{j}{j\times j\omega L}$　（$\dfrac{1}{j\omega L}$ の分母と分子に $j$ をかけた）

 

$=\dfrac{1}{R} +\dfrac{j}{-\omega L}$

 

$=\dfrac{1}{R} -j\dfrac{1}{\omega L}$

 

 

となり、RC並列回路の複素アドミタンス $\dot{Y}$ は、

 

 

$\dot{Y} =\dfrac{\dot{I}}{\dot{V}} =\dfrac{1}{R} +j\omega C$　（$\dfrac{1}{R}$ と $j\omega C$ を足した）

 

 

となります。

 

また、RLC並列回路の複素アドミタンス $\dot{Y}$ は、

 

 

$\dot{Y} =\dfrac{\dot{I}}{\dot{V}} =\dfrac{1}{R} +\dfrac{1}{j\omega L} +j\omega C$　（$\dfrac{1}{R}$ と $\dfrac{1}{j\omega L}$ と $j\omega C$ を足した）

 

$=\dfrac{1}{R} +\dfrac{j}{j\times j\omega L} +j\omega C$　（$\dfrac{1}{j\omega L}$ の分母と分子に $j$ をかけた）

 

$=\dfrac{1}{R} +\dfrac{j}{-\omega L} +j\omega C$

 

$=\dfrac{1}{R} -j\dfrac{1}{\omega L} +j\omega C$

 

$=\dfrac{1}{R} +j\left(\omega C-\dfrac{1}{\omega L}\right)$

 

 

となります。

 

並列接続の場合はこのようにしてただ足していくだけなので、個々の複素アドミタンスさえ分かっていれば簡単に合成された複素アドミタンスを計算することができます。

 

 

 

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波形は色々ありますが、その波形の特性を表わす値として実効値、平均値、最大値、波形率、波高率などがあります。ここでは、全波整流波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法、求め方について解説しています。

半波整流波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法

半波整流波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法、求め方について解説しています。波形の特性を表わす値として実効値、平均値、最大値、波形率、波高率などがありますが、これらは大事な値ですので、求め方、計算方法をおぼえておきましょう。

方形波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法

方形波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法、求め方について解説しています。方形波波形の場合、実効値と平均値と最大値が同じ値、波形率と波高率が同じ値になります。ちなみに、方形波と矩形波は同じです。

のこぎり波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法

のこぎり波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法、求め方について解説しています。のこぎり波波形の実効値と平均値を求めるためには、のこぎり波波形の式から考えないといけないので、他の波形よりも計算がちょっと大変です。

三相電力の公式はなぜ√3倍なのか？（三相電力の公式の導出）

三相電力の公式はP＝√3VIcosφで表わされますが、なぜ√3倍になるのか？スター結線の場合とデルタ結線の場合それぞれについて、三相電力の公式を導出してみました。この三相電力の公式は電験三種の「理論」「電力」科目の問題を解くときに度々使われる基本的な公式ですのでおぼえておくようにしましょう。

スター結線（Y結線）の線間電圧はなぜ相電圧の√3倍になるのか？

スター結線（Y結線）されている三相交流回路の線間電圧は相電圧の√3倍になりますが、なぜ√3倍になるのか？スター結線のときの線間電圧と相電圧のベクトル図を求め、求めたベクトル図から√3倍になる理由について解説しています。

デルタスター変換（Δ→Y変換）

デルタスター変換（Δ→Y変換）について解説しています。デルタ結線（Δ結線）を等価なスター結線（Y結線）に変換するのをデルタスター変換（Δ→Y変換）といいます。デルタスター変換の式の導出方法についても解説していますので参考にしてみてください。

スターデルタ変換（Y→Δ変換）

スターデルタ変換（Y→Δ変換）について解説しています。スター結線（Y結線）を等価なデルタ結線（Δ結線）に変換するのをスターデルタ変換（Y→Δ変換）といいます。スターデルタ変換の式の導出方法についても解説していますので参考にしてみてください。

交流回路のテブナンの定理

交流回路のテブナンの定理（鳳-テブナンの定理）について解説しています。テブナンの定理を使った交流回路の計算方法や、交流回路のテブナンの定理の証明についても解説していますので参考にしてみてください。