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交流回路の電圧と電流の計算とベクトル図(RL並列回路)

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電圧 $\dot{V}$[$\mathrm{V}$]の正弦波交流電源に、$R$[$\Omega$]の抵抗とインダクタンス $L$[$\mathrm{H}$]のコイルが並列に接続されている次のようなRL並列回路があるとします。

 

RL並列回路

 

図のように、抵抗( $R$ )とコイル( $L$ )が並列に接続されている回路をRL並列回路といいます。

 

このRL並列回路において、正弦波交流電源の電圧を $\dot{V} =V$( $\dot{V} =V+j\, 0$ )[$\mathrm{V}$]、角周波数を $\omega$[$\mathrm{rad/s}$]として、この回路の各素子に流れる電流( $I_R$[$\mathrm{A}$]、$I_L$[$\mathrm{A}$])と回路全体に流れる電流( $I$[$\mathrm{A}$])を計算して求めてみます。

 

RL並列回路の電圧と各電流

 

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RL並列回路の各素子に流れる電流

初めに、RL並列回路の各素子に流れる電流( $I_R$:抵抗 $R$ に流れる電流 $\dot{I_R}$ の大きさ、$I_L$:コイル $L$ に流れる電流 $\dot{I_L}$ の大きさ)を求めてみます。

 

抵抗Rに流れる電流

 

RL並列回路の電流IR

 

抵抗 $R$ にかかる電圧は $\dot{V}$ 、抵抗 $R$ のアドミタンスは $\dfrac{1}{R}$[$\mathrm{S}$]なので、抵抗 $R$ に流れる電流 $\dot{I_R}$ と電圧 $\dot{V}$ の関係は次のように表わせます。

 

$\dot{I_R} =\dfrac{1}{R}\dot{V}$ …①

 

インピーダンスの逆数をアドミタンスといいます。抵抗 $R$ のインピーダンス $\dot{Z_R}$ は $\dot{Z_R} =R$ なので、抵抗 $R$ のアドミタンス $\dot{Y_R}$ は $\dot{Y_R} =\dfrac{1}{\dot{Z_R}} =\dfrac{1}{R}$ になります。
また、この回路は電源に抵抗 $R$ とコイル $L$ が並列に接続された回路なので、電源の電圧 $\dot{V}$ がそのまま抵抗 $R$ とコイル $L$ にかかります(つまり、$\dot{V} =\dot{V_R} =\dot{V_L}$ )。

 

①式より電流 $\dot{I_R}$ を求めると、

 

$\dot{I_R} =\dfrac{\dot{V}}{R}$

 

$=\dfrac{V}{R}$ ($\dot{V} =V$ としているので $\dot{V}$ を $V$ とした

 

$\therefore\dot{I_R} =\dfrac{V}{R}$ …② (電流 $\dot{I_R}$

 

となります。この電流 $\dot{I_R}$ の大きさが電流 $I_R$ になるので、電流 $I_R$ は、

 

$I_R=|\dot{I_R} |$ ($\dot{I_R}$ の絶対値が $\dot{I_R}$ の大きさ(電流 $I_R$ )になる

 

$=\left|\dfrac{V}{R}\right| =\dfrac{V}{R}$

 

$\therefore I_R=\dfrac{V}{R}$ …③ (電流 $I_R$

 

となり、この電流 $I_R$(③式)がRL並列回路の抵抗 $R$ に流れる電流の大きさになります。(オームの法則そのままの式ですね。)

 

RL並列回路の抵抗に流れる電流の大きさ

 

コイルLに流れる電流

 

RL並列回路の電流IL

 

コイル $L$ にかかる電圧は $\dot{V}$ 、コイル $L$ のアドミタンスは $\dfrac{1}{j\omega L}$[$\mathrm{S}$]なので、コイル $L$ に流れる電流 $\dot{I_L}$ と電圧 $\dot{V}$ の関係は次のように表わせます。

 

$\dot{I_L} =\dfrac{1}{j\omega L}\dot{V}$ …④

 

コイル $L$ のインピーダンス $\dot{Z_L}$ は $\dot{Z_L} =j\omega L$ なので、コイル $L$ のアドミタンス $\dot{Y_L}$ は $\dot{Y_L} =\dfrac{1}{\dot{Z_L}} =\dfrac{1}{j\omega L}$ になります。

 

④式より電流 $\dot{I_L}$ を求めると、

 

$\dot{I_L} =\dfrac{\dot{V}}{j\omega L}$

 

$=\dfrac{V}{j\omega L}$ ($\dot{V} =V$ としているので $\dot{V}$ を $V$ とした

 

$=-\dfrac{jV}{\omega L}$ (分母と分子に $j$ をかけた

 

$\therefore\dot{I_L} =-j\dfrac{V}{\omega L}$ …⑤ (電流 $\dot{I_L}$

 

となります。この電流 $\dot{I_L}$ の大きさが電流 $I_L$ になるので、電流 $I_L$ は、

 

$I_L=|\dot{I_L} |$ ($\dot{I_L}$ の絶対値が $\dot{I_L}$ の大きさ(電流 $I_L$ )になる

 

$=\sqrt{\left(\dfrac{V}{\omega L}\right)^2}$

 

$=\dfrac{V}{\omega L}$

 

$\therefore I_L=\dfrac{V}{\omega L}$ …⑥ (電流 $I_L$

 

となり、この電流 $I_L$(⑥式)がRL並列回路のコイル $L$ に流れる電流の大きさになります。

 

RL並列回路のコイルに流れる電流の大きさ

 

ちなみに、電流 $I_L$(⑥式)の式中の $\omega L$ はコイル $L$ のリアクタンスなので、このリアクタンスを $X_L$[$\Omega$]とすると、⑥式の電流 $I_L$ は、

 

$I_L=\dfrac{V}{X_L}$

 

とも表わせます。

 

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RL並列回路の回路全体に流れる電流

次に、RL並列回路の回路全体に流れる電流 $I$(回路全体に流れる電流 $\dot{I}$ の大きさ)を求めてみます。

 

RL並列回路の回路全体に流れる電流I

 

この回路は抵抗 $R$ とコイル $L$ が並列接続された回路なので、回路のアドミタンス $\dot{Y}$[$\mathrm{S}$]は、

 

$\dot{Y} =\dfrac{1}{R} +\dfrac{1}{j\omega L}$

 

となります。

 

RL並列回路のアドミタンス $\dot{Y}$ は、抵抗 $R$ のアドミタンス $\dot{Y_R}$ とコイル $L$ のアドミタンス $\dot{Y_L}$ の和で表わされるので、$\dot{Y} =\dot{Y_R} +\dot{Y_L} =\dfrac{1}{R} +\dfrac{1}{j\omega L}$ になります。

 

なので、この回路の電圧 $\dot{V}$ と電流 $\dot{I}$ の関係は次のように表わせます。

 

$\dot{I} =\left(\dfrac{1}{R} +\dfrac{1}{j\omega L}\right)\dot{V}$ …⑦

 

この⑦式より電流 $\dot{I}$ を求めると、

 

$\dot{I} =\left(\dfrac{1}{R} +\dfrac{1}{j\omega L}\right) V$ ($\dot{V} =V$ としているので $\dot{V}$ を $V$ とした

 

$=\left(\dfrac{1}{R} -j\dfrac{1}{\omega L}\right) V$ ($\dfrac{1}{j\omega L}$ の分母と分子に $j$ をかけた

 

$=\dfrac{V}{R} -j\dfrac{V}{\omega L}$

 

$\therefore\dot{I} =\dfrac{V}{R} -j\dfrac{V}{\omega L}$ …⑧ (電流 $\dot{I}$

 

となります。この電流 $\dot{I}$ の大きさが電流 $I$ になるので、電流 $I$ は、

 

$I=|\dot{I} |$ ($\dot{I}$ の絶対値が $\dot{I}$ の大きさ(電流 $I$ )になる

 

$=\sqrt{\left(\dfrac{V}{R}\right)^2 +\left(\dfrac{V}{\omega L}\right)^2}$

 

$=\sqrt{V^2\left\{\left(\dfrac{1}{R}\right)^2 +\left(\dfrac{1}{\omega L}\right)^2\right\}}$

 

$=V\sqrt{\left(\dfrac{1}{R}\right)^2 +\left(\dfrac{1}{\omega L}\right)^2}$

 

$\therefore I=V\sqrt{\left(\dfrac{1}{R}\right)^2 +\left(\dfrac{1}{\omega L}\right)^2}$ …⑨ (電流 $I$

 

となり、この電流 $I$(⑨式)がRL並列回路全体に流れる電流の大きさになります。

 

RL並列回路の回路全体に流れる電流の大きさ

 

コイル $L$ のリアクタンスを $X_L$( $=\omega L$ )とすると、電流 $I$ は、$I=V\sqrt{\left(\dfrac{1}{R}\right)^2 +\left(\dfrac{1}{X_L}\right)^2}$ とも表わせます。

 

ちなみに、この回路は抵抗 $R$ とコイル $L$ が並列接続された回路なので、回路全体に流れる電流 $\dot{I}$ は抵抗 $R$ に流れる電流 $\dot{I_R}$ とコイル $L$ に流れる電流 $\dot{I_L}$ のベクトル和 $\dot{I} =\dot{I_R} +\dot{I_L}$ でも表わすことができるので、

 

RL並列回路の回路全体に流れる電流は各素子に流れる電流のベクトル和

 

さきほど計算して求めた②式(電流 $\dot{I_R}$ )と⑤式(電流 $\dot{I_L}$ )を使って、回路全体に流れる電流 $\dot{I}$ を次のようにして求めることもできます。

 

$\dot{I} =\dot{I_R} +\dot{I_L}$

 

$=\dfrac{V}{R} +\left( -j\dfrac{V}{\omega L}\right)$ ($\dot{I_R}$ に $\dfrac{V}{R}$ 、$\dot{I_L}$ に $-j\dfrac{V}{\omega L}$ を代入した

 

$\therefore\dot{I} =\dfrac{V}{R} -j\dfrac{V}{\omega L}$ …⑩ (②式と⑤式を使って求めた電流 $\dot{I}$

 

⑩式は、さきほど計算して求めた⑧式(電流 $\dot{I}$ )と一致します。

 

以上で、抵抗 $R$ に流れる電流 $I_R$ 、コイル $L$ に流れる電流 $I_L$ 、回路全体に流れる電流 $I$ が求められたので、続いて、RL並列回路の電圧と電流のベクトル図の描き方と位相差の求め方について解説します。

 

 

RL並列回路の電圧と電流のベクトル図

RL並列回路の電圧と電流のベクトル図も描いてみましょう。

 

RL並列回路のように並列接続の回路の場合は、一般に、電圧のベクトルを基準にして描いていくとベクトル図を描きやすいです。なので、ここでも電圧のベクトルを基準にしてRL並列回路の電圧と電流のベクトル図を描いてみます。

 

まず、基準のベクトルになる電圧 $\dot{V}$ を描きます。( $\dot{V}$ は電源の電圧です。)

 

RL並列回路の電源の電圧のベクトル

 

抵抗 $R$ に流れる電流 $\dot{I_R}$ は $\dot{I_R} =\dfrac{1}{R}\dot{V}$ と表わされるので、電流 $\dot{I_R}$ のベクトルの向きは、電圧 $\dot{V}$ のベクトルと同じ向きになります。

 

RL並列回路の抵抗に流れる電流のベクトル

 

$\dot{I_R} =\dfrac{1}{R}\dot{V}$ は、ベクトル $\dot{V}$ を $\dfrac{1}{R}$ 倍したのがベクトル $\dot{I_R}$ になるということを表わしています。
$\dot{I_R}$ と $\dot{V}$ は同じ向きなので、電流 $\dot{I_R}$ は電圧 $\dot{V}$ と同相(位相のずれがない)ということになります。

 

コイル $L$ に流れる電流 $\dot{I_L}$ は $\dot{I_L} =\dfrac{1}{j\omega L}\dot{V} =-j\dfrac{1}{\omega L}\dot{V}$ と表わされるので、電流 $\dot{I_L}$ のベクトルの向きは、電圧 $\dot{V}$ のベクトルを時計方向に90°回転した向きになります。

 

RL並列回路のコイルに流れる電流のベクトル

 

$\dot{I_L} =-j\dfrac{1}{\omega L}\dot{V}$ は、ベクトル $\dot{V}$ を $\dfrac{1}{\omega L}$ 倍して時計方向に90°回転したのがベクトル $\dot{I_L}$ になるということを表わしています。(ベクトルに「 $-j$ 」を1回かけると、ベクトルは時計方向に90°回転します。)
$\dot{I_L}$ の向きは $\dot{V}$ を時計方向に90°回転した向きになるので、電流 $\dot{I_L}$ は電圧 $\dot{V}$ より $\dfrac{\pi}{2}$[$\mathrm{rad}$](90°)位相が遅れている(言い換えれば、電圧 $\dot{V}$ は電流 $\dot{I_L}$ より $\dfrac{\pi}{2}$[$\mathrm{rad}$](90°)位相が進んでいる)ということになります。

 

回路全体に流れる電流 $\dot{I}$ は抵抗 $R$ に流れる電流 $\dot{I_R}$ とコイル $L$ に流れる電流 $\dot{I_L}$ の和(ベクトル和)$\dot{I} =\dot{I_R} +\dot{I_L}$ で表わされるので、回路全体に流れる電流 $\dot{I}$ は電流 $\dot{I_R}$ と電流 $\dot{I_L}$ のベクトルを合成したベクトルになります。

 

RL並列回路の回路全体に流れる電流のベクトル

 

以上より、RL並列回路の電圧と電流のベクトル図は次のようになり、回路全体に流れる電流 $\dot{I}$ は電源の電圧 $\dot{V}$ より位相が遅れている(言い換えれば、電源の電圧 $\dot{V}$ は回路全体に流れる電流 $\dot{I}$ より位相が進んでいる)のが分かります。

 

RL並列回路の電圧と電流のベクトル図

 

なお、各ベクトルの大きさ(長さ)は、それぞれさきほど計算した $I_R$ 、$I_L$ 、$I$ になるので( $\dot{V}$ の大きさは $V$ )、

 

RL並列回路の各ベクトルの大きさ

 

ベクトル図より電圧 $\dot{V}$ に対する電流 $\dot{I}$ の位相差 $\theta$[$\mathrm{rad}$]を求めると、

 

$\tan\theta =\dfrac{-I_L}{I_R}$ より、

 

$\theta =\tan^{-1}\dfrac{-I_L}{I_R}$ ($\tan^{-1}$ は $\tan$ の逆三角関数です

 

$=-\tan^{-1}\dfrac{I_L}{I_R}$

 

$=-\tan^{-1}\dfrac{\dfrac{V}{\omega L}}{\dfrac{V}{R}}$ ($I_L$ に $\dfrac{V}{\omega L}$ 、$I_R$ に $\dfrac{V}{R}$ を代入した

 

$=-\tan^{-1}\left(\dfrac{V}{\omega L}\times\dfrac{R}{V}\right)$

 

$=-\tan^{-1}\dfrac{R}{\omega L}$

 

$\therefore\theta =-\tan^{-1}\dfrac{R}{\omega L}$ (位相差 $\theta$

 

となります。

 

RL並列回路の位相差θ

 

コイル $L$ のリアクタンスを $X_L$( $=\omega L$ )とすると、$\theta$ は、$\theta =-\tan^{-1}\dfrac{R}{X_L}$ とも表わせます。

 

以上で、RL並列回路の電圧と電流のベクトル図と位相差が求められました。

 

交流回路の電圧と電流の計算とベクトル図(RL並列回路)のまとめ

 

RL並列回路

 

  • 抵抗 $R$ に流れる電流 $I_R$
    $I_R=\dfrac{V}{R}$

 

  • コイル $L$ に流れる電流 $I_L$
    $I_L=\dfrac{V}{\omega L}$

 

  • RL並列回路全体に流れる電流 $I$
    $I=V\sqrt{\left(\dfrac{1}{R}\right)^2 +\left(\dfrac{1}{\omega L}\right)^2}$

 

  • RL並列回路の電圧と電流のベクトル図と位相差
    RL並列回路の電圧と電流のベクトル図
    位相差: $\theta =-\tan^{-1}\dfrac{R}{\omega L}$

 

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スターデルタ変換(Y→Δ変換)について解説しています。スター結線(Y結線)を等価なデルタ結線(Δ結線)に変換するのをスターデルタ変換(Y→Δ変換)といいます。スターデルタ変換の式の導出方法についても解説していますので参考にしてみてください。
交流回路のテブナンの定理
交流回路のテブナンの定理(鳳-テブナンの定理)について解説しています。テブナンの定理を使った交流回路の計算方法や、交流回路のテブナンの定理の証明についても解説していますので参考にしてみてください。