スポンサーリンク



交流回路の電圧と電流の計算とベクトル図(RLC並列回路)

電圧 $\dot{V}$[$\mathrm{V}$]の正弦波交流電源に、$R$[$\Omega$]の抵抗、インダクタンス $L$[$\mathrm{H}$]のコイル、静電容量 $C$[$\mathrm{F}$]のコンデンサが並列に接続されている次のようなRLC並列回路があるとします。

 

RLC並列回路

 

図のように、抵抗( $R$ )、コイル( $L$ )、コンデンサ( $C$ )が並列に接続されている回路をRLC並列回路といいます。

 

このRLC並列回路において、正弦波交流電源の電圧を $\dot{V} =V$( $\dot{V} =V+j\, 0$ )[$\mathrm{V}$]、角周波数を $\omega$[$\mathrm{rad/s}$]として、この回路の各素子に流れる電流( $I_R$[$\mathrm{A}$]、$I_L$[$\mathrm{A}$]、$I_C$[$\mathrm{A}$])と回路全体に流れる電流( $I$[$\mathrm{A}$])を計算して求めてみます。

 

RLC並列回路の電圧と各電流

 

 

RLC並列回路の各素子に流れる電流

初めに、RLC並列回路の各素子に流れる電流( $I_R$:抵抗 $R$ に流れる電流 $\dot{I_R}$ の大きさ、$I_L$:コイル $L$ に流れる電流 $\dot{I_L}$ の大きさ、$I_C$:コンデンサ $C$ に流れる電流 $\dot{I_C}$ の大きさ)を求めてみます。

 

抵抗Rに流れる電流

 

RLC並列回路の電流IR

 

抵抗 $R$ にかかる電圧は $\dot{V}$ 、抵抗 $R$ のアドミタンスは $\dfrac{1}{R}$[$\mathrm{S}$]なので、抵抗 $R$ に流れる電流 $\dot{I_R}$ と電圧 $\dot{V}$ の関係は次のように表わせます。

 

$\dot{I_R} =\dfrac{1}{R}\dot{V}$ …①

 

インピーダンスの逆数をアドミタンスといいます。抵抗 $R$ のインピーダンス $\dot{Z_R}$ は $\dot{Z_R} =R$ なので、抵抗 $R$ のアドミタンス $\dot{Y_R}$ は $\dot{Y_R} =\dfrac{1}{\dot{Z_R}} =\dfrac{1}{R}$ になります。
また、この回路は電源に抵抗 $R$ 、コイル $L$ 、コンデンサ $C$ が並列に接続された回路なので、電源の電圧 $\dot{V}$ がそのまま抵抗 $R$ 、コイル $L$ 、コンデンサ $C$ にかかります(つまり、$\dot{V} =\dot{V_R} =\dot{V_L} =\dot{V_C}$ )。

 

①式より電流 $\dot{I_R}$ を求めると、

 

$\dot{I_R} =\dfrac{\dot{V}}{R}$

 

$=\dfrac{V}{R}$ ($\dot{V} =V$ としているので $\dot{V}$ を $V$ とした

 

$\therefore\dot{I_R} =\dfrac{V}{R}$ …② (電流 $\dot{I_R}$

 

となります。この電流 $\dot{I_R}$ の大きさが電流 $I_R$ になるので、電流 $I_R$ は、

 

$I_R=|\dot{I_R} |$ ($\dot{I_R}$ の絶対値が $\dot{I_R}$ の大きさ(電流 $I_R$ )になる

 

$=\left|\dfrac{V}{R}\right| =\dfrac{V}{R}$

 

$\therefore I_R=\dfrac{V}{R}$ …③ (電流 $I_R$

 

となり、この電流 $I_R$(③式)がRLC並列回路の抵抗 $R$ に流れる電流の大きさになります。(オームの法則そのままの式ですね。)

 

RLC並列回路の抵抗に流れる電流の大きさ

 

コイルLに流れる電流

 

RLC並列回路の電流IL

 

コイル $L$ にかかる電圧は $\dot{V}$ 、コイル $L$ のアドミタンスは $\dfrac{1}{j\omega L}$[$\mathrm{S}$]なので、コイル $L$ に流れる電流 $\dot{I_L}$ と電圧 $\dot{V}$ の関係は次のように表わせます。

 

$\dot{I_L} =\dfrac{1}{j\omega L}\dot{V}$ …④

 

コイル $L$ のインピーダンス $\dot{Z_L}$ は $\dot{Z_L} =j\omega L$ なので、コイル $L$ のアドミタンス $\dot{Y_L}$ は $\dot{Y_L} =\dfrac{1}{\dot{Z_L}} =\dfrac{1}{j\omega L}$ になります。

 

④式より電流 $\dot{I_L}$ を求めると、

 

$\dot{I_L} =\dfrac{\dot{V}}{j\omega L}$

 

$=\dfrac{V}{j\omega L}$ ($\dot{V} =V$ としているので $\dot{V}$ を $V$ とした

 

$=-\dfrac{jV}{\omega L}$ (分母と分子に $j$ をかけた

 

$\therefore\dot{I_L} =-j\dfrac{V}{\omega L}$ …⑤ (電流 $\dot{I_L}$

 

となります。この電流 $\dot{I_L}$ の大きさが電流 $I_L$ になるので、電流 $I_L$ は、

 

$I_L=|\dot{I_L} |$ ($\dot{I_L}$ の絶対値が $\dot{I_L}$ の大きさ(電流 $I_L$ )になる

 

$=\sqrt{\left(\dfrac{V}{\omega L}\right)^2}$

 

$=\dfrac{V}{\omega L}$

 

$\therefore I_L=\dfrac{V}{\omega L}$ …⑥ (電流 $I_L$

 

となり、この電流 $I_L$(⑥式)がRLC並列回路のコイル $L$ に流れる電流の大きさになります。

 

RLC並列回路のコイルに流れる電流の大きさ

 

コイル $L$ のリアクタンスを $X_L$( $=\omega L$ )[$\Omega$]とすると、電流 $I_L$ は、$I_L=\dfrac{V}{X_L}$ とも表わせます。

 

コンデンサCに流れる電流

 

RLC並列回路の電流IC

 

コンデンサ $C$ にかかる電圧は $\dot{V}$ 、コンデンサ $C$ のアドミタンスは $j\omega C$[$\mathrm{S}$]なので、コンデンサ $C$ に流れる電流 $\dot{I_C}$ と電圧 $\dot{V}$ の関係は次のように表わせます。

 

$\dot{I_C} =j\omega C\dot{V}$ …⑦

 

コンデンサ $C$ のインピーダンス $\dot{Z_C}$ は $\dot{Z_C} =\dfrac{1}{j\omega C}$ なので、コンデンサ $C$ のアドミタンス $\dot{Y_C}$ は $\dot{Y_C} =\dfrac{1}{\dot{Z_C}} =j\omega C$ になります。

 

⑦式より電流 $\dot{I_C}$ を求めると、

 

$\dot{I_C} =j\omega C\dot{V}$

 

$=j\omega CV$ ($\dot{V} =V$ としているので $\dot{V}$ を $V$ とした

 

$\therefore\dot{I_C} =j\omega CV$ …⑧ (電流 $\dot{I_C}$

 

となります。この電流 $\dot{I_C}$ の大きさが電流 $I_C$ になるので、電流 $I_C$ は、

 

$I_C=|\dot{I_C} |$ ($\dot{I_C}$ の絶対値が $\dot{I_C}$ の大きさ(電流 $I_C$ )になる

 

$=\sqrt{\left(\omega CV\right)^2}$

 

$=\omega CV$

 

$\therefore I_C=\omega CV$ …⑨ (電流 $I_C$

 

となり、この電流 $I_C$(⑨式)がRLC並列回路のコンデンサ $C$ に流れる電流の大きさになります。

 

RLC並列回路のコンデンサに流れる電流の大きさ

 

コンデンサ $C$ のリアクタンスを $X_C$( $=\dfrac{1}{\omega C}$ )[$\Omega$]とすると、電流 $I_C$ は、$I_C=\omega CV=\dfrac{V}{\dfrac{1}{\omega C}} =\dfrac{V}{X_C}$ $\therefore I_C=\dfrac{V}{X_C}$ とも表わせます。

 

スポンサーリンク

スポンサーリンク


 

RLC並列回路の回路全体に流れる電流

次に、RLC並列回路の回路全体に流れる電流 $I$(回路全体に流れる電流 $\dot{I}$ の大きさ)を求めてみます。

 

RLC並列回路の回路全体に流れる電流I

 

この回路は抵抗 $R$ 、コイル $L$ 、コンデンサ $C$ が並列接続された回路なので、回路のアドミタンス $\dot{Y}$[$\mathrm{S}$]は、

 

$\dot{Y} =\dfrac{1}{R} +\dfrac{1}{j\omega L} +j\omega C$

 

となります。

 

RLC並列回路のアドミタンス $\dot{Y}$ は、抵抗 $R$ のアドミタンス $\dot{Y_R}$ 、コイル $L$ のアドミタンス $\dot{Y_L}$ 、コンデンサ $C$ のアドミタンス $\dot{Y_C}$ の和で表わされるので、$\dot{Y} =\dot{Y_R} +\dot{Y_L} +\dot{Y_C}$ $=\dfrac{1}{R} +\dfrac{1}{j\omega L} +j\omega C$ になります。

 

なので、この回路の電圧 $\dot{V}$ と電流 $\dot{I}$ の関係は次のように表わせます。

 

$\dot{I} =\left(\dfrac{1}{R} +\dfrac{1}{j\omega L} +j\omega C\right)\dot{V}$ …⑩

 

この⑩式より電流 $\dot{I}$ を求めると、

 

$\dot{I} =\left(\dfrac{1}{R} +\dfrac{1}{j\omega L} +j\omega C\right)\dot{V}$

 

$=\left(\dfrac{1}{R} +\dfrac{1}{j\omega L} +j\omega C\right) V$ ($\dot{V} =V$ としているので $\dot{V}$ を $V$ とした

 

$=\dfrac{V}{R} +\dfrac{V}{j\omega L} +j\omega CV$

 

$=\dfrac{V}{R} -j\dfrac{V}{\omega L} +j\omega CV$ ($\dfrac{V}{j\omega L}$ の分母と分子に $j$ をかけた

 

$=\dfrac{V}{R} +j\left(\omega CV-\dfrac{V}{\omega L}\right)$

 

$\therefore\dot{I} =\dfrac{V}{R} +j\left(\omega CV-\dfrac{V}{\omega L}\right)$ …⑪ (電流 $\dot{I}$

 

となります。この電流 $\dot{I}$ の大きさが電流 $I$ になるので、電流 $I$ は、

 

$I=|\dot{I} |$ ($\dot{I}$ の絶対値が $\dot{I}$ の大きさ(電流 $I$ )になる

 

$=\sqrt{\left(\dfrac{V}{R}\right)^2 +\left(\omega CV-\dfrac{V}{\omega L}\right)^2}$

 

$=\sqrt{V^2\left(\dfrac{1}{R}\right)^2 +V^2\left(\omega C-\dfrac{1}{\omega L}\right)^2}$

 

$=\sqrt{V^2\left\{\left(\dfrac{1}{R}\right)^2 +\left(\omega C-\dfrac{1}{\omega L}\right)^2\right\}}$

 

$=V\sqrt{\left(\dfrac{1}{R}\right)^2 +\left(\omega C-\dfrac{1}{\omega L}\right)^2}$

 

$\therefore I=V\sqrt{\left(\dfrac{1}{R}\right)^2 +\left(\omega C-\dfrac{1}{\omega L}\right)^2}$ …⑫ (電流 $I$

 

となり、この電流 $I$(⑫式)がRLC並列回路全体に流れる電流の大きさになります。

 

RLC並列回路の回路全体に流れる電流の大きさ

 

コイル $L$ のリアクタンスを $X_L$( $=\omega L$ )、コンデンサ $C$ のリアクタンスを $X_C$( $=\dfrac{1}{\omega C}$ )とすると、電流 $I$ は、$I=V\sqrt{\left(\dfrac{1}{R}\right)^2 +\left(\dfrac{1}{X_C} -\dfrac{1}{X_L}\right)^2}$ とも表わせます。

 

ちなみに、この回路は抵抗 $R$ 、コイル $L$ 、コンデンサ $C$ が並列接続された回路なので、回路全体に流れる電流 $\dot{I}$ は、抵抗 $R$ に流れる電流 $\dot{I_R}$ 、コイル $L$ に流れる電流 $\dot{I_L}$ 、コンデンサ $C$ に流れる電流 $\dot{I_C}$ のベクトル和 $\dot{I} =\dot{I_R} +\dot{I_L} +\dot{I_C}$ でも表わすことができるので、

 

RLC並列回路の回路全体に流れる電流は各素子に流れる電流のベクトル和

 

さきほど計算して求めた②式(電流 $\dot{I_R}$ )、⑤式(電流 $\dot{I_L}$ )、⑧式(電流 $\dot{I_C}$ )を使って、回路全体に流れる電流 $\dot{I}$ を次のようにして求めることもできます。

 

$\dot{I} =\dot{I_R} +\dot{I_L} +\dot{I_C}$

 

$=\dfrac{V}{R} +\left( -j\dfrac{V}{\omega L}\right) +j\omega CV$ ($\dot{I_R}$ に $\dfrac{V}{R}$ 、$\dot{I_L}$ に $-j\dfrac{V}{\omega L}$ 、$\dot{I_C}$ に $j\omega CV$ を代入した

 

$=\dfrac{V}{R} -j\dfrac{V}{\omega L} +j\omega CV$

 

$=\dfrac{V}{R} +j\left(\omega CV-\dfrac{V}{\omega L}\right)$

 

$\therefore\dot{I} =\dfrac{V}{R} +j\left(\omega CV-\dfrac{V}{\omega L}\right)$ …⑬ (②式、⑤式、⑧式を使って求めた電流 $\dot{I}$

 

⑬式は、さきほど計算して求めた⑪式(電流 $\dot{I}$ )と一致します。

 

以上で、抵抗 $R$ に流れる電流 $I_R$ 、コイル $L$ に流れる電流 $I_L$ 、コンデンサ $C$ に流れる電流 $I_C$ 、回路全体に流れる電流 $I$ が求められたので、続いて、RLC並列回路の電圧と電流のベクトル図の描き方と位相差の求め方について解説します。

 

RLC並列回路の電圧と電流のベクトル図

RLC並列回路の電圧と電流のベクトル図も描いてみましょう。

 

RLC並列回路の電圧と電流のベクトル図は、「コイル $L$ のリアクタンス $\omega L$ 」と「コンデンサ $C$ のリアクタンス $\dfrac{1}{\omega C}$ 」の大小関係でベクトル図が変わります。

 

なので、ここでは、
$\omega L\gt\dfrac{1}{\omega C}$ の場合
$\omega L\lt\dfrac{1}{\omega C}$ の場合
$\omega L=\dfrac{1}{\omega C}$ の場合
に分けてRLC並列回路の電圧と電流のベクトル図を描いていきます。

 

また、RLC並列回路のように並列接続の回路の場合は、一般に、電圧のベクトルを基準にして描いていくとベクトル図を描きやすいです。なので、ここでも電圧のベクトルを基準にしてRLC並列回路の電圧と電流のベクトル図を描いてみます。

 

では、 $\omega L\gt\dfrac{1}{\omega C}$ の場合から。

 

$\omega L\gt\dfrac{1}{\omega C}$ の場合

まず、基準のベクトルになる電圧 $\dot{V}$ を描きます。( $\dot{V}$ は電源の電圧です。)

 

RLC並列回路の電源の電圧のベクトル(コイルのリアクタンスがコンデンサのリアクタンスより大きい場合)

 

抵抗 $R$ に流れる電流 $\dot{I_R}$ は $\dot{I_R} =\dfrac{1}{R}\dot{V}$ と表わされるので、電流 $\dot{I_R}$ のベクトルの向きは、電圧 $\dot{V}$ のベクトルと同じ向きになります。

 

RLC並列回路の抵抗に流れる電流のベクトル(コイルのリアクタンスがコンデンサのリアクタンスより大きい場合)

 

$\dot{I_R} =\dfrac{1}{R}\dot{V}$ は、ベクトル $\dot{V}$ を $\dfrac{1}{R}$ 倍したのがベクトル $\dot{I_R}$ になるということを表わしています。
$\dot{I_R}$ と $\dot{V}$ は同じ向きなので、電流 $\dot{I_R}$ は電圧 $\dot{V}$ と同相(位相のずれがない)ということになります。

 

コイル $L$ に流れる電流 $\dot{I_L}$ は $\dot{I_L} =\dfrac{1}{j\omega L}\dot{V} =-j\dfrac{1}{\omega L}\dot{V}$ と表わされるので、電流 $\dot{I_L}$ のベクトルの向きは、電圧 $\dot{V}$ のベクトルを時計方向に90°回転した向きになります。

 

RLC並列回路のコイルに流れる電流のベクトル(コイルのリアクタンスがコンデンサのリアクタンスより大きい場合)

 

$\dot{I_L} =-j\dfrac{1}{\omega L}\dot{V}$ は、ベクトル $\dot{V}$ を $\dfrac{1}{\omega L}$ 倍して時計方向に90°回転したのがベクトル $\dot{I_L}$ になるということを表わしています。(ベクトルに「 $-j$ 」を1回かけると、ベクトルは時計方向に90°回転します。)
$\dot{I_L}$ の向きは $\dot{V}$ を時計方向に90°回転した向きになるので、電流 $\dot{I_L}$ は電圧 $\dot{V}$ より $\dfrac{\pi}{2}$[$\mathrm{rad}$](90°)位相が遅れている(言い換えれば、電圧 $\dot{V}$ は電流 $\dot{I_L}$ より $\dfrac{\pi}{2}$[$\mathrm{rad}$](90°)位相が進んでいる)ということになります。

 

コンデンサ $C$ に流れる電流 $\dot{I_C}$ は $\dot{I_C} =j\omega C\dot{V}$ と表わされるので、電流 $\dot{I_C}$ のベクトルの向きは、電圧 $\dot{V}$ のベクトルを反時計方向に90°回転した向きになります。

 

RLC並列回路のコンデンサに流れる電流のベクトル(コイルのリアクタンスがコンデンサのリアクタンスより大きい場合)

 

$\dot{I_C} =j\omega C\dot{V}$ は、ベクトル $\dot{V}$ を $\omega C$ 倍して反時計方向に90°回転したのがベクトル $\dot{I_C}$ になるということを表わしています。(ベクトルに「 $j$ 」を1回かけると、ベクトルは反時計方向に90°回転します。)
$\dot{I_C}$ の向きは $\dot{V}$ を反時計方向に90°回転した向きになるので、電流 $\dot{I_C}$ は電圧 $\dot{V}$ より $\dfrac{\pi}{2}$[$\mathrm{rad}$](90°)位相が進んでいる(言い換えれば、電圧 $\dot{V}$ は電流 $\dot{I_C}$ より $\dfrac{\pi}{2}$[$\mathrm{rad}$](90°)位相が遅れている)ということになります。

 

回路全体に流れる電流 $\dot{I}$ は、抵抗 $R$ に流れる電流 $\dot{I_R}$ 、コイル $L$ に流れる電流 $\dot{I_L}$ 、コンデンサ $C$ に流れる電流 $\dot{I_C}$ の3つのベクトルの和 $\dot{I} =\dot{I_R} +\dot{I_L} +\dot{I_C}$ で表わされるので、回路全体に流れる電流 $\dot{I}$ は電流 $\dot{I_R}$ 、電流 $\dot{I_L}$ 、電流 $\dot{I_C}$ の3つのベクトルを合成したベクトルになります。

 

RLC並列回路の回路全体に流れる電流のベクトル(コイルのリアクタンスがコンデンサのリアクタンスより大きい場合)

 

ここで、電流 $\dot{I_L}$ と電流 $\dot{I_C}$ を合成したベクトル( $\dot{I_L} +\dot{I_C}$ )の向きが上向きになっているのは、ここでは $\omega L\gt\dfrac{1}{\omega C}$ の場合で考えているためで、$\omega L\gt\dfrac{1}{\omega C}$ の場合は、

 

電流 $\dot{I_L}$ の大きさ( $I_L=\dfrac{V}{\omega L}$ )$\lt$ 電流 $\dot{I_C}$ の大きさ( $I_C=\omega CV$ )

 

となるからです。(並列接続なので電圧 $V$ はどちらも同じ大きさになり、$\omega L\gt\dfrac{1}{\omega C}$ の場合は $\dfrac{1}{\omega L}\lt\omega C$ となります。)

 

以上より、$\omega L\gt\dfrac{1}{\omega C}$ の場合のRLC並列回路の電圧と電流のベクトル図は次のようになり、$\omega L\gt\dfrac{1}{\omega C}$ の場合、回路全体に流れる電流 $\dot{I}$ は電源の電圧 $\dot{V}$ より位相が進んでいる(言い換えれば、電源の電圧 $\dot{V}$ は回路全体に流れる電流 $\dot{I}$ より位相が遅れている)のが分かります。

 

RLC並列回路の電圧と電流のベクトル図(コイルのリアクタンスがコンデンサのリアクタンスより大きい場合)

 

ベクトル図をみると分かるように、$\omega L\gt\dfrac{1}{\omega C}$ の場合は電圧 $\dot{V}$ に対して電流 $\dot{I}$ の位相が進んでいるので、$\omega L\gt\dfrac{1}{\omega C}$ の場合のRLC並列回路は容量性の回路になります。

 

なお、各ベクトルの大きさ(長さ)は、それぞれさきほど計算した $I_R$ 、$I_L$ 、$I_C$ 、$I$ になるので( $\dot{V}$ の大きさは $V$ )、

 

RLC並列回路の各ベクトルの大きさ(コイルのリアクタンスがコンデンサのリアクタンスより大きい場合)

 

ベクトル図より電圧 $\dot{V}$ に対する電流 $\dot{I}$ の位相差 $\theta$[$\mathrm{rad}$]を求めると、

 

$\tan\theta =\dfrac{I_C-I_L}{I_R}$ より、

 

$\theta =\tan^{-1}\dfrac{I_C-I_L}{I_R}$ ($\tan^{-1}$ は $\tan$ の逆三角関数です

 

$=\tan^{-1}\dfrac{\omega CV-\dfrac{V}{\omega L}}{\dfrac{V}{R}}$ ($I_C$ に $\omega CV$ 、$I_L$ に $\dfrac{V}{\omega L}$ 、$I_R$ に $\dfrac{V}{R}$ を代入した

 

$=\tan^{-1}\dfrac{\omega C-\dfrac{1}{\omega L}}{\dfrac{1}{R}}$

 

$\therefore\theta =\tan^{-1}\dfrac{\omega C-\dfrac{1}{\omega L}}{\dfrac{1}{R}}$ (位相差 $\theta$

 

となります。

 

RLC並列回路の位相差θ(コイルのリアクタンスがコンデンサのリアクタンスより大きい場合)

 

コイル $L$ のリアクタンスを $X_L$( $=\omega L$ )、コンデンサ $C$ のリアクタンスを $X_C$( $=\dfrac{1}{\omega C}$ )とすると、$\theta$ は、$\theta =\tan^{-1}\dfrac{\dfrac{1}{X_C} -\dfrac{1}{X_L}}{\dfrac{1}{R}}$ とも表わせます。

 

$\omega L\lt\dfrac{1}{\omega C}$ の場合

まず、基準のベクトルになる電圧 $\dot{V}$ を描きます。

 

RLC並列回路の電源の電圧のベクトル(コイルのリアクタンスがコンデンサのリアクタンスより小さい場合)

 

抵抗 $R$ に流れる電流 $\dot{I_R}$ は $\dot{I_R} =\dfrac{1}{R}\dot{V}$ と表わされるので、電流 $\dot{I_R}$ のベクトルの向きは、電圧 $\dot{V}$ のベクトルと同じ向きになります。

 

RLC並列回路の抵抗に流れる電流のベクトル(コイルのリアクタンスがコンデンサのリアクタンスより小さい場合)

 

コイル $L$ に流れる電流 $\dot{I_L}$ は $\dot{I_L} =\dfrac{1}{j\omega L}\dot{V} =-j\dfrac{1}{\omega L}\dot{V}$ と表わされるので、電流 $\dot{I_L}$ のベクトルの向きは、電圧 $\dot{V}$ のベクトルを時計方向に90°回転した向きになります。

 

RLC並列回路のコイルに流れる電流のベクトル(コイルのリアクタンスがコンデンサのリアクタンスより小さい場合)

 

コンデンサ $C$ に流れる電流 $\dot{I_C}$ は $\dot{I_C} =j\omega C\dot{V}$ と表わされるので、電流 $\dot{I_C}$ のベクトルの向きは、電圧 $\dot{V}$ のベクトルを反時計方向に90°回転した向きになります。

 

RLC並列回路のコンデンサに流れる電流のベクトル(コイルのリアクタンスがコンデンサのリアクタンスより小さい場合)

 

回路全体に流れる電流 $\dot{I}$ は、抵抗 $R$ に流れる電流 $\dot{I_R}$ 、コイル $L$ に流れる電流 $\dot{I_L}$ 、コンデンサ $C$ に流れる電流 $\dot{I_C}$ の3つのベクトルの和 $\dot{I} =\dot{I_R} +\dot{I_L} +\dot{I_C}$ で表わされるので、回路全体に流れる電流 $\dot{I}$ は電流 $\dot{I_R}$ 、電流 $\dot{I_L}$ 、電流 $\dot{I_C}$ の3つのベクトルを合成したベクトルになります。

 

RLC並列回路の回路全体に流れる電流のベクトル(コイルのリアクタンスがコンデンサのリアクタンスより小さい場合)

 

ここで、電流 $\dot{I_L}$ と電流 $\dot{I_C}$ を合成したベクトル( $\dot{I_L} +\dot{I_C}$ )の向きが下向きになっているのは、ここでは $\omega L\lt\dfrac{1}{\omega C}$ の場合で考えているためで、$\omega L\lt\dfrac{1}{\omega C}$ の場合は、

 

電流 $\dot{I_L}$ の大きさ( $I_L=\dfrac{V}{\omega L}$ )$\gt$ 電流 $\dot{I_C}$ の大きさ( $I_C=\omega CV$ )

 

となるからです。(並列接続なので電圧 $V$ はどちらも同じ大きさになり、$\omega L\lt\dfrac{1}{\omega C}$ の場合は $\dfrac{1}{\omega L}\gt\omega C$ となります。)

 

以上より、$\omega L\lt\dfrac{1}{\omega C}$ の場合のRLC並列回路の電圧と電流のベクトル図は次のようになり、$\omega L\lt\dfrac{1}{\omega C}$ の場合、回路全体に流れる電流 $\dot{I}$ は電源の電圧 $\dot{V}$ より位相が遅れている(言い換えれば、電源の電圧 $\dot{V}$ は回路全体に流れる電流 $\dot{I}$ より位相が進んでいる)のが分かります。

 

RLC並列回路の電圧と電流のベクトル図(コイルのリアクタンスがコンデンサのリアクタンスより小さい場合)

 

ベクトル図をみると分かるように、$\omega L\lt\dfrac{1}{\omega C}$ の場合は電圧 $\dot{V}$ に対して電流 $\dot{I}$ の位相が遅れているので、$\omega L\lt\dfrac{1}{\omega C}$ の場合のRLC並列回路は誘導性の回路になります。

 

なお、ベクトル図より電圧 $\dot{V}$ に対する電流 $\dot{I}$ の位相差 $\theta$[$\mathrm{rad}$]を求めると、

 

$\tan\theta =\dfrac{-\left( I_L-I_C\right)}{I_R}$ より、 ($I_L-I_C$ は $\dot{I_L} +\dot{I_C}$ の大きさです

 

$\theta =\tan^{-1}\dfrac{-\left( I_L-I_C\right)}{I_R}$ ($\tan^{-1}$ は $\tan$ の逆三角関数です

 

$=-\tan^{-1}\dfrac{I_L-I_C}{I_R}$

 

$=-\tan^{-1}\dfrac{\dfrac{V}{\omega L} -\omega CV}{\dfrac{V}{R}}$ ($I_L$ に $\dfrac{V}{\omega L}$ 、$I_C$ に $\omega CV$ 、$I_R$ に $\dfrac{V}{R}$ を代入した

 

$=-\tan^{-1}\dfrac{\dfrac{1}{\omega L} -\omega C}{\dfrac{1}{R}}$

 

$\therefore\theta =-\tan^{-1}\dfrac{\dfrac{1}{\omega L} -\omega C}{\dfrac{1}{R}}$ (位相差 $\theta$

 

となります。

 

RLC並列回路の位相差θ(コイルのリアクタンスがコンデンサのリアクタンスより小さい場合)

 

コイル $L$ のリアクタンスを $X_L$( $=\omega L$ )、コンデンサ $C$ のリアクタンスを $X_C$( $=\dfrac{1}{\omega C}$ )とすると、$\theta$ は、$\theta =-\tan^{-1}\dfrac{\dfrac{1}{X_L} -\dfrac{1}{X_C}}{\dfrac{1}{R}}$ とも表わせます。

 

$\omega L=\dfrac{1}{\omega C}$ の場合

まず、基準のベクトルになる電圧 $\dot{V}$ を描きます。

 

RLC並列回路の電源の電圧のベクトル(コイルのリアクタンスとコンデンサのリアクタンスが等しい場合)

 

抵抗 $R$ に流れる電流 $\dot{I_R}$ は $\dot{I_R} =\dfrac{1}{R}\dot{V}$ と表わされるので、電流 $\dot{I_R}$ のベクトルの向きは、電圧 $\dot{V}$ のベクトルと同じ向きになります。

 

RLC並列回路の抵抗に流れる電流のベクトル(コイルのリアクタンスとコンデンサのリアクタンスが等しい場合)

 

コイル $L$ に流れる電流 $\dot{I_L}$ は $\dot{I_L} =\dfrac{1}{j\omega L}\dot{V} =-j\dfrac{1}{\omega L}\dot{V}$ と表わされるので、電流 $\dot{I_L}$ のベクトルの向きは、電圧 $\dot{V}$ のベクトルを時計方向に90°回転した向きになります。

 

RLC並列回路のコイルに流れる電流のベクトル(コイルのリアクタンスとコンデンサのリアクタンスが等しい場合)

 

コンデンサ $C$ に流れる電流 $\dot{I_C}$ は $\dot{I_C} =j\omega C\dot{V}$ と表わされるので、電流 $\dot{I_C}$ のベクトルの向きは、電圧 $\dot{V}$ のベクトルを反時計方向に90°回転した向きになります。

 

RLC並列回路のコンデンサに流れる電流のベクトル(コイルのリアクタンスとコンデンサのリアクタンスが等しい場合)

 

回路全体に流れる電流 $\dot{I}$ は、抵抗 $R$ に流れる電流 $\dot{I_R}$ 、コイル $L$ に流れる電流 $\dot{I_L}$ 、コンデンサ $C$ に流れる電流 $\dot{I_C}$ の3つのベクトルの和 $\dot{I} =\dot{I_R} +\dot{I_L} +\dot{I_C}$ で表わされるので、回路全体に流れる電流 $\dot{I}$ は電流 $\dot{I_R}$ 、電流 $\dot{I_L}$ 、電流 $\dot{I_C}$ の3つのベクトルを合成したベクトルになります。

 

RLC並列回路の回路全体に流れる電流のベクトル(コイルのリアクタンスとコンデンサのリアクタンスが等しい場合)

 

ここで、回路全体に流れる電流 $\dot{I}$ のベクトルの向きが右向きになっているのは、ここでは $\omega L=\dfrac{1}{\omega C}$ の場合で考えているためで、$\omega L=\dfrac{1}{\omega C}$ の場合は、

 

電流 $\dot{I_L}$ の大きさ( $I_L=\dfrac{V}{\omega L} =\omega CV$ )$=$ 電流 $\dot{I_C}$ の大きさ( $I_C=\omega CV=\dfrac{V}{\omega L}$ )

 

となり、電流 $\dot{I_L}$ と電流 $\dot{I_C}$ のベクトルの向きは180°反対で同じ大きさになるからです。(つまり、電流 $\dot{I_L}$ と電流 $\dot{I_C}$ は完全に打ち消しあって、電流 $\dot{I_R}$ だけ残るから。)

 

以上より、$\omega L=\dfrac{1}{\omega C}$ の場合のRLC並列回路の電圧と電流のベクトル図は次のようになり、$\omega L=\dfrac{1}{\omega C}$ の場合、回路全体に流れる電流 $\dot{I}$ は抵抗 $R$ に流れる電流 $\dot{I_R}$ と等しくなります

 

RLC並列回路の電圧と電流のベクトル図(コイルのリアクタンスとコンデンサのリアクタンスが等しい場合)

 

$\omega L=\dfrac{1}{\omega C}$ の場合、電圧 $\dot{V}$ のベクトルの向きと電流 $\dot{I}$ のベクトルの向きが同じになるので、電圧 $\dot{V}$ と電流 $\dot{I}$ の位相差は $0$[$\mathrm{rad}$]になります。

 

$\omega L=\dfrac{1}{\omega C}$ となる場合のRLC並列回路をRLC並列共振回路といいます。RLC並列共振回路については、こちらのRLC並列共振回路のページで詳しく解説していますので参考にしてみてください。

 

以上で、RLC並列回路の電圧と電流のベクトル図と位相差が求められました。RLC並列回路の場合はリアクタンスの大きさで場合分けをしないとならないので、ちょっとめんどくさいですね。

 

交流回路の電圧と電流の計算とベクトル図(RLC並列回路)のまとめ

 

RLC並列回路

 

  • 抵抗 $R$ に流れる電流 $I_R$
    $I_R=\dfrac{V}{R}$

 

  • コイル $L$ に流れる電流 $I_L$
    $I_L=\dfrac{V}{\omega L}$

 

  • コンデンサ $C$ に流れる電流 $I_C$
    $I_C=\omega CV$

 

  • RLC並列回路全体に流れる電流 $I$
    $I=V\sqrt{\left(\dfrac{1}{R}\right)^2 +\left(\omega C-\dfrac{1}{\omega L}\right)^2}$

 

  • RLC並列回路の電圧と電流のベクトル図と位相差
    $\omega L\gt\dfrac{1}{\omega C}$ の場合
    RLC並列回路の電圧と電流のベクトル図(コイルのリアクタンスがコンデンサのリアクタンスより大きい場合)

    位相差: $\theta =\tan^{-1}\dfrac{\omega C-\dfrac{1}{\omega L}}{\dfrac{1}{R}}$


    $\omega L\lt\dfrac{1}{\omega C}$ の場合
    RLC並列回路の電圧と電流のベクトル図(コイルのリアクタンスがコンデンサのリアクタンスより小さい場合)

    位相差: $\theta =-\tan^{-1}\dfrac{\dfrac{1}{\omega L} -\omega C}{\dfrac{1}{R}}$


    $\omega L=\dfrac{1}{\omega C}$ の場合
    RLC並列回路の電圧と電流のベクトル図(コイルのリアクタンスとコンデンサのリアクタンスが等しい場合)

 

スポンサーリンク

スポンサーリンク


 



おすすめ記事(一部広告含む)


交流回路の電圧と電流の計算とベクトル図(RLC並列回路) 関連ページ

インピーダンス
インピーダンスについて解説しています。交流回路での電圧と電流の比をインピーダンスといい、インピーダンスの大きさは、交流電流の流れにくさを表わします。インピーダンスの求め方や、インピーダンス三角形、インピーダンス角などについても解説していますので参考にしてみてください。
複素インピーダンス
複素インピーダンスについて解説しています。複素数で表わされたインピーダンスを複素インピーダンスといい、複素インピーダンスの実部は抵抗、虚部はリアクタンスを表わします。いろいろな交流回路の複素インピーダンスの求め方などについても解説していますので参考にしてみてください。
アドミタンス
アドミタンスについて解説しています。インピーダンスの逆数をアドミタンスといい、アドミタンスの大きさは、交流電流の流れやすさを表わします。アドミタンスの求め方や、アドミタンス三角形、アドミタンス角などについても解説していますので参考にしてみてください。
複素アドミタンス
複素アドミタンスについて解説しています。複素数で表わされたアドミタンスを複素アドミタンスといい、複素アドミタンスの実部はコンダクタンス、虚部はサセプタンスを表わします。いろいろな交流回路の複素アドミタンスの求め方などについても解説していますので参考にしてみてください。
交流回路のインピーダンスの計算(素子が1個の場合)
素子(抵抗R、コイルL、コンデンサC)が1個の場合のインピーダンスについて解説しています。素子(R、L、C)が1個なので、計算というほどの計算もなく求められますが、とりあえずインピーダンスの計算の基礎なので・・・。
交流回路の合成インピーダンスの計算(素子が2個直列接続の場合)
素子(抵抗R、コイルL、コンデンサC)が2個直列接続された場合(RL直列回路、RC直列回路,LC直列回路)の合成インピーダンスを計算しています。LC直列回路の場合には、コイルLとコンデンサCのリアクタンスの大きさによって合成インピーダンスのベクトルの向きが変わるので気を付けましょう。
交流回路の合成インピーダンスの計算(素子が2個並列接続の場合)
素子(抵抗R、コイルL、コンデンサC)が2個並列接続された場合(RL並列回路、RC並列回路,LC並列回路)の合成インピーダンスを計算しています。LC並列回路の場合は、条件によって合成インピーダンスのベクトルの向きが変わるので気を付けましょう。各合成インピーダンスのベクトル図も書いていますので、参考にしてみてください。
交流回路の合成インピーダンスの計算(RLC直列回路)
素子(抵抗R、コイルL、コンデンサC)が3個直列接続された場合(RLC直列回路)の合成インピーダンスを計算しています。RLC直列回路の場合、コイルLとコンデンサCのリアクタンスの大きさが同じときには合成インピーダンスは抵抗Rだけになります。これはすごく大事なことなのでおぼえておきましょう!
交流回路の合成インピーダンスの計算(RLC並列回路)
素子(抵抗R、コイルL、コンデンサC)が3個並列接続された場合(RLC並列回路)の合成インピーダンスを計算しています。RLC並列回路の場合、周波数が反共振周波数のときコイルLとコンデンサCの並列回路部分が解放状態と同じになるため、合成インピーダンスは抵抗Rだけになります。
RLC直列共振回路
RLC直列共振回路について解説しています。RLC直列共振回路はフィルタ回路など電気で幅広く応用されている回路ですので、共振周波数など基本的なことだけでもおぼえておくようにしましょう。
RLC並列共振回路
RLC並列共振回路について解説しています。RLC並列共振回路などの共振回路は電気で幅広く応用されている回路ですので、共振周波数など基本的なことだけでもおぼえておくようにしましょう。
正弦波交流波形の実効値はなぜ最大値÷√2か?
正弦波交流波形の実効値を求めるときは最大値を√2で割ればいいですが、では、なぜ√2で割れば実効値になるのでしょうか?正弦波交流波形の実効値が最大値÷√2になることを計算で導いてみましたので参考にしてみてください。全波整流波形、半波整流波形、方形波、のこぎり波についても実効値を計算してみました。
なぜコイルに流れる電流の位相は電圧より90°遅れるのか?
コイルに流れる電流の位相は電圧よりも90°遅れますが、コイルの場合、なぜ電流が電圧よりも90°遅れ位相になるのかを計算で導いています。
なぜコンデンサに流れる電流の位相は電圧より90°進むのか?
コンデンサに流れる電流の位相は電圧よりも90°進みますが、コンデンサの場合、なぜ電流が電圧よりも90°進み位相になるのかを計算で導いています。
交流回路の電圧と電流の計算とベクトル図(抵抗だけの回路)
正弦波交流電源に抵抗だけ接続されている交流回路の回路に流れる電流と、抵抗にかかる電圧の計算方法について解説しています。電圧と電流のベクトル図の描き方についても解説していますので、交流回路の計算やベクトル図の描き方の参考にしてみてください。
交流回路の電圧と電流の計算とベクトル図(コイルだけの回路)
正弦波交流電源にコイルだけ接続されている交流回路の回路に流れる電流と、コイルにかかる電圧の計算方法について解説しています。電圧と電流のベクトル図の描き方についても解説していますので、交流回路の計算やベクトル図の描き方の参考にしてみてください。
交流回路の電圧と電流の計算とベクトル図(コンデンサだけの回路)
正弦波交流電源にコンデンサだけ接続されている交流回路の回路に流れる電流と、コンデンサにかかる電圧の計算方法について解説しています。電圧と電流のベクトル図の描き方についても解説していますので、交流回路の計算やベクトル図の描き方の参考にしてみてください。
交流回路の電圧と電流の計算とベクトル図(RL直列回路)
RL直列回路(交流回路)の各素子にかかる電圧、直列接続全体にかかる電圧、位相差の計算方法について解説しています。RL直列回路の電圧と電流のベクトル図の描き方についても解説していますので、RL直列回路の計算やベクトル図の描き方の参考にしてみてください。
交流回路の電圧と電流の計算とベクトル図(RC直列回路)
RC直列回路(交流回路)の各素子にかかる電圧、直列接続全体にかかる電圧、位相差の計算方法について解説しています。RC直列回路の電圧と電流のベクトル図の描き方についても解説していますので、RC直列回路の計算やベクトル図の描き方の参考にしてみてください。
交流回路の電圧と電流の計算とベクトル図(RLC直列回路)
RLC直列回路(交流回路)の各素子にかかる電圧、直列接続全体にかかる電圧、位相差の計算方法について解説しています。RLC直列回路の電圧と電流のベクトル図の描き方についても解説していますので、RLC直列回路の計算やベクトル図の描き方の参考にしてみてください。
交流回路の電圧と電流の計算とベクトル図(RL並列回路)
RL並列回路(交流回路)の各素子に流れる電流、回路全体に流れる電流、位相差の計算方法について解説しています。RL並列回路の電圧と電流のベクトル図の描き方についても解説していますので、RL並列回路の計算やベクトル図の描き方の参考にしてみてください。
交流回路の電圧と電流の計算とベクトル図(RC並列回路)
RC並列回路(交流回路)の各素子に流れる電流、回路全体に流れる電流、位相差の計算方法について解説しています。RC並列回路の電圧と電流のベクトル図の描き方についても解説していますので、RC並列回路の計算やベクトル図の描き方の参考にしてみてください。
交流回路の電圧と電流の計算とベクトル図(LC並列回路)
LC並列回路(交流回路)の各素子に流れる電流と、回路全体に流れる電流の計算方法について解説しています。LC並列回路の電圧と電流のベクトル図の描き方についても解説していますので、LC並列回路の計算やベクトル図の描き方の参考にしてみてください。
RL直列回路の電圧と電流の計算(電源の電圧を基準にした場合)
RL直列回路の回路に流れる電流と各素子にかかる電圧を電源の電圧を基準にして計算していますので、RL直列回路の電圧と電流の計算方法の参考にしてみてください。
RC直列回路の電圧と電流の計算(電源の電圧を基準にした場合)
RC直列回路の回路に流れる電流と各素子にかかる電圧を電源の電圧を基準にして計算していますので、RC直列回路の電圧と電流の計算方法の参考にしてみてください。
RLC直列回路の電圧と電流の計算(電源の電圧を基準にした場合)
RLC直列回路の回路に流れる電流と各素子にかかる電圧を電源の電圧を基準にして計算していますので、RLC直列回路の電圧と電流の計算方法の参考にしてみてください。
交流回路の電力の計算(抵抗だけの回路)
負荷が抵抗だけの場合の交流回路の電力(瞬時電力、平均電力)の計算方法(求め方)、電力の波形などについて解説しています。
交流回路の電力の計算(コイルだけの回路)
負荷がコイルだけの場合の交流回路の電力(瞬時電力、平均電力)の計算方法(求め方)、電力の波形などについて解説しています。
交流回路の電力の計算(コンデンサだけの回路)
負荷がコンデンサだけの場合の交流回路の電力(瞬時電力、平均電力)の計算方法(求め方)、電力の波形などについて解説しています。
交流回路の電力の計算(RL直列回路)
RL直列回路の電力(瞬時電力、平均電力)の計算方法(求め方)、電力の波形などについて解説しています。
交流回路の電力の計算(RC直列回路)
RC直列回路の電力(瞬時電力、平均電力)の計算方法(求め方)、電力の波形などについて解説しています。
有効・無効・皮相電力
交流回路には「有効電力」「無効電力」「皮相電力」の3種類の電力があります。それぞれの電力の求め方と、3つの電力の関係について解説しています。
力率とは?(力率と電力の関係)
交流回路の勉強をしていると「力率」がでてきますが、力率って何でしょうか?力率の式の表し方には色々ありますが、ここでは、力率と皮相電力、有効電力、無効電力の関係とその関係式などについて解説します。
力率とは?(力率と位相の関係)
交流回路の勉強をしていると「力率(cosΘ)」がでてきますが、力率って何でしょうか?力率の式の表し方には色々ありますが、ここでは、位相と力率の関係について抵抗、コイル、コンデンサの回路を例に解説しています。
波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の求め方
波形は色々ありますが、その波形の特性を表わす値として実効値、平均値、最大値、波形率、波高率などがあります。ここでは、波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の定義式、求め方について解説しています。
正弦波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法
波形は色々ありますが、その波形の特性を表わす値として実効値、平均値、最大値、波形率、波高率などがあります。ここでは、正弦波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法、求め方について解説しています。
全波整流波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法
波形は色々ありますが、その波形の特性を表わす値として実効値、平均値、最大値、波形率、波高率などがあります。ここでは、全波整流波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法、求め方について解説しています。
半波整流波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法
半波整流波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法、求め方について解説しています。波形の特性を表わす値として実効値、平均値、最大値、波形率、波高率などがありますが、これらは大事な値ですので、求め方、計算方法をおぼえておきましょう。
方形波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法
方形波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法、求め方について解説しています。方形波波形の場合、実効値と平均値と最大値が同じ値、波形率と波高率が同じ値になります。ちなみに、方形波と矩形波は同じです。
のこぎり波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法
のこぎり波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法、求め方について解説しています。のこぎり波波形の実効値と平均値を求めるためには、のこぎり波波形の式から考えないといけないので、他の波形よりも計算がちょっと大変です。
三相電力の公式はなぜ√3倍なのか?(三相電力の公式の導出)
三相電力の公式はP=√3VIcosφで表わされますが、なぜ√3倍になるのか?スター結線の場合とデルタ結線の場合それぞれについて、三相電力の公式を導出してみました。この三相電力の公式は電験三種の「理論」「電力」科目の問題を解くときに度々使われる基本的な公式ですのでおぼえておくようにしましょう。
スター結線(Y結線)の線間電圧はなぜ相電圧の√3倍になるのか?
スター結線(Y結線)されている三相交流回路の線間電圧は相電圧の√3倍になりますが、なぜ√3倍になるのか?スター結線のときの線間電圧と相電圧のベクトル図を求め、求めたベクトル図から√3倍になる理由について解説しています。