デルタスター変換（Δ→Y変換）

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次の左の図のような接続をデルタ結線（$\Delta$結線）、右の図のような接続をスター結線（$\mathrm{Y}$結線）といいます。

デルタ結線とスター結線

デルタ結線（$\Delta$結線）は、三角結線とも呼ばれます。また、スター結線（$\mathrm{Y}$結線）は、ワイ結線、または星形結線とも呼ばれます。

このデルタ結線（$\Delta$結線）とスター結線（$\mathrm{Y}$結線）は互いに等価な回路に変換することができ、デルタ結線（$\Delta$結線）を等価なスター結線（$\mathrm{Y}$結線）に変換するとき、この変換をデルタスター変換（$\Delta$→$\mathrm{Y}$変換）といいます。

デルタスター変換

デルタスター変換は、デルタスター等価変換と呼ばれることもあります。また、$\Delta$→$\mathrm{Y}$変換は、矢印ではなくハイフンで$\Delta$-$\mathrm{Y}$変換と表記されることもあります。

デルタスター変換（$\Delta$→$\mathrm{Y}$変換）は、例えば、三相交流回路でスター結線（$\mathrm{Y}$結線）とデルタ結線（$\Delta$結線）が混在しているときに、デルタ結線（$\Delta$結線）になっている部分をスター結線（$\mathrm{Y}$結線）に変換し、三相交流回路の計算をやりやすくしたりするときなどに使われたりします。

三相交流回路でのデルタスター変換の例

また、回路中にデルタ結線（$\Delta$結線）になっている部分があって、そのままの回路で計算すると回路の計算が複雑になる場合などに、デルタ結線（$\Delta$結線）になっている部分をスター結線（$\mathrm{Y}$結線）に変換し、回路の計算がやりやすくなるように回路を簡単化するときなどにも使われます。

デルタスター変換を利用した回路の簡単化の例

このように回路の計算をするときになにかと役立つデルタスター変換（$\Delta$→$\mathrm{Y}$変換）ですが、変換のやり方はそれほど難しくはなく、デルタスター変換の式を使って計算するだけで変換後のスター結線（$\mathrm{Y}$結線）の回路を求めることができます。

ここでは、デルタ結線（$\Delta$結線）をスター結線（$\mathrm{Y}$結線）に変換するときに使う変換式をデルタスター変換の式と呼ぶことにします。

例えば次のように、$R_{\Delta\mathrm{AB}}$［$\Omega$］、$R_{\Delta\mathrm{BC}}$［$\Omega$］、$R_{\Delta\mathrm{CA}}$［$\Omega$］の抵抗がデルタ結線（$\Delta$結線）されている回路があるすると、

デルタ結線の回路

この回路のデルタスター変換後のスター結線（$\mathrm{Y}$結線）の各抵抗値（ $R_{\mathrm{YA}}$［$\Omega$］、$R_{\mathrm{YB}}$［$\Omega$］、$R_{\mathrm{YC}}$［$\Omega$］）は、

デルタ結線とスター結線（スター結線の各抵抗値）

それぞれ次の①～③式（デルタスター変換の式）で与えられます。

$R_{\mathrm{YA}} =\dfrac{R_{\Delta\mathrm{CA}} R_{\Delta\mathrm{AB}}}{R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}}}$　…①　（変換後のスター結線の抵抗 $R_{\mathrm{YA}}$ ）

$R_{\mathrm{YB}} =\dfrac{R_{\Delta\mathrm{AB}} R_{\Delta\mathrm{BC}}}{R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}}}$　…②　（変換後のスター結線の抵抗 $R_{\mathrm{YB}}$ ）

$R_{\mathrm{YC}} =\dfrac{R_{\Delta\mathrm{BC}} R_{\Delta\mathrm{CA}}}{R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}}}$　…③　（変換後のスター結線の抵抗 $R_{\mathrm{YC}}$ ）

つまり、この①～③式に変換前のデルタ結線（$\Delta$結線）の各抵抗値を代入すれば、変換後のスター結線（$\mathrm{Y}$結線）の各抵抗値が求められます。

デルタスター変換後のスター結線の各抵抗値

なお、3つの抵抗が同じ場合は、$R_{\Delta\mathrm{AB}}$ $=R_{\Delta\mathrm{BC}}$ $=R_{\Delta\mathrm{CA}}$ $=R_{\Delta}$［$\Omega$］とすると、

$R_{\mathrm{YA}} =\dfrac{R_{\Delta} R_{\Delta}}{R_{\Delta} +R_{\Delta} +R_{\Delta}}$　（①式の $R_{\Delta\mathrm{AB}}$ 、$R_{\Delta\mathrm{BC}}$ 、$R_{\Delta\mathrm{CA}}$ に $R_{\Delta}$ を代入した）

$=\dfrac{{R_{\Delta}}^2}{3R_{\Delta}} =\dfrac{R_{\Delta}}{3}$

$\therefore R_{\mathrm{YA}} =\dfrac{R_{\Delta}}{3}$

$R_{\mathrm{YB}} =\dfrac{R_{\Delta} R_{\Delta}}{R_{\Delta} +R_{\Delta} +R_{\Delta}}$　（②式の $R_{\Delta\mathrm{AB}}$ 、$R_{\Delta\mathrm{BC}}$ 、$R_{\Delta\mathrm{CA}}$ に $R_{\Delta}$ を代入した）

$=\dfrac{{R_{\Delta}}^2}{3R_{\Delta}} =\dfrac{R_{\Delta}}{3}$

$\therefore R_{\mathrm{YB}} =\dfrac{R_{\Delta}}{3}$

$R_{\mathrm{YC}} =\dfrac{R_{\Delta} R_{\Delta}}{R_{\Delta} +R_{\Delta} +R_{\Delta}}$　（③式の $R_{\Delta\mathrm{AB}}$ 、$R_{\Delta\mathrm{BC}}$ 、$R_{\Delta\mathrm{CA}}$ に $R_{\Delta}$ を代入した）

$=\dfrac{{R_{\Delta}}^2}{3R_{\Delta}} =\dfrac{R_{\Delta}}{3}$

$\therefore R_{\mathrm{YC}} =\dfrac{R_{\Delta}}{3}$

となるので、デルタスター変換後のスター結線（$\mathrm{Y}$結線）の抵抗値は、デルタ結線（$\Delta$結線）の抵抗値の $1/3$ 倍になります。

3つの抵抗が同じ場合はデルタスター変換後のスター結線の抵抗値は1/3倍になる

また、回路が抵抗のみの回路ではなくインピーダンスの場合も同様にデルタスター変換（$\Delta$→$\mathrm{Y}$変換）することができ、インピーダンスの場合のデルタスター変換の式は次の④～⑥式で与えられます。

デルタ結線とスター結線（スター結線の各インピーダンス）

$\dot{Z}_{\mathrm{YA}} =\dfrac{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}$　…④　（変換後のスター結線のインピーダンス $\dot{Z}_{\mathrm{YA}}$ ）

$\dot{Z}_{\mathrm{YB}} =\dfrac{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}$　…⑤　（変換後のスター結線のインピーダンス $\dot{Z}_{\mathrm{YB}}$ ）

$\dot{Z}_{\mathrm{YC}} =\dfrac{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}$　…⑥　（変換後のスター結線のインピーダンス $\dot{Z}_{\mathrm{YC}}$ ）

なお、3つのインピーダンスが同じ場合は、$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}$ $=\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}$ $=\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}$ $=\dot{Z}_{\Delta}$［$\Omega$］とすると、

$\dot{Z}_{\mathrm{YA}} =\dfrac{\dot{Z}_{\Delta} \dot{Z}_{\Delta}}{\dot{Z}_{\Delta} +\dot{Z}_{\Delta} +\dot{Z}_{\Delta}}$　（④式の $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}$ 、$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}$ 、$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}$ に $\dot{Z}_{\Delta}$ を代入した）

$=\dfrac{{\dot{Z}_{\Delta}}^2}{3\dot{Z}_{\Delta}} =\dfrac{\dot{Z}_{\Delta}}{3}$

$\therefore\dot{Z}_{\mathrm{YA}} =\dfrac{\dot{Z}_{\Delta}}{3}$

$\dot{Z}_{\mathrm{YB}} =\dfrac{\dot{Z}_{\Delta} \dot{Z}_{\Delta}}{\dot{Z}_{\Delta} +\dot{Z}_{\Delta} +\dot{Z}_{\Delta}}$　（⑤式の $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}$ 、$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}$ 、$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}$ に $\dot{Z}_{\Delta}$ を代入した）

$=\dfrac{{\dot{Z}_{\Delta}}^2}{3\dot{Z}_{\Delta}} =\dfrac{\dot{Z}_{\Delta}}{3}$

$\therefore\dot{Z}_{\mathrm{YB}} =\dfrac{\dot{Z}_{\Delta}}{3}$

$\dot{Z}_{\mathrm{YC}} =\dfrac{\dot{Z}_{\Delta} \dot{Z}_{\Delta}}{\dot{Z}_{\Delta} +\dot{Z}_{\Delta} +\dot{Z}_{\Delta}}$　（⑥式の $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}$ 、$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}$ 、$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}$ に $\dot{Z}_{\Delta}$ を代入した）

$=\dfrac{{\dot{Z}_{\Delta}}^2}{3\dot{Z}_{\Delta}} =\dfrac{\dot{Z}_{\Delta}}{3}$

$\therefore\dot{Z}_{\mathrm{YC}} =\dfrac{\dot{Z}_{\Delta}}{3}$

となるので、デルタスター変換後のスター結線（$\mathrm{Y}$結線）のインピーダンスは、デルタ結線（$\Delta$結線）のインピーダンスの $1/3$ 倍になります。（抵抗のみの回路の場合と同じで $1/3$ 倍になる。）

3つのインピーダンスが同じ場合はデルタスター変換後のスター結線のインピーダンスは1/3倍になる

以上のように、回路をデルタスター変換（$\Delta$→$\mathrm{Y}$変換）するときは、デルタスター変換の式を使うと簡単に変換後の回路を求めることができます。

では続いて、回路が「抵抗のみの場合」と「インピーダンスの場合」のデルタスター変換の式（①～⑥式）の導出方法について解説します。

デルタスター変換の式の導出（回路が抵抗のみの場合）

デルタ結線とスター結線（回路が抵抗のみの場合）

デルタ結線（$\Delta$結線）とスター結線（$\mathrm{Y}$結線）が互いに等価である場合、

デルタ結線（$\Delta$結線）の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{B}$ 間の抵抗とスター結線（$\mathrm{Y}$結線）の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{B}$ 間の抵抗は等しくなる
デルタ結線（$\Delta$結線）の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{C}$ 間の抵抗とスター結線（$\mathrm{Y}$結線）の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{C}$ 間の抵抗は等しくなる
デルタ結線（$\Delta$結線）の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{A}$ 間の抵抗とスター結線（$\mathrm{Y}$結線）の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{A}$ 間の抵抗は等しくなる

という関係が成り立つので、これらの関係を利用すると、回路が抵抗のみの場合のデルタスター変換の式を導出できます。

デルタ結線とスター結線の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{B}$ 間の抵抗

デルタ結線（$\Delta$結線）の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{B}$ 間は「 $R_{\Delta\mathrm{AB}}$ 」と「 $R_{\Delta\mathrm{BC}}$ と $R_{\Delta\mathrm{CA}}$ の直列接続」が並列に接続された回路になっているので、

デルタ結線の端子A-B間の抵抗

デルタ結線（$\Delta$結線）の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{B}$ 間の抵抗 $R_{\mathrm{AB}}$ は、

$R_{\mathrm{AB}} =\dfrac{R_{\Delta\mathrm{AB}}\left( R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}}\right)}{R_{\Delta\mathrm{AB}} +\left( R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}}\right)}$　（$R_{\Delta\mathrm{AB}}$ と $R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}}$ で和分の積）

$\therefore R_{\mathrm{AB}} =\dfrac{R_{\Delta\mathrm{AB}} R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}} R_{\Delta\mathrm{AB}}}{R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}}}$　…⑦　（デルタ結線の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{B}$ 間の抵抗）

となります。また、スター結線（$\mathrm{Y}$結線）の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{B}$ 間は「 $R_{\mathrm{YA}}$ 」と「 $R_{\mathrm{YB}}$ 」が直列に接続された回路になっているので、

スター結線の端子A-B間の抵抗

スター結線（$\mathrm{Y}$結線）の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{B}$ 間の抵抗 $R_{\mathrm{AB}}$ は、

$R_{\mathrm{AB}} =R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YB}}$　…⑧　（スター結線の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{B}$ 間の抵抗）

となります。ここで、デルタ結線（$\Delta$結線）とスター結線（$\mathrm{Y}$結線）が互いに等価である場合は⑦と⑧は等しくなるので、⑦式と⑧式より次の⑨式が成り立ちます。

$R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YB}} =\dfrac{R_{\Delta\mathrm{AB}} R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}} R_{\Delta\mathrm{AB}}}{R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}}}$　…⑨

デルタ結線とスター結線の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{C}$ 間の抵抗

デルタ結線（$\Delta$結線）の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{C}$ 間は「 $R_{\Delta\mathrm{BC}}$ 」と「 $R_{\Delta\mathrm{CA}}$ と $R_{\Delta\mathrm{AB}}$ の直列接続」が並列に接続された回路になっているので、

デルタ結線の端子B-C間の抵抗

デルタ結線（$\Delta$結線）の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{C}$ 間の抵抗 $R_{\mathrm{BC}}$ は、

$R_{\mathrm{BC}} =\dfrac{R_{\Delta\mathrm{BC}}\left( R_{\Delta\mathrm{CA}} +R_{\Delta\mathrm{AB}}\right)}{R_{\Delta\mathrm{BC}} +\left( R_{\Delta\mathrm{CA}} +R_{\Delta\mathrm{AB}}\right)}$　（$R_{\Delta\mathrm{BC}}$ と $R_{\Delta\mathrm{CA}} +R_{\Delta\mathrm{AB}}$ で和分の積）

$R_{\mathrm{BC}} =\dfrac{R_{\Delta\mathrm{BC}} R_{\Delta\mathrm{CA}} +R_{\Delta\mathrm{AB}} R_{\Delta\mathrm{BC}}}{R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}}}$

$\therefore R_{\mathrm{BC}} =\dfrac{R_{\Delta\mathrm{AB}} R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} R_{\Delta\mathrm{CA}}}{R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}}}$　…⑩　（デルタ結線の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{C}$ 間の抵抗）

となります。また、スター結線（$\mathrm{Y}$結線）の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{C}$ 間は「 $R_{\mathrm{YB}}$ 」と「 $R_{\mathrm{YC}}$ 」が直列に接続された回路になっているので、

スター結線の端子B-C間の抵抗

スター結線（$\mathrm{Y}$結線）の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{C}$ 間の抵抗 $R_{\mathrm{BC}}$ は、

$R_{\mathrm{BC}} =R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YC}}$　…⑪　（スター結線の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{C}$ 間の抵抗）

となります。ここで、デルタ結線（$\Delta$結線）とスター結線（$\mathrm{Y}$結線）が互いに等価である場合は⑩と⑪は等しくなるので、⑩式と⑪式より次の⑫式が成り立ちます。

$R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YC}} =\dfrac{R_{\Delta\mathrm{AB}} R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} R_{\Delta\mathrm{CA}}}{R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}}}$　…⑫

デルタ結線とスター結線の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{A}$ 間の抵抗

デルタ結線（$\Delta$結線）の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{A}$ 間は「 $R_{\Delta\mathrm{CA}}$ 」と「 $R_{\Delta\mathrm{AB}}$ と $R_{\Delta\mathrm{BC}}$ の直列接続」が並列に接続された回路になっているので、

デルタ結線の端子C-A間の抵抗

デルタ結線（$\Delta$結線）の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{A}$ 間の抵抗 $R_{\mathrm{CA}}$ は、

$R_{\mathrm{CA}} =\dfrac{R_{\Delta\mathrm{CA}}\left( R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}}\right)}{R_{\Delta\mathrm{CA}} +\left( R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}}\right)}$　（$R_{\Delta\mathrm{CA}}$ と $R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}}$ で和分の積）

$\therefore R_{\mathrm{CA}} =\dfrac{R_{\Delta\mathrm{CA}} R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} R_{\Delta\mathrm{CA}}}{R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}}}$　…⑬　（デルタ結線の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{A}$ 間の抵抗）

となります。また、スター結線（$\mathrm{Y}$結線）の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{A}$ 間は「 $R_{\mathrm{YC}}$ 」と「 $R_{\mathrm{YA}}$ 」が直列に接続された回路になっているので、

スター結線の端子C-A間の抵抗

スター結線（$\mathrm{Y}$結線）の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{A}$ 間の抵抗 $R_{\mathrm{CA}}$ は、

$R_{\mathrm{CA}} =R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YA}}$　…⑭　（スター結線の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{A}$ 間の抵抗）

となります。ここで、デルタ結線（$\Delta$結線）とスター結線（$\mathrm{Y}$結線）が互いに等価である場合は⑬と⑭は等しくなるので、⑬式と⑭式より次の⑮式が成り立ちます。

$R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YA}} =\dfrac{R_{\Delta\mathrm{CA}} R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} R_{\Delta\mathrm{CA}}}{R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}}}$　…⑮

以上⑨式、⑫式、⑮式より、デルタ結線（$\Delta$結線）の抵抗（ $R_{\Delta\mathrm{AB}}$ 、$R_{\Delta\mathrm{BC}}$ 、$R_{\Delta\mathrm{CA}}$ ）とスター結線（$\mathrm{Y}$結線）の抵抗（ $R_{\mathrm{YA}}$ 、$R_{\mathrm{YB}}$ 、$R_{\mathrm{YC}}$ ）の関係式が次のように求められました。

この3つの式からなる連立方程式を、スター結線（$\mathrm{Y}$結線）の抵抗（ $R_{\mathrm{YA}}$ 、$R_{\mathrm{YB}}$ 、$R_{\mathrm{YC}}$ ）について解きます。

⑨式、⑫式、⑮式の3つの式の両辺を足すと、

$R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YC}} +R_{\mathrm{YA}}$

$=\dfrac{R_{\Delta\mathrm{AB}} R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}} R_{\Delta\mathrm{AB}}}{R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}}} +\dfrac{R_{\Delta\mathrm{AB}} R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} R_{\Delta\mathrm{CA}}}{R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}}} +\dfrac{R_{\Delta\mathrm{CA}} R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} R_{\Delta\mathrm{CA}}}{R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}}}$

$2R_{\mathrm{YA}} +2R_{\mathrm{YB}} +2R_{\mathrm{YC}} =\dfrac{2R_{\Delta\mathrm{AB}} R_{\Delta\mathrm{BC}} +2R_{\Delta\mathrm{BC}} R_{\Delta\mathrm{CA}} +2R_{\Delta\mathrm{CA}} R_{\Delta\mathrm{AB}}}{R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}}}$

$2\left( R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YC}}\right) =\dfrac{2\left( R_{\Delta\mathrm{AB}} R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} R_{\Delta\mathrm{CA}} +R_{\Delta\mathrm{CA}} R_{\Delta\mathrm{AB}}\right)}{R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}}}$

$\therefore R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YC}} =\dfrac{R_{\Delta\mathrm{AB}} R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} R_{\Delta\mathrm{CA}} +R_{\Delta\mathrm{CA}} R_{\Delta\mathrm{AB}}}{R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}}}$　…⑯

となります。⑯式から⑫式の両辺を引くと、

$R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YC}} -R_{\mathrm{YB}} -R_{\mathrm{YC}}$

$=\dfrac{R_{\Delta\mathrm{AB}} R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} R_{\Delta\mathrm{CA}} +R_{\Delta\mathrm{CA}} R_{\Delta\mathrm{AB}}}{R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}}} -\dfrac{R_{\Delta\mathrm{AB}} R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} R_{\Delta\mathrm{CA}}}{R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}}}$　（⑯式から⑫式を引くと、左辺は $R_{\mathrm{YA}}$ だけ残る）

$R_{\mathrm{YA}} =\dfrac{R_{\Delta\mathrm{AB}} R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} R_{\Delta\mathrm{CA}} +R_{\Delta\mathrm{CA}} R_{\Delta\mathrm{AB}} -R_{\Delta\mathrm{AB}} R_{\Delta\mathrm{BC}} -R_{\Delta\mathrm{BC}} R_{\Delta\mathrm{CA}}}{R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}}}$

$\therefore R_{\mathrm{YA}} =\dfrac{R_{\Delta\mathrm{CA}} R_{\Delta\mathrm{AB}}}{R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}}}$　…⑰　（スター結線の抵抗 $R_{\mathrm{YA}}$ ）

となり、この⑰がデルタスター変換後のスター結線（$\mathrm{Y}$結線）の抵抗 $R_{\mathrm{YA}}$ になります。

また、⑯式から⑮式の両辺を引くと、

$R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YC}} -R_{\mathrm{YC}} -R_{\mathrm{YA}}$

$=\dfrac{R_{\Delta\mathrm{AB}} R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} R_{\Delta\mathrm{CA}} +R_{\Delta\mathrm{CA}} R_{\Delta\mathrm{AB}}}{R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}}} -\dfrac{R_{\Delta\mathrm{CA}} R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} R_{\Delta\mathrm{CA}}}{R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}}}$　（⑯式から⑮式を引くと、左辺は $R_{\mathrm{YB}}$ だけ残る）

$R_{\mathrm{YB}} =\dfrac{R_{\Delta\mathrm{AB}} R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} R_{\Delta\mathrm{CA}} +R_{\Delta\mathrm{CA}} R_{\Delta\mathrm{AB}} -R_{\Delta\mathrm{CA}} R_{\Delta\mathrm{AB}} -R_{\Delta\mathrm{BC}} R_{\Delta\mathrm{CA}}}{R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}}}$

$\therefore R_{\mathrm{YB}} =\dfrac{R_{\Delta\mathrm{AB}} R_{\Delta\mathrm{BC}}}{R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}}}$　…⑱　（スター結線の抵抗 $R_{\mathrm{YB}}$ ）

となり、この⑱がデルタスター変換後のスター結線（$\mathrm{Y}$結線）の抵抗 $R_{\mathrm{YB}}$ になります。

また、⑯式から⑨式の両辺を引くと、

$R_{\mathrm{YA}} +R_{\mathrm{YB}} +R_{\mathrm{YC}} -R_{\mathrm{YA}} -R_{\mathrm{YB}}$

$=\dfrac{R_{\Delta\mathrm{AB}} R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} R_{\Delta\mathrm{CA}} +R_{\Delta\mathrm{CA}} R_{\Delta\mathrm{AB}}}{R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}}} -\dfrac{R_{\Delta\mathrm{AB}} R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}} R_{\Delta\mathrm{AB}}}{R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}}}$　（⑯式から⑨式を引くと、左辺は $R_{\mathrm{YC}}$ だけ残る）

$R_{\mathrm{YC}} =\dfrac{R_{\Delta\mathrm{AB}} R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} R_{\Delta\mathrm{CA}} +R_{\Delta\mathrm{CA}} R_{\Delta\mathrm{AB}} -R_{\Delta\mathrm{AB}} R_{\Delta\mathrm{BC}} -R_{\Delta\mathrm{CA}} R_{\Delta\mathrm{AB}}}{R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}}}$

$\therefore R_{\mathrm{YC}} =\dfrac{R_{\Delta\mathrm{BC}} R_{\Delta\mathrm{CA}}}{R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}}}$　…⑲　（スター結線の抵抗 $R_{\mathrm{YC}}$ ）

となり、この⑲がデルタスター変換後のスター結線（$\mathrm{Y}$結線）の抵抗 $R_{\mathrm{YC}}$ になります。

以上⑰式、⑱式、⑲式より、デルタスター変換後のスター結線（$\mathrm{Y}$結線）の抵抗（ $R_{\mathrm{YA}}$ 、$R_{\mathrm{YB}}$ 、$R_{\mathrm{YC}}$ ）は、次のようにデルタ結線（$\Delta$結線）の抵抗（ $R_{\Delta\mathrm{AB}}$ 、$R_{\Delta\mathrm{BC}}$ 、$R_{\Delta\mathrm{CA}}$ ）で表わすことができ、

$R_{\mathrm{YA}} =\dfrac{R_{\Delta\mathrm{CA}} R_{\Delta\mathrm{AB}}}{R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}}}$

$R_{\mathrm{YB}} =\dfrac{R_{\Delta\mathrm{AB}} R_{\Delta\mathrm{BC}}}{R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}}}$

$R_{\mathrm{YC}} =\dfrac{R_{\Delta\mathrm{BC}} R_{\Delta\mathrm{CA}}}{R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}}}$

この3つの式が、回路が抵抗のみの場合のデルタスター変換の式になります。

デルタスター変換の式（回路が抵抗のみの場合）

続いて、「回路がインピーダンスの場合」のデルタスター変換の式の導出方法について解説しますが、導出方法はここで解説した「回路が抵抗のみの場合」とほぼ同じ（抵抗をインピーダンスに置き換えているだけ）です。

デルタスター変換の式の導出（回路がインピーダンスの場合）

デルタ結線とスター結線（回路がインピーダンスの場合）

デルタ結線（$\Delta$結線）とスター結線（$\mathrm{Y}$結線）が互いに等価である場合、

デルタ結線（$\Delta$結線）の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{B}$ 間のインピーダンスとスター結線（$\mathrm{Y}$結線）の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{B}$ 間のインピーダンスは等しくなる
デルタ結線（$\Delta$結線）の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{C}$ 間のインピーダンスとスター結線（$\mathrm{Y}$結線）の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{C}$ 間のインピーダンスは等しくなる
デルタ結線（$\Delta$結線）の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{A}$ 間のインピーダンスとスター結線（$\mathrm{Y}$結線）の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{A}$ 間のインピーダンスは等しくなる

という関係が成り立つので、これらの関係を利用すると、回路がインピーダンスの場合のデルタスター変換の式を導出できます。

デルタ結線とスター結線の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{B}$ 間のインピーダンス

デルタ結線（$\Delta$結線）の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{B}$ 間は「 $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}$ 」と「 $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}$ と $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}$ の直列接続」が並列に接続された回路になっているので、

デルタ結線の端子A-B間のインピーダンス

デルタ結線（$\Delta$結線）の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{B}$ 間のインピーダンス $\dot{Z}_{\mathrm{AB}}$ は、

$\dot{Z}_{\mathrm{AB}} =\dfrac{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}\left(\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}\right)}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\left(\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}\right)}$　（$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}$ と $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}$ で和分の積）

$\therefore\dot{Z}_{\mathrm{AB}} =\dfrac{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}$　…⑳　（デルタ結線の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{B}$ 間のインピーダンス）

となります。また、スター結線（$\mathrm{Y}$結線）の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{B}$ 間は「 $\dot{Z}_{\mathrm{YA}}$ 」と「 $\dot{Z}_{\mathrm{YB}}$ 」が直列に接続された回路になっているので、

スター結線の端子A-B間のインピーダンス

スター結線（$\mathrm{Y}$結線）の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{B}$ 間のインピーダンス $\dot{Z}_{\mathrm{AB}}$ は、

$\dot{Z}_{\mathrm{AB}} =\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}}$　…㉑　（スター結線の端子 $\mathrm{A}$-$\mathrm{B}$ 間のインピーダンス）

となります。ここで、デルタ結線（$\Delta$結線）とスター結線（$\mathrm{Y}$結線）が互いに等価である場合は⑳と㉑は等しくなるので、⑳式と㉑式より次の㉒式が成り立ちます。

$\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} =\dfrac{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}$　…㉒

デルタ結線とスター結線の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{C}$ 間のインピーダンス

デルタ結線（$\Delta$結線）の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{C}$ 間は「 $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}$ 」と「 $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}$ と $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}$ の直列接続」が並列に接続された回路になっているので、

デルタ結線の端子B-C間のインピーダンス

デルタ結線（$\Delta$結線）の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{C}$ 間のインピーダンス $\dot{Z}_{\mathrm{BC}}$ は、

$\dot{Z}_{\mathrm{BC}} =\dfrac{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}\left(\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}\right)}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\left(\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}\right)}$　（$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}$ と $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}$ で和分の積）

$\dot{Z}_{\mathrm{BC}} =\dfrac{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}$

$\therefore\dot{Z}_{\mathrm{BC}} =\dfrac{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}$　…㉓　（デルタ結線の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{C}$ 間のインピーダンス）

となります。また、スター結線（$\mathrm{Y}$結線）の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{C}$ 間は「 $\dot{Z}_{\mathrm{YB}}$ 」と「 $\dot{Z}_{\mathrm{YC}}$ 」が直列に接続された回路になっているので、

スター結線の端子B-C間のインピーダンス

スター結線（$\mathrm{Y}$結線）の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{C}$ 間のインピーダンス $\dot{Z}_{\mathrm{BC}}$ は、

$\dot{Z}_{\mathrm{BC}} =\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}}$　…㉔　（スター結線の端子 $\mathrm{B}$-$\mathrm{C}$ 間のインピーダンス）

となります。ここで、デルタ結線（$\Delta$結線）とスター結線（$\mathrm{Y}$結線）が互いに等価である場合は㉓と㉔は等しくなるので、㉓式と㉔式より次の㉕式が成り立ちます。

$\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} =\dfrac{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}$　…㉕

デルタ結線とスター結線の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{A}$ 間のインピーダンス

デルタ結線（$\Delta$結線）の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{A}$ 間は「 $\dot{Z}_{\mathrm{CA}}$ 」と「 $\dot{Z}_{\mathrm{AB}}$ と $\dot{Z}_{\mathrm{BC}}$ の直列接続」が並列に接続された回路になっているので、

デルタ結線の端子C-A間のインピーダンス

デルタ結線（$\Delta$結線）の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{A}$ 間のインピーダンス $\dot{Z}_{\mathrm{CA}}$ は、

$\dot{Z}_{\mathrm{CA}} =\dfrac{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}\left(\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}\right)}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} +\left(\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}\right)}$　（$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}$ と $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}$ で和分の積）

$\therefore\dot{Z}_{\mathrm{CA}} =\dfrac{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}$　…㉖　（デルタ結線の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{A}$ 間のインピーダンス）

となります。また、スター結線（$\mathrm{Y}$結線）の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{A}$ 間は「 $\dot{Z}_{\mathrm{YC}}$ 」と「 $\dot{Z}_{\mathrm{YA}}$ 」が直列に接続された回路になっているので、

スター結線の端子C-A間のインピーダンス

スター結線（$\mathrm{Y}$結線）の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{A}$ 間のインピーダンス $\dot{Z}_{\mathrm{CA}}$ は、

$\dot{Z}_{\mathrm{CA}} =\dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YA}}$　…㉗　（スター結線の端子 $\mathrm{C}$-$\mathrm{A}$ 間のインピーダンス）

となります。ここで、デルタ結線（$\Delta$結線）とスター結線（$\mathrm{Y}$結線）が互いに等価である場合は㉖と㉗は等しくなるので、㉖式と㉗式より次の㉘式が成り立ちます。

$\dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YA}} =\dfrac{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}$　…㉘

以上㉒式、㉕式、㉘式より、デルタ結線（$\Delta$結線）のインピーダンス（ $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}$ 、$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}$ 、$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}$ ）とスター結線（$\mathrm{Y}$結線）のインピーダンス（ $\dot{Z}_{\mathrm{YA}}$ 、$\dot{Z}_{\mathrm{YB}}$ 、$\dot{Z}_{\mathrm{YC}}$ ）の関係式が次のように求められました。

この3つの式からなる連立方程式を、スター結線（$\mathrm{Y}$結線）のインピーダンス（ $\dot{Z}_{\mathrm{YA}}$ 、$\dot{Z}_{\mathrm{YB}}$ 、$\dot{Z}_{\mathrm{YC}}$ ）について解きます。

㉒式、㉕式、㉘式の3つの式の両辺を足すと、

$\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} +\dot{Z}_{\mathrm{YA}}$

$=\dfrac{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}} +\dfrac{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}} +\dfrac{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}$

$2\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +2\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +2\dot{Z}_{\mathrm{YC}} =\dfrac{2\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +2\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} +2\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}$

$2\left( \dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}}\right) =\dfrac{2\left( \dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}\right)}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}$

$\therefore \dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} =\dfrac{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}$　…㉙

となります。㉙式から㉕式の両辺を引くと、

$\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} -\dot{Z}_{\mathrm{YB}} -\dot{Z}_{\mathrm{YC}}$

$=\dfrac{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}} -\dfrac{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}$　（㉙式から㉕式を引くと、左辺は $\dot{Z}_{\mathrm{YA}}$ だけ残る）

$\dot{Z}_{\mathrm{YA}} =\dfrac{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} -\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} -\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}$

$\therefore \dot{Z}_{\mathrm{YA}} =\dfrac{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}$　…㉚　（スター結線のインピーダンス $\dot{Z}_{\mathrm{YA}}$ ）

となり、この㉚がデルタスター変換後のスター結線（$\mathrm{Y}$結線）のインピーダンス $\dot{Z}_{\mathrm{YA}}$ になります。

また、㉙式から㉘式の両辺を引くと、

$\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} -\dot{Z}_{\mathrm{YC}} -\dot{Z}_{\mathrm{YA}}$

$=\dfrac{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}} -\dfrac{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}$　（㉙式から㉘式を引くと、左辺は $\dot{Z}_{\mathrm{YB}}$ だけ残る）

$\dot{Z}_{\mathrm{YB}} =\dfrac{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} -\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} -\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}$

$\therefore \dot{Z}_{\mathrm{YB}} =\dfrac{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}$　…㉛　（スター結線のインピーダンス $\dot{Z}_{\mathrm{YB}}$ ）

となり、この㉛がデルタスター変換後のスター結線（$\mathrm{Y}$結線）のインピーダンス $\dot{Z}_\mathrm{YB}$ になります。

また、㉙式から㉒式の両辺を引くと、

$\dot{Z}_{\mathrm{YA}} +\dot{Z}_{\mathrm{YB}} +\dot{Z}_{\mathrm{YC}} -\dot{Z}_{\mathrm{YA}} -\dot{Z}_{\mathrm{YB}}$

$=\dfrac{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}} -\dfrac{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}$　（㉙式から㉒式を引くと、左辺は $\dot{Z}_{\mathrm{YC}}$ だけ残る）

$\dot{Z}_{\mathrm{YC}} =\dfrac{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} -\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} -\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}$

$\therefore \dot{Z}_{\mathrm{YC}} =\dfrac{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}$　…㉜　（スター結線のインピーダンス $\dot{Z}_{\mathrm{YC}}$ ）

となり、この㉜がデルタスター変換後のスター結線（$\mathrm{Y}$結線）のインピーダンス $\dot{Z}_\mathrm{YC}$ になります。

以上㉚式、㉛式、㉜式より、デルタスター変換後のスター結線（$\mathrm{Y}$結線）のインピーダンス（ $\dot{Z}_\mathrm{YA}$ 、$\dot{Z}_\mathrm{YB}$ 、$\dot{Z}_\mathrm{YC}$ ）は、次のようにデルタ結線（$\Delta$結線）のインピーダンス（ $\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}$ 、$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}$ 、$\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}$ ）で表わすことができ、

$\dot{Z}_{\mathrm{YA}} =\dfrac{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}$

$\dot{Z}_{\mathrm{YB}} =\dfrac{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}$

$\dot{Z}_{\mathrm{YC}} =\dfrac{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}$

この3つの式が、回路がインピーダンスの場合のデルタスター変換の式になります。

デルタスター変換の式（回路がインピーダンスの場合）

デルタスター変換の式の導出方法の解説は以上になりますが、デルタスター変換するたびに変換の式を導出するのは大変ですので、デルタスター変換の式は公式としておぼえておくといいと思います。

ちなみに、デルタスター変換の式（回路が抵抗のみの場合）は次のように、

分母は3つの抵抗の和
分子は各端子につながる抵抗の積

と、おぼえておけばいいんじゃないかと思います。

デルタスター変換の式のおぼえ方（回路が抵抗のみの場合）

また、回路がインピーダンスの場合も同じように、

分母は3つのインピーダンスの和
分子は各端子につながるインピーダンスの積

と、おぼえておけばいいんじゃないかと思います。

デルタスター変換の式のおぼえ方（回路がインピーダンスの場合）

デルタスター変換（$\Delta$→$\mathrm{Y}$変換）のまとめ

デルタ結線（$\Delta$結線）を等価なスター結線（$\mathrm{Y}$結線）に変換するとき、この変換をデルタスター変換（$\Delta$→$\mathrm{Y}$変換）という
デルタスター変換するときは、デルタスター変換の式を使う
回路が抵抗のみの場合のデルタスター変換の式は次のようになる

$R_{\mathrm{YA}} =\dfrac{R_{\Delta\mathrm{CA}} R_{\Delta\mathrm{AB}}}{R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}}}$
$R_{\mathrm{YB}} =\dfrac{R_{\Delta\mathrm{AB}} R_{\Delta\mathrm{BC}}}{R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}}}$
$R_{\mathrm{YC}} =\dfrac{R_{\Delta\mathrm{BC}} R_{\Delta\mathrm{CA}}}{R_{\Delta\mathrm{AB}} +R_{\Delta\mathrm{BC}} +R_{\Delta\mathrm{CA}}}$
抵抗のみの回路において3つの抵抗が同じ場合、デルタスター変換後のスター結線（$\mathrm{Y}$結線）の抵抗値は、デルタ結線（$\Delta$結線）の抵抗値の $1 / 3$ 倍になる
回路がインピーダンスの場合のデルタスター変換の式は次のようになる

$\dot{Z}_{\mathrm{YA}} =\dfrac{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}}}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}$
$\dot{Z}_{\mathrm{YB}} =\dfrac{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}}}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}$
$\dot{Z}_{\mathrm{YC}} =\dfrac{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} \dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}{\dot{Z}_{\Delta\mathrm{AB}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{BC}} +\dot{Z}_{\Delta\mathrm{CA}}}$
インピーダンスの回路において3つのインピーダンスが同じ場合、デルタスター変換後のスター結線（$\mathrm{Y}$結線）のインピーダンスは、デルタ結線（$\Delta$結線）のインピーダンスの $1 / 3$ 倍になる

デルタスター変換（$\Delta$→$\mathrm{Y}$変換）とは逆に、スター結線（$\mathrm{Y}$結線）を等価なデルタ結線（$\Delta$結線）に変換するのをスターデルタ変換（$\mathrm{Y}$→$\Delta$変換）といいます。スターデルタ変換（$\mathrm{Y}$→$\Delta$変換）についてはスターデルタ変換（Y→Δ変換）のページにまとめていますので、こちらも参考にしてみてください。

スター結線（Y結線）の線間電圧はなぜ相電圧の√3倍になるのか？　←BACK

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交流回路の電圧と電流の計算とベクトル図（RLC並列回路）: RLC並列回路（交流回路）の各素子に流れる電流、回路全体に流れる電流、位相差の計算方法について解説しています。RLC並列回路の電圧と電流のベクトル図の描き方についても解説していますので、RLC並列回路の計算やベクトル図の描き方の参考にしてみてください。
RL直列回路の電圧と電流の計算（電源の電圧を基準にした場合）: RL直列回路の回路に流れる電流と各素子にかかる電圧を電源の電圧を基準にして計算していますので、RL直列回路の電圧と電流の計算方法の参考にしてみてください。
RC直列回路の電圧と電流の計算（電源の電圧を基準にした場合）: RC直列回路の回路に流れる電流と各素子にかかる電圧を電源の電圧を基準にして計算していますので、RC直列回路の電圧と電流の計算方法の参考にしてみてください。
RLC直列回路の電圧と電流の計算（電源の電圧を基準にした場合）: RLC直列回路の回路に流れる電流と各素子にかかる電圧を電源の電圧を基準にして計算していますので、RLC直列回路の電圧と電流の計算方法の参考にしてみてください。
交流回路の電力の計算（抵抗だけの回路）: 負荷が抵抗だけの場合の交流回路の電力（瞬時電力、平均電力）の計算方法（求め方）、電力の波形などについて解説しています。
交流回路の電力の計算（コイルだけの回路）: 負荷がコイルだけの場合の交流回路の電力（瞬時電力、平均電力）の計算方法（求め方）、電力の波形などについて解説しています。
交流回路の電力の計算（コンデンサだけの回路）: 負荷がコンデンサだけの場合の交流回路の電力（瞬時電力、平均電力）の計算方法（求め方）、電力の波形などについて解説しています。
交流回路の電力の計算（RL直列回路）: RL直列回路の電力（瞬時電力、平均電力）の計算方法（求め方）、電力の波形などについて解説しています。
交流回路の電力の計算（RC直列回路）: RC直列回路の電力（瞬時電力、平均電力）の計算方法（求め方）、電力の波形などについて解説しています。
有効・無効・皮相電力: 交流回路には「有効電力」「無効電力」「皮相電力」の3種類の電力があります。それぞれの電力の求め方と、3つの電力の関係について解説しています。
力率とは？（力率と電力の関係）: 交流回路の勉強をしていると「力率」がでてきますが、力率って何でしょうか？力率の式の表し方には色々ありますが、ここでは、力率と皮相電力、有効電力、無効電力の関係とその関係式などについて解説します。
力率とは？（力率と位相の関係）: 交流回路の勉強をしていると「力率(cosΘ)」がでてきますが、力率って何でしょうか？力率の式の表し方には色々ありますが、ここでは、位相と力率の関係について抵抗、コイル、コンデンサの回路を例に解説しています。
波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の求め方: 波形は色々ありますが、その波形の特性を表わす値として実効値、平均値、最大値、波形率、波高率などがあります。ここでは、波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の定義式、求め方について解説しています。
正弦波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法: 波形は色々ありますが、その波形の特性を表わす値として実効値、平均値、最大値、波形率、波高率などがあります。ここでは、正弦波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法、求め方について解説しています。
全波整流波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法: 波形は色々ありますが、その波形の特性を表わす値として実効値、平均値、最大値、波形率、波高率などがあります。ここでは、全波整流波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法、求め方について解説しています。
半波整流波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法: 半波整流波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法、求め方について解説しています。波形の特性を表わす値として実効値、平均値、最大値、波形率、波高率などがありますが、これらは大事な値ですので、求め方、計算方法をおぼえておきましょう。
方形波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法: 方形波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法、求め方について解説しています。方形波波形の場合、実効値と平均値と最大値が同じ値、波形率と波高率が同じ値になります。ちなみに、方形波と矩形波は同じです。
のこぎり波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法: のこぎり波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法、求め方について解説しています。のこぎり波波形の実効値と平均値を求めるためには、のこぎり波波形の式から考えないといけないので、他の波形よりも計算がちょっと大変です。
三相電力の公式はなぜ√3倍なのか？（三相電力の公式の導出）: 三相電力の公式はP＝√3VIcosφで表わされますが、なぜ√3倍になるのか？スター結線の場合とデルタ結線の場合それぞれについて、三相電力の公式を導出してみました。この三相電力の公式は電験三種の「理論」「電力」科目の問題を解くときに度々使われる基本的な公式ですのでおぼえておくようにしましょう。
スター結線（Y結線）の線間電圧はなぜ相電圧の√3倍になるのか？: スター結線（Y結線）されている三相交流回路の線間電圧は相電圧の√3倍になりますが、なぜ√3倍になるのか？スター結線のときの線間電圧と相電圧のベクトル図を求め、求めたベクトル図から√3倍になる理由について解説しています。
スターデルタ変換（Y→Δ変換）: スターデルタ変換（Y→Δ変換）について解説しています。スター結線（Y結線）を等価なデルタ結線（Δ結線）に変換するのをスターデルタ変換（Y→Δ変換）といいます。スターデルタ変換の式の導出方法についても解説していますので参考にしてみてください。
交流回路のテブナンの定理: 交流回路のテブナンの定理（鳳-テブナンの定理）について解説しています。テブナンの定理を使った交流回路の計算方法や、交流回路のテブナンの定理の証明についても解説していますので参考にしてみてください。

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