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交流回路の電圧と電流の計算とベクトル図(RLC直列回路)

正弦波交流電源に、$R$[$\Omega$]の抵抗、インダクタンス $L$[$\mathrm{H}$]のコイル、静電容量 $C$[$\mathrm{F}$]のコンデンサが直列に接続されている次のようなRLC直列回路があるとします。

 

RLC直列回路

 

図のように、抵抗( $R$ )、コイル( $L$ )、コンデンサ( $C$ )が直列に接続されている回路をRLC直列回路といいます。

 

このRLC直列回路において、正弦波交流電源の角周波数を $\omega$[$\mathrm{rad/s}$]、回路に流れる電流を $\dot{I} =I$( $\dot{I} =I+j\, 0$ )[$\mathrm{A}$]として、この回路の各素子にかかる電圧( $V_R$[$\mathrm{V}$]、$V_L$[$\mathrm{V}$]、$V_C$[$\mathrm{V}$])と直列接続全体にかかる電圧( $V$[$\mathrm{V}$])を計算して求めてみます。

 

RLC直列回路の各電圧と電流

 

 

RLC直列回路の各素子にかかる電圧

初めに、RLC直列回路の各素子にかかる電圧( $V_R$:抵抗 $R$ にかかる電圧 $\dot{V_R}$ の大きさ、$V_L$:コイル $L$ にかかる電圧 $\dot{V_L}$ の大きさ、$V_C$:コンデンサ $C$ にかかる電圧 $\dot{V_C}$ の大きさ)を求めてみます。

 

抵抗Rにかかる電圧

 

RLC直列回路の電圧VR

 

抵抗 $R$ に流れる電流は $\dot{I}$ 、抵抗 $R$ のインピーダンスは $R$[$\Omega$]なので、抵抗 $R$ にかかる電圧 $\dot{V_R}$ と電流 $\dot{I}$ の関係は次のように表わせます。

 

$\dot{V_R} =R\dot{I}$ …①

 

この回路は抵抗 $R$ 、コイル $L$ 、コンデンサ $C$ が直列接続された回路なので、抵抗 $R$ 、コイル $L$ 、コンデンサ $C$ には同じ電流 $\dot{I}$ が流れますよ!

 

①式より電圧 $\dot{V_R}$ を求めると、

 

$\dot{V_R} =R\dot{I}$

 

$=RI$ ($\dot{I} =I$ としているので $\dot{I}$ を $I$ とした

 

$\therefore\dot{V_R} =RI$ …② (電圧 $\dot{V_R}$

 

となります。この電圧 $\dot{V_R}$ の大きさが電圧 $V_R$ になるので、電圧 $V_R$ は、

 

$V_R=|\dot{V_R} |$ ($\dot{V_R}$ の絶対値が $\dot{V_R}$ の大きさ(電圧 $V_R$ )になる

 

$=|RI|=RI$

 

$\therefore V_R=RI$ …③ (電圧 $V_R$

 

となり、この電圧 $V_R$(③式)がRLC直列回路の抵抗 $R$ にかかる電圧の大きさになります。(オームの法則そのままの式ですね。)

 

RLC直列回路の抵抗にかかる電圧の大きさ

 

コイルLにかかる電圧

 

RLC直列回路の電圧VL

 

コイル $L$ に流れる電流は $\dot{I}$ 、コイル $L$ のインピーダンスは $j\omega L$[$\Omega$]なので、コイル $L$ にかかる電圧 $\dot{V_L}$ と電流 $\dot{I}$ の関係は次のように表わせます。

 

$\dot{V_L} =j\omega L\dot{I}$ …④

 

この④式より電圧 $\dot{V_L}$ を求めると、

 

$\dot{V_L} =j\omega L\dot{I}$

 

$=j\omega LI$ ($\dot{I} =I$ としているので $\dot{I}$ を $I$ とした

 

$\therefore\dot{V_L} =j\omega LI$ …⑤ (電圧 $\dot{V_L}$

 

となります。この電圧 $\dot{V_L}$ の大きさが電圧 $V_L$ になるので、電圧 $V_L$ は、

 

$V_L=|\dot{V_L} |$ ($\dot{V_L}$ の絶対値が $\dot{V_L}$ の大きさ(電圧 $V_L$ )になる

 

$=\sqrt{\left(\omega LI\right)^2}$

 

$=\omega LI$

 

$\therefore V_L=\omega LI$ …⑥ (電圧 $V_L$

 

となり、この電圧 $V_L$(⑥式)がRLC直列回路のコイル $L$ にかかる電圧の大きさになります。

 

RLC直列回路のコイルにかかる電圧の大きさ

 

コイル $L$ のリアクタンスを $X_L$( $=\omega L$ )[$\Omega$]とすると、電圧 $V_L$ は、$V_L=X_LI$ とも表わせます。

 

コンデンサCにかかる電圧

 

RLC直列回路の電圧VC

 

コンデンサ $C$ に流れる電流は $\dot{I}$ 、コンデンサ $C$ のインピーダンスは $\dfrac{1}{j\omega C}$[$\Omega$]なので、コンデンサ $C$ にかかる電圧 $\dot{V_C}$ と電流 $\dot{I}$ の関係は次のように表わせます。

 

$\dot{V_C} =\dfrac{1}{j\omega C}\dot{I}$ …⑦

 

この⑦式より電圧 $\dot{V_C}$ を求めると、

 

$\dot{V_C} =\dfrac{\dot{I}}{j\omega C}$

 

$=\dfrac{I}{j\omega C}$ ($\dot{I} =I$ としているので $\dot{I}$ を $I$ とした

 

$=-\dfrac{jI}{\omega C}$ (分母と分子に $j$ をかけた

 

$\therefore\dot{V_C} =-j\dfrac{I}{\omega C}$ …⑧ (電圧 $\dot{V_C}$

 

となります。この電圧 $\dot{V_C}$ の大きさが電圧 $V_C$ になるので、電圧 $V_C$ は、

 

$V_C=|\dot{V_C} |$ ($\dot{V_C}$ の絶対値が $\dot{V_C}$ の大きさ(電圧 $V_C$ )になる

 

$=\sqrt{\left(\dfrac{I}{\omega C}\right)^2}$

 

$=\dfrac{I}{\omega C}$

 

$\therefore V_C=\dfrac{I}{\omega C}$ …⑨ (電圧 $V_C$

 

となり、この電圧 $V_C$(⑨式)がRLC直列回路のコンデンサ $C$ にかかる電圧の大きさになります。

 

RLC直列回路のコンデンサにかかる電圧の大きさ

 

コンデンサ $C$ のリアクタンスを $X_C$( $=\dfrac{1}{\omega C}$ )[$\Omega$]とすると、電圧 $V_C$ は、$V_C=X_CI$ とも表わせます。

 

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RLC直列回路の直列接続全体にかかる電圧

次に、RLC直列回路の直列接続全体にかかる電圧 $V$(直列接続全体にかかる電圧 $\dot{V}$ の大きさ)を求めてみます。

 

RLC直列回路の直列接続全体にかかる電圧V

 

この回路は抵抗 $R$ 、コイル $L$ 、コンデンサ $C$ が直列接続された回路なので、回路のインピーダンス $\dot{Z}$[$\Omega$]は、

 

$\dot{Z} =R+j\omega L+\dfrac{1}{j\omega C}$

 

となります。

 

RLC直列回路のインピーダンス $\dot{Z}$ は、抵抗 $R$ のインピーダンス $\dot{Z_R}$ 、コイル $L$ のインピーダンス $\dot{Z_L}$ 、コンデンサ $C$ のインピーダンス $\dot{Z_C}$ の和で表わされるので、$\dot{Z} =\dot{Z_R} +\dot{Z_L} +\dot{Z_C}$ $=R+j\omega L+\dfrac{1}{j\omega C}$ になります。

 

なので、この回路の直列接続全体にかかる電圧 $\dot{V}$ と電流 $\dot{I}$ の関係は次のように表わせます。

 

$\dot{V} =\left( R+j\omega L+\dfrac{1}{j\omega C}\right)\dot{I}$ …⑩

 

この⑩式より電圧 $\dot{V}$ を求めると、

 

$\dot{V} =\left( R+j\omega L+\dfrac{1}{j\omega C}\right)\dot{I}$

 

$=\left( R+j\omega L+\dfrac{1}{j\omega C}\right) I$ ($\dot{I} =I$ としているので $\dot{I}$ を $I$ とした

 

$=RI+j\omega LI+\dfrac{I}{j\omega C}$

 

$=RI+j\omega LI-j\dfrac{I}{\omega C}$ ($\dfrac{I}{j\omega C}$ の分母と分子に $j$ をかけた

 

$=RI+j\left(\omega LI-\dfrac{I}{\omega C}\right)$

 

$\therefore\dot{V} =RI+j\left(\omega LI-\dfrac{I}{\omega C}\right)$ …⑪ (電圧 $\dot{V}$

 

となります。この電圧 $\dot{V}$ の大きさが電圧 $V$ になるので、電圧 $V$ は、

 

$V=|\dot{V} |$ ($\dot{V}$ の絶対値が $\dot{V}$ の大きさ(電圧 $V$ )になる

 

$=\sqrt{\left( RI\right)^2 +\left(\omega LI-\dfrac{I}{\omega C}\right)^2}$

 

$=\sqrt{R^2I^2 +\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)^2 I^2}$

 

$=\sqrt{\left\{ R^2+\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)^2\right\} I^2}$

 

$=I\sqrt{R^2 +\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)^2}$

 

$\therefore V=I\sqrt{R^2+\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)^2}$ …⑫ (電圧 $V$

 

となり、この電圧 $V$(⑫式)がRLC直列回路の直列接続全体にかかる電圧の大きさになります。

 

RLC直列回路の直列接続全体にかかる電圧の大きさ

 

コイル $L$ のリアクタンスを $X_L$( $=\omega L$ )、コンデンサ $C$ のリアクタンスを $X_C$( $=\dfrac{1}{\omega C}$ )とすると、電圧 $V$ は、$V=I\sqrt{R^2+\left( X_L-X_C\right)^2}$ とも表わせます。

 

ちなみに、この回路は抵抗 $R$ 、コイル $L$ 、コンデンサ $C$ が直列接続された回路なので、直列接続全体にかかる電圧 $\dot{V}$ は、抵抗 $R$ にかかる電圧 $\dot{V_R}$ 、コイル $L$ にかかる電圧 $\dot{V_L}$ 、コンデンサ $C$ にかかる電圧 $\dot{V_C}$ のベクトル和 $\dot{V} =\dot{V_R} +\dot{V_L} +\dot{V_C}$ でも表わすことができるので、

 

RLC直列回路の直列接続全体にかかる電圧は各素子にかかる電圧のベクトル和

 

さきほど計算して求めた②式(電圧 $\dot{V_R}$ )、⑤式(電圧 $\dot{V_L}$ )、⑧式(電圧 $\dot{V_C}$ )を使って、直列接続全体にかかる電圧 $\dot{V}$ を次のようにして求めることもできます。

 

$\dot{V} =\dot{V_R} +\dot{V_L} +\dot{V_C}$

 

$=RI+j\omega LI+\left( -j\dfrac{I}{\omega C}\right)$ ($\dot{V_R}$ に $RI$ 、$\dot{V_L}$ に $j\omega LI$ 、$\dot{V_C}$ に $-j\dfrac{I}{\omega C}$ を代入した

 

$=RI+j\omega LI-j\dfrac{I}{\omega C}$

 

$=RI+j\left(\omega LI-\dfrac{I}{\omega C}\right)$

 

$\therefore\dot{V} =RI+j\left(\omega LI-\dfrac{I}{\omega C}\right)$ …⑬ (②式、⑤式、⑧式を使って求めた電圧 $\dot{V}$

 

⑬式は、さきほど計算して求めた⑪式(電圧 $\dot{V}$ )と一致します。

 

以上で、抵抗 $R$ にかかる電圧 $V_R$ 、コイル $L$ にかかる電圧 $V_L$ 、コンデンサ $C$ にかかる電圧 $V_C$ 、直列接続全体にかかる電圧 $V$ が求められたので、続いて、RLC直列回路の電圧と電流のベクトル図の描き方と位相差の求め方について解説します。

 

RLC直列回路の電圧と電流のベクトル図

RLC直列回路の電圧と電流のベクトル図も描いてみましょう。

 

RLC直列回路の電圧と電流のベクトル図は、「コイル $L$ のリアクタンス $\omega L$ 」と「コンデンサ $C$ のリアクタンス $\dfrac{1}{\omega C}$ 」の大小関係でベクトル図が変わります。

 

なので、ここでは、
$\omega L\gt\dfrac{1}{\omega C}$ の場合
$\omega L\lt\dfrac{1}{\omega C}$ の場合
$\omega L=\dfrac{1}{\omega C}$ の場合
に分けてRLC直列回路の電圧と電流のベクトル図を描いていきます。

 

また、RLC直列回路のように直列接続の回路の場合は、一般に、電流のベクトルを基準にして描いていくとベクトル図を描きやすいです。なので、ここでも電流のベクトルを基準にしてRLC直列回路の電圧と電流のベクトル図を描いてみます。

 

では、 $\omega L\gt\dfrac{1}{\omega C}$ の場合から。

 

$\omega L\gt\dfrac{1}{\omega C}$ の場合

まず、基準のベクトルになる電流 $\dot{I}$ を描きます。

 

RLC直列回路に流れる電流のベクトル(コイルのリアクタンスがコンデンサのリアクタンスより大きい場合)

 

抵抗 $R$ にかかる電圧 $\dot{V_R}$ は $\dot{V_R} =R\dot{I}$ と表わされるので、電圧 $\dot{V_R}$ のベクトルの向きは、電流 $\dot{I}$ のベクトルと同じ向きになります。

 

RLC直列回路の抵抗にかかる電圧のベクトル(コイルのリアクタンスがコンデンサのリアクタンスより大きい場合)

 

$\dot{V_R} =R\dot{I}$ は、ベクトル $\dot{I}$ を $R$ 倍したのがベクトル $\dot{V_R}$ になるということを表わしています。
$\dot{V_R}$ と $\dot{I}$ は同じ向きなので、電圧 $\dot{V_R}$ は電流 $\dot{I}$ と同相(位相のずれがない)ということになります。

 

コイル $L$ にかかる電圧 $\dot{V_L}$ は $\dot{V_L} =j\omega L\dot{I}$ と表わされるので、電圧 $\dot{V_L}$ のベクトルの向きは、電流 $\dot{I}$ のベクトルを反時計方向に90°回転した向きになります。

 

RLC直列回路のコイルにかかる電圧のベクトル(コイルのリアクタンスがコンデンサのリアクタンスより大きい場合)

 

$\dot{V_L} =j\omega L\dot{I}$ は、ベクトル $\dot{I}$ を $\omega L$ 倍して反時計方向に90°回転したのがベクトル $\dot{V_L}$ になるということを表わしています。(ベクトルに「 $j$ 」を1回かけると、ベクトルは反時計方向に90°回転します。)
$\dot{V_L}$ の向きは $\dot{I}$ を反時計方向に90°回転した向きになるので、電圧 $\dot{V_L}$ は電流 $\dot{I}$ より $\dfrac{\pi}{2}$[$\mathrm{rad}$](90°)位相が進んでいる(言い換えれば、電流 $\dot{I}$ は電圧 $\dot{V_L}$ より $\dfrac{\pi}{2}$[$\mathrm{rad}$](90°)位相が遅れている)ということになります。

 

コンデンサ $C$ にかかる電圧 $\dot{V_C}$ は $\dot{V_C} =\dfrac{1}{j\omega C}\dot{I} =-j\dfrac{1}{\omega C}\dot{I}$ と表わされるので、電圧 $\dot{V_C}$ のベクトルの向きは、電流 $\dot{I}$ のベクトルを時計方向に90°回転した向きになります。

 

RLC直列回路のコンデンサにかかる電圧のベクトル(コイルのリアクタンスがコンデンサのリアクタンスより大きい場合)

 

$\dot{V_C} =-j\dfrac{1}{\omega C}\dot{I}$ は、ベクトル $\dot{I}$ を $\dfrac{1}{\omega C}$ 倍して時計方向に90°回転したのがベクトル $\dot{V_C}$ になるということを表わしています。(ベクトルに「 $-j$ 」を1回かけると、ベクトルは時計方向に90°回転します。)
$\dot{V_C}$ の向きは $\dot{I}$ を時計方向に90°回転した向きになるので、電圧 $\dot{V_C}$ は電流 $\dot{I}$ より $\dfrac{\pi}{2}$[$\mathrm{rad}$](90°)位相が遅れている(言い換えれば、電流 $\dot{I}$ は電圧 $\dot{V_C}$ より $\dfrac{\pi}{2}$[$\mathrm{rad}$](90°)位相が進んでいる)ということになります。

 

直列接続全体にかかる電圧 $\dot{V}$ は、抵抗 $R$ にかかる電圧 $\dot{V_R}$ 、コイル $L$ にかかる電圧 $\dot{V_L}$ 、コンデンサ $C$ にかかる電圧 $\dot{V_C}$ の3つのベクトルの和 $\dot{V} =\dot{V_R} +\dot{V_L} +\dot{V_C}$ で表わされるので、直列接続全体にかかる電圧 $\dot{V}$ は電圧 $\dot{V_R}$ 、電圧 $\dot{V_L}$ 、電圧 $\dot{V_C}$ の3つのベクトルを合成したベクトルになります。

 

RLC直列回路の直列接続全体にかかる電圧のベクトル(コイルのリアクタンスがコンデンサのリアクタンスより大きい場合)

 

ここで、電圧 $\dot{V_L}$ と電圧 $\dot{V_C}$ を合成したベクトル( $\dot{V_L} +\dot{V_C}$ )の向きが上向きになっているのは、ここでは $\omega L\gt\dfrac{1}{\omega C}$ の場合で考えているためで、$\omega L\gt\dfrac{1}{\omega C}$ の場合は、

 

電圧 $\dot{V_L}$ の大きさ( $V_L=\omega LI$ )$\gt$ 電圧 $\dot{V_C}$ の大きさ( $V_C=\dfrac{I}{\omega C}$ )

 

となるからです。(直列接続なので、電流 $I$ はどちらも同じ大きさです。)

 

以上より、$\omega L\gt\dfrac{1}{\omega C}$ の場合のRLC直列回路の電圧と電流のベクトル図は次のようになり、$\omega L\gt\dfrac{1}{\omega C}$ の場合、直列接続全体にかかる電圧 $\dot{V}$ は回路に流れる電流 $\dot{I}$ より位相が進んでいる(言い換えれば、回路に流れる電流 $\dot{I}$ は直列接続全体にかかる電圧 $\dot{V}$ より位相が遅れている)のが分かります。

 

RLC直列回路の電圧と電流のベクトル図(コイルのリアクタンスがコンデンサのリアクタンスより大きい場合)

 

ベクトル図をみると分かるように、$\omega L\gt\dfrac{1}{\omega C}$ の場合は電圧 $\dot{V}$ に対して電流 $\dot{I}$ の位相が遅れているので、$\omega L\gt\dfrac{1}{\omega C}$ の場合のRLC直列回路は誘導性の回路になります。

 

なお、各ベクトルの大きさ(長さ)は、それぞれさきほど計算した $V_R$ 、$V_L$ 、$V_C$ 、$V$ になるので( $\dot{I}$ の大きさは $I$ で、$\dot{V}$ の大きさは $V_R$ 、$V_L$ 、$V_C$ で表わすと $V=\sqrt{{V_R}^2+\left( V_L-V_C\right)^2}$ になる)、

 

RLC直列回路の各ベクトルの大きさ(コイルのリアクタンスがコンデンサのリアクタンスより大きい場合)

 

ベクトル図より電流 $\dot{I}$ に対する電圧 $\dot{V}$ の位相差 $\theta$[$\mathrm{rad}$]を求めると、

 

$\tan\theta =\dfrac{V_L-V_C}{V_R}$ より、

 

$\theta =\tan^{-1}\dfrac{V_L-V_C}{V_R}$ ($\tan^{-1}$ は $\tan$ の逆三角関数です

 

$=\tan^{-1}\dfrac{\omega LI-\dfrac{I}{\omega C}}{RI}$ ($V_L$ に $\omega LI$ 、$V_C$ に $\dfrac{I}{\omega C}$ 、$V_R$ に $RI$ を代入した

 

$=\tan^{-1}\dfrac{\omega L-\dfrac{1}{\omega C}}{R}$

 

$\therefore\theta =\tan^{-1}\dfrac{\omega L-\dfrac{1}{\omega C}}{R}$ (位相差 $\theta$

 

となります。

 

RLC直列回路の位相差θ(コイルのリアクタンスがコンデンサのリアクタンスより大きい場合)

 

コイル $L$ のリアクタンスを $X_L$( $=\omega L$ )、コンデンサ $C$ のリアクタンスを $X_C$( $=\dfrac{1}{\omega C}$ )とすると、$\theta$ は、$\theta =\tan^{-1}\dfrac{X_L-X_C}{R}$ とも表わせます。

 

$\omega L\lt\dfrac{1}{\omega C}$ の場合

まず、基準のベクトルになる電流 $\dot{I}$ を描きます。

 

RLC直列回路に流れる電流のベクトル(コイルのリアクタンスがコンデンサのリアクタンスより小さい場合)

 

抵抗 $R$ にかかる電圧 $\dot{V_R}$ は $\dot{V_R} =R\dot{I}$ と表わされるので、電圧 $\dot{V_R}$ のベクトルの向きは、電流 $\dot{I}$ のベクトルと同じ向きになります。

 

RLC直列回路の抵抗にかかる電圧のベクトル(コイルのリアクタンスがコンデンサのリアクタンスより小さい場合)

 

コイル $L$ にかかる電圧 $\dot{V_L}$ は $\dot{V_L} =j\omega L\dot{I}$ と表わされるので、電圧 $\dot{V_L}$ のベクトルの向きは、電流 $\dot{I}$ のベクトルを反時計方向に90°回転した向きになります。

 

RLC直列回路のコイルにかかる電圧のベクトル(コイルのリアクタンスがコンデンサのリアクタンスより小さい場合)

 

コンデンサ $C$ にかかる電圧 $\dot{V_C}$ は $\dot{V_C} =\dfrac{1}{j\omega C}\dot{I} =-j\dfrac{1}{\omega C}\dot{I}$ と表わされるので、電圧 $\dot{V_C}$ のベクトルの向きは、電流 $\dot{I}$ のベクトルを時計方向に90°回転した向きになります。

 

RLC直列回路のコンデンサにかかる電圧のベクトル(コイルのリアクタンスがコンデンサのリアクタンスより小さい場合)

 

直列接続全体にかかる電圧 $\dot{V}$ は、抵抗 $R$ にかかる電圧 $\dot{V_R}$ 、コイル $L$ にかかる電圧 $\dot{V_L}$ 、コンデンサ $C$ にかかる電圧 $\dot{V_C}$ の3つのベクトルの和 $\dot{V} =\dot{V_R} +\dot{V_L} +\dot{V_C}$ で表わされるので、直列接続全体にかかる電圧 $\dot{V}$ は電圧 $\dot{V_R}$ 、電圧 $\dot{V_L}$ 、電圧 $\dot{V_C}$ の3つのベクトルを合成したベクトルになります。

 

RLC直列回路の直列接続全体にかかる電圧のベクトル(コイルのリアクタンスがコンデンサのリアクタンスより小さい場合)

 

ここで、電圧 $\dot{V_L}$ と電圧 $\dot{V_C}$ を合成したベクトル( $\dot{V_L} +\dot{V_C}$ )の向きが下向きになっているのは、ここでは $\omega L\lt\dfrac{1}{\omega C}$ の場合で考えているためで、$\omega L\lt\dfrac{1}{\omega C}$ の場合は、

 

電圧 $\dot{V_L}$ の大きさ( $V_L=\omega LI$ )$\lt$ 電圧 $\dot{V_C}$ の大きさ( $V_C=\dfrac{I}{\omega C}$ )

 

となるからです。(直列接続なので、電流 $I$ はどちらも同じ大きさです。)

 

以上より、$\omega L\lt\dfrac{1}{\omega C}$ の場合のRLC直列回路の電圧と電流のベクトル図は次のようになり、$\omega L\lt\dfrac{1}{\omega C}$ の場合、直列接続全体にかかる電圧 $\dot{V}$ は回路に流れる電流 $\dot{I}$ より位相が遅れている(言い換えれば、回路に流れる電流 $\dot{I}$ は直列接続全体にかかる電圧 $\dot{V}$ より位相が進んでいる)のが分かります。

 

RLC直列回路の電圧と電流のベクトル図(コイルのリアクタンスがコンデンサのリアクタンスより小さい場合)

 

ベクトル図をみると分かるように、$\omega L\lt\dfrac{1}{\omega C}$ の場合は電圧 $\dot{V}$ に対して電流 $\dot{I}$ の位相が進んでいるので、$\omega L\lt\dfrac{1}{\omega C}$ の場合のRLC直列回路は容量性の回路になります。

 

なお、ベクトル図より電流 $\dot{I}$ に対する電圧 $\dot{V}$ の位相差 $\theta$[$\mathrm{rad}$]を求めると、

 

$\tan\theta =\dfrac{-\left( V_C-V_L\right)}{V_R}$ より、 ($V_C-V_L$ は $\dot{V_L} +\dot{V_C}$ の大きさです

 

$\theta =\tan^{-1}\dfrac{-\left( V_C-V_L\right)}{V_R}$ ($\tan^{-1}$ は $\tan$ の逆三角関数です

 

$=-\tan^{-1}\dfrac{V_C-V_L}{V_R}$

 

$=-\tan^{-1}\dfrac{\dfrac{I}{\omega C} -\omega LI}{RI}$ ($V_C$ に $\dfrac{I}{\omega C}$ 、$V_L$ に $\omega LI$ 、$V_R$ に $RI$ を代入した

 

$=-\tan^{-1}\dfrac{\dfrac{1}{\omega C} -\omega L}{R}$

 

$\therefore\theta =-\tan^{-1}\dfrac{\dfrac{1}{\omega C} -\omega L}{R}$ (位相差 $\theta$

 

となります。

 

RLC直列回路の位相差θ(コイルのリアクタンスがコンデンサのリアクタンスより小さい場合)

 

コイル $L$ のリアクタンスを $X_L$( $=\omega L$ )、コンデンサ $C$ のリアクタンスを $X_C$( $=\dfrac{1}{\omega C}$ )とすると、$\theta$ は、$\theta =-\tan^{-1}\dfrac{X_C-X_L}{R}$ とも表わせます。

 

$\omega L=\dfrac{1}{\omega C}$ の場合

まず、基準のベクトルになる電流 $\dot{I}$ を描きます。

 

RLC直列回路に流れる電流のベクトル(コイルのリアクタンスとコンデンサのリアクタンスが等しい場合)

 

抵抗 $R$ にかかる電圧 $\dot{V_R}$ は $\dot{V_R} =R\dot{I}$ と表わされるので、電圧 $\dot{V_R}$ のベクトルの向きは、電流 $\dot{I}$ のベクトルと同じ向きになります。

 

RLC直列回路の抵抗にかかる電圧のベクトル(コイルのリアクタンスとコンデンサのリアクタンスが等しい場合)

 

コイル $L$ にかかる電圧 $\dot{V_L}$ は $\dot{V_L} =j\omega L\dot{I}$ と表わされるので、電圧 $\dot{V_L}$ のベクトルの向きは、電流 $\dot{I}$ のベクトルを反時計方向に90°回転した向きになります。

 

RLC直列回路のコイルにかかる電圧のベクトル(コイルのリアクタンスとコンデンサのリアクタンスが等しい場合)

 

コンデンサ $C$ にかかる電圧 $\dot{V_C}$ は $\dot{V_C} =\dfrac{1}{j\omega C}\dot{I} =-j\dfrac{1}{\omega C}\dot{I}$ と表わされるので、電圧 $\dot{V_C}$ のベクトルの向きは、電流 $\dot{I}$ のベクトルを時計方向に90°回転した向きになります。

 

RLC直列回路のコンデンサにかかる電圧のベクトル(コイルのリアクタンスとコンデンサのリアクタンスが等しい場合)

 

直列接続全体にかかる電圧 $\dot{V}$ は、抵抗 $R$ にかかる電圧 $\dot{V_R}$ 、コイル $L$ にかかる電圧 $\dot{V_L}$ 、コンデンサ $C$ にかかる電圧 $\dot{V_C}$ の3つのベクトルの和 $\dot{V} =\dot{V_R} +\dot{V_L} +\dot{V_C}$ で表わされるので、直列接続全体にかかる電圧 $\dot{V}$ は電圧 $\dot{V_R}$ 、電圧 $\dot{V_L}$ 、電圧 $\dot{V_C}$ の3つのベクトルを合成したベクトルになります。

 

RLC直列回路の直列接続全体にかかる電圧のベクトル(コイルのリアクタンスとコンデンサのリアクタンスが等しい場合)

 

ここで、直列接続全体にかかる電圧 $\dot{V}$ のベクトルの向きが右向きになっているのは、ここでは $\omega L=\dfrac{1}{\omega C}$ の場合で考えているためで、$\omega L=\dfrac{1}{\omega C}$ の場合は、

 

電圧 $\dot{V_L}$ の大きさ( $V_L=\omega LI=\dfrac{I}{\omega C}$ )$=$ 電圧 $\dot{V_C}$ の大きさ( $V_C=\dfrac{I}{\omega C}=\omega LI$ )

 

となり、電圧 $\dot{V_L}$ と電圧 $\dot{V_C}$ のベクトルの向きは180°反対で同じ大きさになるからです。(つまり、電圧 $\dot{V_L}$ と電圧 $\dot{V_C}$ は完全に打ち消しあって、電圧 $\dot{V_R}$ だけ残るから。)

 

以上より、$\omega L=\dfrac{1}{\omega C}$ の場合のRLC直列回路の電圧と電流のベクトル図は次のようになり、$\omega L=\dfrac{1}{\omega C}$ の場合、直列接続全体にかかる電圧 $\dot{V}$ は抵抗 $R$ にかかる電圧 $\dot{V_R}$ と等しくなります

 

RLC直列回路の電圧と電流のベクトル図(コイルのリアクタンスとコンデンサのリアクタンスが等しい場合)

 

$\omega L=\dfrac{1}{\omega C}$ の場合、電圧 $\dot{V}$ のベクトルの向きと電流 $\dot{I}$ のベクトルの向きが同じになるので、電圧 $\dot{V}$ と電流 $\dot{I}$ の位相差は $0$[$\mathrm{rad}$]になります。

 

$\omega L=\dfrac{1}{\omega C}$ となる場合のRLC直列回路をRLC直列共振回路といいます。RLC直列共振回路については、こちらのRLC直列共振回路のページで詳しく解説していますので参考にしてみてください。

 

以上で、RLC直列回路の電圧と電流のベクトル図と位相差が求められました。RLC直列回路の場合はリアクタンスの大きさで場合分けをしないとならないので、ちょっとめんどくさいですね。

 

交流回路の電圧と電流の計算とベクトル図(RLC直列回路)のまとめ

 

RLC直列回路

 

  • 抵抗 $R$ にかかる電圧 $V_R$
    $V_R=RI$

 

  • コイル $L$ にかかる電圧 $V_L$
    $V_L=\omega LI$

 

  • コンデンサ $C$ にかかる電圧 $V_C$
    $V_C=\dfrac{I}{\omega C}$

 

  • RLC直列回路の直列接続全体にかかる電圧 $V$
    $V=I\sqrt{R^2+\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)^2}$

 

  • RLC直列回路の電圧と電流のベクトル図と位相差
    $\omega L\gt\dfrac{1}{\omega C}$ の場合
    RLC直列回路の電圧と電流のベクトル図(コイルのリアクタンスがコンデンサのリアクタンスより大きい場合)

    位相差: $\theta =\tan^{-1}\dfrac{\omega L-\dfrac{1}{\omega C}}{R}$


    $\omega L\lt\dfrac{1}{\omega C}$ の場合
    RLC直列回路の電圧と電流のベクトル図(コイルのリアクタンスがコンデンサのリアクタンスより小さい場合)

    位相差: $\theta =-\tan^{-1}\dfrac{\dfrac{1}{\omega C} -\omega L}{R}$


    $\omega L=\dfrac{1}{\omega C}$ の場合
    RLC直列回路の電圧と電流のベクトル図(コイルのリアクタンスとコンデンサのリアクタンスが等しい場合)

 

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このページでは回路に流れる電流を基準( $\dot{I} =I$( $\dot{I} =I+j\, 0$ ))にしてRLC直列回路の計算をしましたが、電源の電圧を基準( $\dot{V} =V$( $\dot{V} =V+j\, 0$ ))にしてもRLC直列回路の計算をすることができます。電源の電圧を基準にした場合のRLC直列回路の計算方法については、こちらのRLC直列回路の電圧と電流の計算(電源の電圧を基準にした場合)のページを参考にしてみてください。

 

RLC直列回路のインピーダンスについてはこちら
⇒ 交流回路の合成インピーダンスの計算(RLC直列回路)
を参考にしてみてください。



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