のこぎり波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法

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のこぎり波（三角波）波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率を求めてみます。

のこぎり波波形の場合、実効値、平均値を求めるためには初めにのこぎり波波形の式を求めなければならないので、ちょっと（けっこう？）めんどくさいですよ…。

次の図1のようなのこぎり波波形を考えます。（図1ののこぎり波波形の最大値は $V_m$ 、周期は $T$ です。）

図1　のこぎり波波形のグラフ

う～ん、これを式で表わすのですが、$0\sim\dfrac{T}{2}$ の範囲と $\dfrac{T}{2}\sim T$ の範囲で分けて考えます。

では、$0\sim\dfrac{T}{2}$ の範囲から。

$0\sim\dfrac{T}{2}$ の範囲は、図2の赤線部分になります。

図2　のこぎり波波形の0～T/2の範囲

この赤線部分は原点を通る直線で、傾きが $\dfrac{V_m}{\dfrac{T}{2}} =\dfrac{2V_m}{T}$ なので、この部分の式は、

$0\sim\dfrac{T}{2}$ の範囲の直線の式： $v\left( t\right) =\dfrac{2V_m}{T} t$　…①

と表わすことができます。（周期の $T$ と横軸の $t$ を混同しないように注意しましょう！）

次は $\dfrac{T}{2}\sim T$ の範囲です。

$\dfrac{T}{2}\sim T$ の範囲は、図3の赤線部分になります。

図3　のこぎり波波形のT/2～Tの範囲

この赤線部分は直線ですが原点を通らない直線なので、式を求めるのにちょっと方程式を解きますよ。

まず、傾きは $0\sim\dfrac{T}{2}$ の範囲の直線（①式）と同じになるので、傾き $=\dfrac{2V_m}{T}$ になります。

すると、図3の赤線部分の直線の式は、直線の切片（縦軸と交差するところ）を $a$ とすると次の式で表わせます。

$v\left( t\right) =\dfrac{2V_m}{T} t+a$　…②

②式の切片 $a$ を求めたいので、この直線が通る点の座標 $\left( t,v\left( t\right)\right) =\left( T,0\right)$ を②式に代入します。すると、

$0=\dfrac{2V_m}{T} T+a$　となるので、$a=-2V_m$ となります。

この $a$ を②式に代入すると、$\dfrac{T}{2}\sim T$ の範囲の直線の式になります。

$\dfrac{T}{2}\sim T$ の範囲の直線の式： $v\left( t\right) =\dfrac{2V_m}{T} t-2V_m$　…③

以上①、③式より、のこぎり波波形の式（1周期分）は次のようになります。

$v\left( t\right) =\begin{cases} \dfrac{2V_m}{T} t & \left( 0\leqq t\lt\dfrac{T}{2}\right) \\ \dfrac{2V_m}{T} t-2V_m & \left(\dfrac{T}{2}\leqq t\lt T\right)\end{cases}$　…④

波形の式を求めるだけでも大変ですが、ここからが本題なんですよね。

それでは、実効値から順番に計算して求めてみます。

のこぎり波波形の実効値の計算

実効値 $V_{rms}$ を求める定義式は対象の波形の式を $v\left( t\right)$ とすると、

$V_{rms}=\sqrt{\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T v\left( t\right)^2\, dt}$

となります。

この定義式の $v\left( t\right)$ に波形の式を代入して計算すると実効値を求められるのですが、④式をみると $0\leqq t\lt\dfrac{T}{2}$ と $\dfrac{T}{2}\leqq t\lt T$ の範囲で式が異なっていますよね。

なので、ここでは $0\leqq t\lt\dfrac{T}{2}$ と $\dfrac{T}{2}\leqq t\lt T$ の範囲でそれぞれ分けて積分する計算方法で解いてみます。

④式より、

$0\leqq t\lt\dfrac{T}{2}$ の範囲では、$v\left( t\right) =\dfrac{2V_m}{T} t$
$\dfrac{T}{2}\leqq t\lt T$ の範囲では、$v\left( t\right) =\dfrac{2V_m}{T} t-2V_m$

なので、求めるのこぎり波波形の実効値の式は、次のように表わすことができます。

$V_{rms}$ $=\sqrt{\dfrac{1}{T}\left\{\displaystyle\int_0^\frac{T}{2}\left(\dfrac{2V_m}{T} t\right)^2\, dt+\displaystyle\int_\frac{T}{2}^T\left(\dfrac{2V_m}{T} t-2V_m\right)^2\, dt\right\}}$　…⑤

あとは、これを頑張って計算するだけです。

⑤式より、

$V_{rms}$ $=\sqrt{\dfrac{1}{T}\left\{\displaystyle\int_0^\frac{T}{2}\dfrac{4{V_m}^2}{T^2} t^2\, dt+\displaystyle\int_\frac{T}{2}^T\left(\dfrac{4{V_m}^2}{T^2} t^2-2\cdot\dfrac{2V_m}{T} t\cdot 2V_m+4{V_m}^2\right)\, dt\right\}}$

$=\sqrt{\dfrac{1}{T}\left\{\displaystyle\int_0^\frac{T}{2}\dfrac{4{V_m}^2}{T^2} t^2\, dt+\displaystyle\int_\frac{T}{2}^T\left(\dfrac{4{V_m}^2}{T^2} t^2-\dfrac{8{V_m}^2}{T} t+4{V_m}^2\right)\, dt\right\}}$

式を簡単にするために、積分の外に出せる定数は出してしまいましょう。

$V_{rms}$ $=\sqrt{\dfrac{1}{T}\left\{\dfrac{4{V_m}^2}{T^2}\displaystyle\int_0^\frac{T}{2} t^2\, dt+4{V_m}^2\displaystyle\int_\frac{T}{2}^T\left(\dfrac{1}{T^2} t^2-\dfrac{2}{T} t+1\right)\, dt\right\}}$

$=\sqrt{\dfrac{4{V_m}^2}{T}\left\{\dfrac{1}{T^2}\displaystyle\int_0^\frac{T}{2} t^2\, dt+\displaystyle\int_\frac{T}{2}^T\left(\dfrac{1}{T^2} t^2-\dfrac{2}{T} t+1\right)\, dt\right\}}$

$=\sqrt{\dfrac{4{V_m}^2}{T}\left\{\dfrac{1}{T^2}\left[\dfrac{t^3}{3}\right]_0^\frac{T}{2} +\left[\dfrac{1}{T^2}\cdot\dfrac{t^3}{3} -\dfrac{2}{T}\cdot\dfrac{t^2}{2} +t\right]_\frac{T}{2}^T\right\}}$

$=\sqrt{\dfrac{4{V_m}^2}{T}\left\{\dfrac{1}{3T^2}\left[ t^3\right]_0^\frac{T}{2} +\left[\dfrac{t^3}{3T^2} -\dfrac{t^2}{T} +t\right]_\frac{T}{2}^T\right\}}$

$=\sqrt{\dfrac{4{V_m}^2}{T}\left\{\dfrac{1}{3T^2}\left(\left(\dfrac{T}{2}\right)^3 -0^3\right) +\left(\dfrac{T^3}{3T^2} -\dfrac{T^2}{T} +T\right) -\left(\dfrac{\left(\dfrac{T}{2}\right)^3}{3T^2} -\dfrac{\left(\dfrac{T}{2}\right)^2}{T} +\dfrac{T}{2}\right)\right\}}$

$=\sqrt{\dfrac{4{V_m}^2}{T}\left\{\dfrac{1}{3T^2}\cdot\dfrac{T^3}{8} +\dfrac{T}{3} -T+T-\left(\dfrac{T^3}{8}\cdot\dfrac{1}{3T^2} -\dfrac{T^2}{4}\cdot\dfrac{1}{T} +\dfrac{T}{2}\right)\right\}}$

$=\sqrt{\dfrac{4{V_m}^2}{T}\left(\dfrac{T}{24} +\dfrac{T}{3} -\dfrac{T}{24} +\dfrac{T}{4} -\dfrac{T}{2}\right)}$

$=\sqrt{\dfrac{4{V_m}^2}{T}\left(\dfrac{4T+3T-6T}{12}\right)}$ $=\sqrt{\dfrac{4{V_m}^2}{T}\left(\dfrac{T}{12}\right)}$

$=\sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{3}} =\dfrac{V_m}{\sqrt{3}}$

$\therefore V_{rms}=\dfrac{1}{\sqrt{3}} V_m$

ね？　けっこうめんどくさいでしょ。

のこぎり波波形の平均値の計算

平均値 $V_{av}$ を求める定義式は対象の波形の式を $v\left( t\right)$ とすると、

$V_{av}=\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T |\, v\left( t\right) |\, dt$

です。

この平均値についても、実効値を求めたときと同じように、$0\leqq t\lt\dfrac{T}{2}$ と $\dfrac{T}{2}\leqq t\lt T$ の範囲でそれぞれ分けて積分する方法で計算してみます。

すると、のこぎり波波形の平均値の式は次のように書くことができます。

$V_{av}$ $=\dfrac{1}{T}\left\{\displaystyle\int_0^\frac{T}{2}\left|\dfrac{2V_m}{T} t\right|\, dt+\displaystyle\int_\frac{T}{2}^T\left|\dfrac{2V_m}{T} t-2V_m\right|\, dt\right\}$　…⑥

⑥式には絶対値が付いているので、これを外しましょう。

⑥式の第1項目の積分の絶対値はそのまま外せます。　なんで？

もう一度、のこぎり波波形のグラフをみてみましょう。（図4）

図4　のこぎり波波形のグラフ

みました？

それで次に⑥式をみてみると、⑥式の第1項目の積分する範囲は $0\sim\dfrac{T}{2}$ ですよね？

この範囲では、のこぎり波波形は常にプラスなので絶対値をそのまま外せるんです。（図5）

図5　0～T/2の区間ではのこぎり波波形は常にプラス

ということで、⑥式の第1項目の絶対値はそのまま外せます。

次は⑥式の第2項目についてですが、これはそのままでは外せません。

またまたのこぎり波波形のグラフをみてみましょう。（図6）

図6　のこぎり波波形のグラフ

それで次に⑥式をみてみると、⑥式の第2項目の積分範囲は $\dfrac{T}{2}\sim T$ ですよね？

この範囲では、のこぎり波波形は常にマイナスなので、絶対値を外すためにはマイナスをかけて外す必要があります。

図7　T/2～Tの区間ではのこぎり波波形はマイナス

ということで、⑥式の第2項目はマイナスをかけて絶対値を外します。

絶対値の外し方が分かったので、話を⑥式に戻します。

⑥式の絶対値を外すと、

$V_{av}$ $=\dfrac{1}{T}\left\{\displaystyle\int_0^\frac{T}{2}\dfrac{2V_m}{T} t\, dt+\displaystyle\int_\frac{T}{2}^T\left\{ -\left(\dfrac{2V_m}{T} t-2V_m\right)\right\}\, dt\right\}$

となります。

あとは、この積分を計算しましょう。

$V_{av}$ $=\dfrac{1}{T}\left\{\displaystyle\int_0^\frac{T}{2}\dfrac{2V_m}{T} t\, dt-\displaystyle\int_\frac{T}{2}^T\left(\dfrac{2V_m}{T} t-2V_m\right)\, dt\right\}$

積分の外に出せる定数は外に出します。

$V_{av}=\dfrac{1}{T}\left\{\dfrac{2V_m}{T}\displaystyle\int_0^\frac{T}{2} t\, dt-2V_m\displaystyle\int_\frac{T}{2}^T\left(\dfrac{1}{T} t-1\right)\, dt\right\}$

$=\dfrac{2V_m}{T}\left\{\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^\frac{T}{2} t\, dt-\displaystyle\int_\frac{T}{2}^T\left(\dfrac{1}{T} t-1\right)\, dt\right\}$

$=\dfrac{2V_m}{T}\left\{\dfrac{1}{T}\left[\dfrac{t^2}{2}\right]_0^\frac{T}{2} -\left[\dfrac{1}{T}\cdot\dfrac{t^2}{2} -t\right]_\frac{T}{2}^T\right\}$ $=\dfrac{2V_m}{T}\left\{\dfrac{1}{2T}\left[ t^2\right]_0^\frac{T}{2} -\left[\dfrac{1}{2T}\cdot t^2-t\right]_\frac{T}{2}^T\right\}$

$=\dfrac{2V_m}{T}\left\{\dfrac{1}{2T}\left\{\left(\dfrac{T}{2}\right)^2 -0^2\right\} -\left\{\left(\dfrac{1}{2T}\cdot T^2-T\right) -\left(\dfrac{1}{2T}\cdot\left(\dfrac{T}{2}\right)^2 -\dfrac{T}{2}\right)\right\}\right\}$

$=\dfrac{2V_m}{T}\left\{\dfrac{1}{2T}\cdot\dfrac{T^2}{4} -\left\{\left(\dfrac{T}{2} -T\right) -\left(\dfrac{1}{2T}\cdot\dfrac{T^2}{4} -\dfrac{T}{2}\right)\right\}\right\}$

$=\dfrac{2V_m}{T}\left\{\dfrac{T}{8} -\left\{ -\dfrac{T}{2} -\left(\dfrac{T}{8} -\dfrac{T}{2}\right)\right\}\right\}$

$=\dfrac{2V_m}{T}\left(\dfrac{T}{8} +\dfrac{T}{2} +\dfrac{T}{8} -\dfrac{T}{2}\right)$ $=\dfrac{2V_m}{T}\left(\dfrac{2T}{8}\right)$ $=\dfrac{4V_m}{8}$ $=\dfrac{V_m}{2}$

$\therefore V_{av}=\dfrac{1}{2} V_m$

これでのこぎり波波形の平均値が求められました。

のこぎり波波形の最大値の計算

のこぎり波波形の最大値は $V_m$ になります。

波形のグラフをみれば分かりますね。

図8　のこぎり波波形の最大値

$\therefore$ 最大値 $=V_m$

のこぎり波波形の波形率の計算

波形率は定義式に入れるだけです。

波形率の定義式は、

波形率 $=\dfrac{\text{実効値}}{\text{平均値}}$

なので、これに求めた実効値と平均値を代入しましょう。

波形率 $=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{3}} V_m}{\dfrac{1}{2} V_m} =\dfrac{1}{\sqrt{3}}\times 2=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$

$\therefore$ 波形率 $=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$

のこぎり波波形の波高率の計算

波高率も定義式に入れるだけです。

波高率の定義式は、

波高率 $=\dfrac{\text{最大値}}{\text{実効値}}$

なので、これに求めた実効値と最大値を代入しましょう。

波高率 $=\dfrac{V_m}{\dfrac{1}{\sqrt{3}} V_m} =\dfrac{1}{\dfrac{1}{\sqrt{3}}} =\sqrt{3}$

$\therefore$ 波高率 $=\sqrt{3}$

波形率と波高率は簡単に求めることができますね。

のこぎり波波形についてまとめると

以上より、のこぎり波波形について、実効値、平均値、最大値、波形率、波高率をまとめると次のようになります。

のこぎり波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率
のこぎり波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率
実効値	$\dfrac{1}{\sqrt{3}} V_m$
平均値	$\dfrac{1}{2} V_m$
最大値	$V_m$
波形率	$\dfrac{2}{\sqrt{3}}$
波高率	$\sqrt{3}$

のこぎり波波形の実効値、平均値を求める計算は、他の波形の計算と比べるとちょっと大変ですが、いろいろな波形の計算をしてみると解き方のコツが分かってきて慣れますよ。

他の波形についても実効値、平均値、最大値、波形率、波高率を計算していますので参考にしてみてください。
正弦波波形はこちら　　全波整流波形はこちら
 半波整流波形はこちら　　方形波波形はこちら

波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の求め方の基本については、こちらの波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法のページを参考にしてみてください。

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スターデルタ変換（Y→Δ変換）: スターデルタ変換（Y→Δ変換）について解説しています。スター結線（Y結線）を等価なデルタ結線（Δ結線）に変換するのをスターデルタ変換（Y→Δ変換）といいます。スターデルタ変換の式の導出方法についても解説していますので参考にしてみてください。
交流回路のテブナンの定理: 交流回路のテブナンの定理（鳳-テブナンの定理）について解説しています。テブナンの定理を使った交流回路の計算方法や、交流回路のテブナンの定理の証明についても解説していますので参考にしてみてください。

交流回路｜のこぎり波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法