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RC直列回路の電圧と電流の計算(電源の電圧を基準にした場合)

電圧 $\dot{V}$[$\mathrm{V}$]の正弦波交流電源に、$R$[$\Omega$]の抵抗と静電容量 $C$[$\mathrm{F}$]のコンデンサが直列に接続されている次のようなRC直列回路があるとします。

 

RC直列回路

 

図のように、抵抗( $R$ )とコンデンサ( $C$ )が直列に接続されている回路をRC直列回路といいます。

 

このRC直列回路において、正弦波交流電源の電圧を $\dot{V} =V$( $\dot{V} =V+j\, 0$ )[$\mathrm{V}$]、角周波数を $\omega$[$\mathrm{rad/s}$]として、この回路の回路に流れる電流( $I$[$\mathrm{A}$])と各素子にかかる電圧( $V_R$[$\mathrm{V}$]、$V_C$[$\mathrm{V}$])を計算して求めてみます。

 

RC直列回路の各電圧と電流

 

 

RC直列回路に流れる電流

初めに、RC直列回路に流れる電流 $I$(RC直列回路に流れる電流 $\dot{I}$ の大きさ)を求めてみます。

 

RC直列回路の電流I

 

この回路は抵抗 $R$ とコンデンサ $C$ が直列接続された回路なので、回路のインピーダンス $\dot{Z}$[$\Omega$]は、

 

$\dot{Z} =R+\dfrac{1}{j\omega C}$

 

となります。なので、この回路の電圧 $\dot{V}$ と電流 $\dot{I}$ の関係は次のように表わせます。

 

$\dot{V} =\left( R+\dfrac{1}{j\omega C}\right)\dot{I}$ …①

 

この①式より電流 $\dot{I}$ を求めると、

 

$\dot{I} =\dfrac{\dot{V}}{R+\dfrac{1}{j\omega C}}$

 

$=\dfrac{V}{R+\dfrac{1}{j\omega C}}$ ($\dot{V} =V$ としているので $\dot{V}$ を $V$ とした

 

$=\dfrac{V}{\dfrac{j\omega RC+1}{j\omega C}}$

 

$=\dfrac{j\omega CV}{1+j\omega RC}$

 

$=\dfrac{j\omega CV\left( 1-j\omega RC\right)}{\left( 1+j\omega RC\right)\left( 1-j\omega RC\right)}$ (分母と分子に $1+j\omega RC$ の共役複素数 $1-j\omega RC$ をかけた

 

$=\dfrac{j\omega CV+\omega^2 RC^2V}{1+\omega^2 R^2C^2}$ ($j\times j=-1$ ですよ!

 

$=\dfrac{\omega^2 RC^2V}{1+\omega^2 R^2C^2} +j\dfrac{\omega CV}{1+\omega^2 R^2C^2}$

 

$\therefore\dot{I} =\dfrac{\omega^2 RC^2V}{1+\omega^2 R^2C^2} +j\dfrac{\omega CV}{1+\omega^2 R^2C^2}$ …② (電流 $\dot{I}$

 

となります。この電流 $\dot{I}$ の大きさが電流 $I$ になるので、電流 $I$ は、

 

$I=|\dot{I} |$ ($\dot{I}$ の絶対値が $\dot{I}$ の大きさ(電流 $I$ )になる

 

$=\sqrt{\left(\dfrac{\omega^2 RC^2V}{1+\omega^2 R^2C^2}\right)^2 +\left(\dfrac{\omega CV}{1+\omega^2 R^2C^2}\right)^2}$

 

$=\sqrt{\dfrac{\omega^4 R^2C^4V^2+\omega^2 C^2V^2}{\left( 1+\omega^2 R^2C^2\right)^2}}$

 

$=\sqrt{\dfrac{\omega^2 C^2V^2\left(\omega^2 R^2C^2+1\right)}{\left( 1+\omega^2 R^2C^2\right)^2}}$

 

$=\sqrt{\dfrac{\omega^2 C^2V^2}{1+\omega^2 R^2C^2}}$

 

$=\dfrac{\omega CV}{\sqrt{1+\omega^2 R^2C^2}}$

 

$=\dfrac{\dfrac{\omega CV}{\omega C}}{\dfrac{1}{\omega C}\sqrt{1+\omega^2 R^2C^2}}$ (分母と分子を $\omega C$ で割った

 

$=\dfrac{V}{\sqrt{\dfrac{1}{\omega^2 C^2} +\dfrac{\omega^2 R^2C^2}{\omega^2 C^2}}}$ (分母の $\dfrac{1}{\omega C}$ を2乗してルートの中に入れた

 

$=\dfrac{V}{\sqrt{\dfrac{1}{\omega^2 C^2} +R^2}}$

 

$\therefore I=\dfrac{V}{\sqrt{R^2+\left(\dfrac{1}{\omega C}\right)^2}}$ …③ (電流 $I$

 

となり、この電流 $I$(③式)がRC直列回路に流れる電流の大きさになります。

 

RC直列回路に流れる電流の大きさ

 

ちなみに、電流 $I$(③式)の式中の $\dfrac{1}{\omega C}$ はコンデンサ $C$ のリアクタンスなので、このリアクタンスを $X_C$[$\Omega$]とすると、③式の電流 $I$ は、

 

$I=\dfrac{V}{\sqrt{R^2+{X_C}^2}}$

 

とも表わせます。

 

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RC直列回路の各素子にかかる電圧

次に、RC直列回路の各素子にかかる電圧( $V_R$:抵抗 $R$ にかかる電圧 $\dot{V_R}$ の大きさ、$V_C$:コンデンサ $C$ にかかる電圧 $\dot{V_C}$ の大きさ)を求めてみます。

 

抵抗Rにかかる電圧

 

RC直列回路の電圧VR

 

電流 $\dot{I}$ が抵抗 $R$ に流れるので、抵抗 $R$ にかかる電圧 $\dot{V_R}$ と電流 $\dot{I}$ の関係は次のように表わせます。

 

$\dot{V_R} =R\dot{I}$ …④

 

この回路は抵抗 $R$ とコンデンサ $C$ が直列接続された回路なので、抵抗 $R$ とコンデンサ $C$ には同じ電流 $\dot{I}$ が流れますよ!

 

ここで、さきほど求めた②式より電流 $\dot{I}$ は、

 

$\dot{I} =\dfrac{\omega^2 RC^2V}{1+\omega^2 R^2C^2} +j\dfrac{\omega CV}{1+\omega^2 R^2C^2}$

 

でしたので、これを④式に代入して電圧 $\dot{V_R}$ を求めると、

 

$\dot{V_R} =R\dot{I}$

 

$=R\left(\dfrac{\omega^2 RC^2V}{1+\omega^2 R^2C^2} +j\dfrac{\omega CV}{1+\omega^2 R^2C^2}\right)$

 

$=\dfrac{\omega^2 R^2C^2V}{1+\omega^2 R^2C^2} +j\dfrac{\omega RCV}{1+\omega^2 R^2C^2}$

 

$\therefore\dot{V_R} =\dfrac{\omega^2 R^2C^2V}{1+\omega^2 R^2C^2} +j\dfrac{\omega RCV}{1+\omega^2 R^2C^2}$ (電圧 $\dot{V_R}$

 

となります。この電圧 $\dot{V_R}$ の大きさが電圧 $V_R$ になるので、電圧 $V_R$ は、

 

$V_R=|\dot{V_R} |$ ($\dot{V_R}$ の絶対値が $\dot{V_R}$ の大きさ(電圧 $V_R$ )になる

 

$=\sqrt{\left(\dfrac{\omega^2 R^2C^2V}{1+\omega^2 R^2C^2}\right)^2 +\left(\dfrac{\omega RCV}{1+\omega^2 R^2C^2}\right)^2}$

 

$=\sqrt{\dfrac{\omega^4 R^4C^4V^2+\omega^2 R^2C^2V^2}{\left( 1+\omega^2 R^2C^2\right)^2}}$

 

$=\sqrt{\dfrac{\omega^2 R^2C^2V^2\left(\omega^2 R^2C^2+1\right)}{\left( 1+\omega^2 R^2C^2\right)^2}}$

 

$=\sqrt{\dfrac{\omega^2 R^2C^2V^2}{1+\omega^2 R^2C^2}}$

 

$=\dfrac{\omega RCV}{\sqrt{1+\omega^2 R^2C^2}}$

 

$=\dfrac{\dfrac{\omega RCV}{\omega C}}{\dfrac{1}{\omega C}\sqrt{1+\omega^2 R^2C^2}}$ (分母と分子を $\omega C$ で割った

 

$=\dfrac{RV}{\sqrt{\dfrac{1}{\omega^2 C^2} +\dfrac{\omega^2 R^2C^2}{\omega^2 C^2}}}$ (分母の $\dfrac{1}{\omega C}$ を2乗してルートの中に入れた

 

$=\dfrac{RV}{\sqrt{\dfrac{1}{\omega^2 C^2} +R^2}}$

 

$\therefore V_R=\dfrac{RV}{\sqrt{R^2+\left(\dfrac{1}{\omega C}\right)^2}}$ …⑤ (電圧 $V_R$

 

となり、この電圧 $V_R$(⑤式)がRC直列回路の抵抗 $R$ にかかる電圧の大きさになります。

 

なお、電流 $I$ は③式より $I=\dfrac{V}{\sqrt{R^2+\left(\dfrac{1}{\omega C}\right)^2}}$ でしたので、⑤式の $\dfrac{V}{\sqrt{R^2+\left(\dfrac{1}{\omega C}\right)^2}}$ を $I$ で置きかえると、

 

$V_R=\dfrac{RV}{\sqrt{R^2+\left(\dfrac{1}{\omega C}\right)^2}} =RI$

 

$\therefore V_R=RI$ (電流 $I$ で表わした電圧 $V_R$

 

となります。色々ゴチャゴチャ計算してますけど、結局はここにたどり着く、みたいな。

 

RC直列回路の抵抗にかかる電圧の大きさ

 

コンデンサ $C$ のリアクタンスを $X_C$( $=\dfrac{1}{\omega C}$ )とすると、電圧 $V_R$ は、$V_R=\dfrac{RV}{\sqrt{R^2+{X_C}^2}}$ とも表わせます。

 

コンデンサCにかかる電圧

 

RC直列回路の電圧VC

 

電流 $\dot{I}$ がコンデンサ $C$ に流れるので、コンデンサ $C$ にかかる電圧 $\dot{V_C}$ と電流 $\dot{I}$ の関係は次のように表わせます。

 

$\dot{V_C} =\dfrac{1}{j\omega C}\dot{I}$ …⑥

 

ここで、さきほど求めた②式より電流 $\dot{I}$ は、

 

$\dot{I} =\dfrac{\omega^2 RC^2V}{1+\omega^2 R^2C^2} +j\dfrac{\omega CV}{1+\omega^2 R^2C^2}$

 

でしたので、これを⑥式に代入して電圧 $\dot{V_C}$ を求めると、

 

$\dot{V_C} =\dfrac{1}{j\omega C}\dot{I}$

 

$=\dfrac{1}{j\omega C}\left(\dfrac{\omega^2 RC^2V}{1+\omega^2 R^2C^2} +j\dfrac{\omega CV}{1+\omega^2 R^2C^2}\right)$

 

$=-\dfrac{j}{\omega C}\left(\dfrac{\omega^2 RC^2V}{1+\omega^2 R^2C^2} +j\dfrac{\omega CV}{1+\omega^2 R^2C^2}\right)$ (分母と分子に $j$ をかけた

 

$=-j\dfrac{1}{\omega C}\cdot\dfrac{\omega^2 RC^2V}{1+\omega^2 R^2C^2} +\dfrac{1}{\omega C}\cdot\dfrac{\omega CV}{1+\omega^2 R^2C^2}$

 

$=-j\dfrac{\omega RCV}{1+\omega^2 R^2C^2} +\dfrac{V}{1+\omega^2 R^2C^2}$

 

$\therefore\dot{V_C} =\dfrac{V}{1+\omega^2 R^2C^2} -j\dfrac{\omega RCV}{1+\omega^2 R^2C^2}$ (電圧 $\dot{V_C}$

 

となります。この電圧 $\dot{V_C}$ の大きさが電圧 $V_C$ になるので、電圧 $V_C$ は、

 

$V_C=|\dot{V_C} |$ ($\dot{V_C}$ の絶対値が $\dot{V_C}$ の大きさ(電圧 $V_C$ )になる

 

$=\sqrt{\left(\dfrac{V}{1+\omega^2 R^2C^2}\right)^2 +\left(\dfrac{\omega RCV}{1+\omega^2 R^2C^2}\right)^2}$

 

$=\sqrt{\dfrac{V^2+\omega^2 R^2C^2V^2}{\left( 1+\omega^2 R^2C^2\right)^2}}$

 

$=\sqrt{\dfrac{V^2\left( 1+\omega^2 R^2C^2\right)}{\left( 1+\omega^2 R^2C^2\right)^2}}$

 

$=\sqrt{\dfrac{V^2}{1+\omega^2 R^2C^2}}$

 

$=\dfrac{V}{\sqrt{1+\omega^2 R^2C^2}}$

 

$=\dfrac{\dfrac{V}{\omega C}}{\dfrac{1}{\omega C}\sqrt{1+\omega^2 R^2C^2}}$ (分母と分子を $\omega C$ で割った

 

$=\dfrac{\dfrac{V}{\omega C}}{\sqrt{\dfrac{1}{\omega^2 C^2} +\dfrac{\omega^2 R^2C^2}{\omega^2 C^2}}}$ (分母の $\dfrac{1}{\omega C}$ を2乗してルートの中に入れた

 

$=\dfrac{\dfrac{V}{\omega C}}{\sqrt{\dfrac{1}{\omega^2 C^2} +R^2}}$

 

$\therefore V_C=\dfrac{\dfrac{1}{\omega C} V}{\sqrt{R^2+\left(\dfrac{1}{\omega C}\right)^2}}$ …⑦ (電圧 $V_C$

 

となり、この電圧 $V_C$(⑦式)がRC直列回路のコンデンサ $C$ にかかる電圧の大きさになります。

 

なお、電流 $I$ は③式より $I=\dfrac{V}{\sqrt{R^2+\left(\dfrac{1}{\omega C}\right)^2}}$ でしたので、⑦式の $\dfrac{V}{\sqrt{R^2+\left(\dfrac{1}{\omega C}\right)^2}}$ を $I$ で置きかえると、

 

$V_C=\dfrac{\dfrac{1}{\omega C} V}{\sqrt{R^2+\left(\dfrac{1}{\omega C}\right)^2}} =\dfrac{1}{\omega C} I$

 

$\therefore V_C=\dfrac{I}{\omega C}$ (電流 $I$ で表わした電圧 $V_C$

 

となります。

 

RC直列回路のコンデンサにかかる電圧の大きさ

 

コンデンサ $C$ のリアクタンスを $X_C$( $=\dfrac{1}{\omega C}$ )とすると、電圧 $V_C$ は、$V_C=\dfrac{X_CV}{\sqrt{R^2+{X_C}^2}} =X_CI$ とも表わせます。

 

以上で、回路に流れる電流 $I$ 、抵抗 $R$ にかかる電圧 $V_R$ 、コンデンサ $C$ にかかる電圧 $V_C$ が求められました。

 

RC直列回路の電圧と電流の計算(電源の電圧を基準にした場合)のまとめ

 

RC直列回路

 

  • RC直列回路に流れる電流 $I$
    $I=\dfrac{V}{\sqrt{R^2+\left(\dfrac{1}{\omega C}\right)^2}}$

 

  • 抵抗 $R$ にかかる電圧 $V_R$
    $V_R=\dfrac{RV}{\sqrt{R^2+\left(\dfrac{1}{\omega C}\right)^2}} =RI$

 

  • コンデンサ $C$ にかかる電圧 $V_C$
    $V_C=\dfrac{\dfrac{1}{\omega C} V}{\sqrt{R^2+\left(\dfrac{1}{\omega C}\right)^2}}$ $=\dfrac{I}{\omega C}$

 

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このページでは電源の電圧を基準( $\dot{V} =V$( $\dot{V} =V+j\, 0$ ))にしてRC直列回路の計算をしましたが、回路に流れる電流を基準( $\dot{I} =I$( $\dot{I} =I+j\, 0$ ))にしてもRC直列回路の計算をすることができます。回路に流れる電流を基準にした場合のRC直列回路の計算方法については、こちらの交流回路の電圧と電流の計算とベクトル図(RC直列回路)のページを参考にしてみてください。(こちらのページでは、RC直列回路の電圧と電流のベクトル図の描き方についても解説しています。)

 

RC直列回路のインピーダンスについてはこちら
⇒ 交流回路の合成インピーダンスの計算(素子が2個直列接続の場合)
RC直列回路の電力の計算についてはこちら
⇒ 交流回路の電力の計算(RC直列回路)
を参考にしてみてください。



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スター結線(Y結線)されている三相交流回路の線間電圧は相電圧の√3倍になりますが、なぜ√3倍になるのか?スター結線のときの線間電圧と相電圧のベクトル図を求め、求めたベクトル図から√3倍になる理由について解説しています。