交流回路の電力の計算（コンデンサだけの回路）

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正弦波交流電源にコンデンサだけ接続されている次のような回路において、

正弦波交流電源にコンデンサだけ接続されている回路

この回路の電力（平均電力）$P_{av}$ を、電圧の瞬時値 $v\left( t\right)$ と電流の瞬時値 $i\left( t\right)$ から求めてみます。

電力（平均電力）$P_{av}$ を求める計算手順

電圧の瞬時値 $v\left( t\right)$ と電流の瞬時値 $i\left( t\right)$ から電力（平均電力）$P_{av}$ を求めるときのざっくりとした計算手順は、次のようになります。

電力（平均電力）を求める計算手順

手順１

電圧の瞬時値と電流の瞬時値をかけて電力の瞬時値を求める

手順２

求めた電力の瞬時値を1周期の範囲で積分して平均する

手順はこれだけなのですが、計算の過程で三角関数の公式などを使ったりするので、途中の計算がちょっと大変だったりします。

では、この手順で、電圧の瞬時値 $v\left( t\right)$ と電流の瞬時値 $i\left( t\right)$ から電力（平均電力）$P_{av}$ を計算してみます。

負荷がコンデンサだけの場合の交流回路の電力（平均電力）の計算

交流電源にコンデンサだけ接続されている回路

コンデンサに接続されている正弦波交流電源の電圧の最大値を $V_m$［$\mathrm{V}$］、角周波数を $\omega$［$\mathrm{rad/s}$］、時間を $t$［$\mathrm{s}$］とすると、コンデンサにかかる電圧の瞬時値 $v\left( t\right)$［$\mathrm{V}$］は、

$v\left( t\right) =V_m\sin\omega t$　［$\mathrm{V}$］　…①

と表わせます。

またこのとき、負荷はコンデンサだけ（つまり、電流の位相は電圧よりも90°（$=\dfrac{\pi}{2}$［$\mathrm{rad}$］）進む）なので、コンデンサに流れる電流の最大値を $I_m$［$\mathrm{A}$］とするとコンデンサに流れる電流の瞬時値 $i\left( t\right)$［$\mathrm{A}$］は、

$i\left( t\right) =I_m\sin\left(\omega t+\dfrac{\pi}{2}\right)$　［$\mathrm{A}$］　…②

と表わせます。

①は電圧の瞬時値 $v\left( t\right)$ 、②は電流の瞬時値 $i\left( t\right)$ なので、①と②をかけて電力の瞬時値 $p\left( t\right)$ は、

$p\left( t\right) =v\left( t\right)\times i\left( t\right)$ $=V_m\sin\omega t\times I_m\sin\left(\omega t+\dfrac{\pi}{2}\right)$ $=V_mI_m\sin\omega t\,\sin\left(\omega t+\dfrac{\pi}{2}\right)$

$\therefore p\left( t\right) =V_mI_m\sin\omega t\,\sin\left(\omega t+\dfrac{\pi}{2}\right)$　…③

ここで、三角関数の定理（加法定理：$\sin\left(\alpha +\beta\right) =\sin\alpha\cos\beta +\cos\alpha\sin\beta$ ）を使うと③式の $\sin\left(\omega t+\dfrac{\pi}{2}\right)$ は、

$\sin\left(\omega t+\dfrac{\pi}{2}\right)$ $=\sin\omega t\cdot\cos\dfrac{\pi}{2} +\cos\omega t\cdot\sin\dfrac{\pi}{2}$ $=\sin\omega t\times 0+\cos\omega t\times 1$ $=\cos\omega t$

となるので、これを③式に代入すると、

$p\left( t\right) =V_mI_m\sin\omega t\,\sin\left(\omega t+\dfrac{\pi}{2}\right)$ $=V_mI_m\sin\omega t\cdot\cos\omega t$

$\therefore p\left( t\right) =V_mI_m\sin\omega t\,\cos\omega t$　…④

となります。

ここでさらに、④式に三角関数の公式（倍角の公式：$\sin 2\alpha =2\sin\alpha\cos\alpha$ より、$\sin\alpha\cos\alpha =\dfrac{\sin 2\alpha}{2}$ ）を使うと④式は、

$p\left( t\right) =V_mI_m\sin\omega t\,\cos\omega t$ $=V_mI_m\dfrac{\sin 2\omega t}{2}$ $=\dfrac{V_mI_m}{2}\sin 2\omega t$

$\therefore p\left( t\right) =\dfrac{V_mI_m}{2}\sin 2\omega t$　［$\mathrm{W}$］　…⑤　（$\Leftarrow$ 電力の瞬時値 $p\left( t\right)$ の式）

となり、この⑤式が電力の瞬時値 $p\left( t\right)$ の式になります。ちなみに、この⑤式の $p\left( t\right)$ を瞬時電力といいます。

電力の瞬時値 $p\left( t\right)$ が求められたので、次に、⑤式を1周期の範囲で積分して平均し、電力（平均電力）$P_{av}$ を求めます。電力（平均電力）$P_{av}$ は、

$P_{av}=\dfrac{1}{\frac{T}{2}}\displaystyle\int_0^\frac{T}{2} p\left( t\right)\, dt$ $=\dfrac{1}{\frac{T}{2}}\displaystyle\int_0^\frac{T}{2}\dfrac{V_mI_m}{2}\sin 2\omega t\, dt$　…⑥

$v\left( t\right)$（または $i\left( t\right)$ ）の周期を $T$ とすると、$p\left( t\right)$ の周期は $T/2$ になります。

ここで、$T=\dfrac{1}{f}=\dfrac{2\pi}{\omega}$（ $\because \omega =2\pi f$ ）より、$\dfrac{T}{2} =\dfrac{\pi}{\omega}$ なので、これを⑥式に代入すると、

$P_{av}=\dfrac{1}{\frac{\pi}{\omega}}\displaystyle\int_0^\frac{\pi}{\omega}\dfrac{V_mI_m}{2}\sin 2\omega t\, dt$　…⑦

あとは、この⑦式を計算していきます。$\dfrac{V_mI_m}{2}$ は定数なので、積分の外に出します。

$P_{av}=\dfrac{1}{\frac{\pi}{\omega}}\cdot\dfrac{V_mI_m}{2}\displaystyle\int_0^\frac{\pi}{\omega}\sin 2\omega t\, dt$

$=\dfrac{\omega V_mI_m}{2\pi}\displaystyle\int_0^\frac{\pi}{\omega}\sin 2\omega t\, dt$

$=\dfrac{\omega V_mI_m}{2\pi}\left[ -\dfrac{\cos 2\omega t}{2\omega}\right]_0^\frac{\pi}{\omega}$　　（ $\because \displaystyle\int\sin 2\omega t\, dt=-\dfrac{\cos 2\omega t}{2\omega} +C$ ）

$=-\dfrac{\omega V_mI_m}{2\pi\cdot 2\omega}\left[\cos 2\omega t\right]_0^\frac{\pi}{\omega}$

$=-\dfrac{V_mI_m}{4\pi}\left(\cos\left( 2\omega\cdot\dfrac{\pi}{\omega}\right) -\cos\left( 2\omega\cdot 0\right)\right)$

$=-\dfrac{V_mI_m}{4\pi}\left(\cos 2\pi -\cos 0\right)$

$=-\dfrac{V_mI_m}{4\pi}\left( 1-1\right) =-\dfrac{V_mI_m}{4\pi}\times 0=0$

$\therefore P_{av}=0$　［$\mathrm{W}$］　…⑧　（$\Leftarrow$ 電力（平均電力）$P_{av}$ ）

となります。

この⑧がコンデンサだけ接続されている場合の電力（平均電力）になり、コンデンサだけ接続されている場合の電力（平均電力）$P_{av}$ は、ゼロになります。

つまり、負荷がコンデンサだけの場合、電力は消費されない！ということになります。

負荷がコンデンサだけの場合、電力は消費されない

負荷がコンデンサだけの場合の交流回路の電力の波形

電圧 $v\left( t\right)$ 、電流 $i\left( t\right)$ 、電力 $p\left( t\right)$ の波形を書いてみると、次のようになります。

負荷がコンデンサだけの場合の電圧、電流、電力の波形

電圧と電流の波形

負荷がコンデンサだけの回路なので、電圧 $v\left( t\right)$ と電流 $i\left( t\right)$ の波形は、電流 $i\left( t\right)$ の位相が電圧 $v\left( t\right)$ よりも90°（$=\dfrac{\pi}{2}$［$\mathrm{rad}$］）進んだ波形になります。

負荷がコンデンサだけの場合、電流の位相が電圧よりも90°進む

電力の波形

電力 $p\left( t\right)$ の波形は最大値が $\dfrac{V_mI_m}{2}$ の正弦波になり、電力 $p\left( t\right)$ の周波数は電圧 $v\left( t\right)$（または電流 $i\left( t\right)$ ）の周波数の2倍になります。

負荷がコンデンサだけの場合の電力の波形（電力の周波数は電圧（または電流）の周波数の2倍になる）

また、波形を見てみると、負荷がコンデンサだけの回路の場合、電力の瞬時値 $p\left( t\right)$ は正の値と負の値を交互に繰り返し、

負荷がコンデンサだけの場合の電力の波形（電力の瞬時値は正の値になったり負の値になったりする）

電力の瞬時値 $p\left( t\right)$ は、

電圧の瞬時値 $v\left( t\right)$ と電流の瞬時値 $i\left( t\right)$ が異符号（正と負）の範囲では負（マイナス）
電圧の瞬時値 $v\left( t\right)$ と電流の瞬時値 $i\left( t\right)$ が同符号（正と正または負と負）の範囲では正（プラス）
電圧の瞬時値 $v\left( t\right)$ と電流の瞬時値 $i\left( t\right)$ のどちらかがゼロのところではゼロ

となっているのが分かります。

コンデンサだけの回路の電力の波形（電力の正負）

電力の瞬時値 $p\left( t\right)$ は、$p\left( t\right) =v\left( t\right)\times i\left( t\right)$ なので、$v\left( t\right)$ と $i\left( t\right)$ が異符号の場合には $p\left( t\right)$ は負、$v\left( t\right)$ と $i\left( t\right)$ が同符号の場合には $p\left( t\right)$ は正になります。

コンデンサだけの回路の電力の波形（電力がゼロになる点）

電力の瞬時値 $p\left( t\right)$ は、$p\left( t\right) =v\left( t\right)\times i\left( t\right)$ なので、$v\left( t\right)$ と $i\left( t\right)$ のどちらかがゼロの場合には $p\left( t\right)$ もゼロになります。

それから、電力の瞬時値 $p\left( t\right)$ の波形を1周期だけ取り出してみると、正の領域の面積と負の領域の面積は等しいので、

1周期だけ取り出した電力の波形

波形を1周期で平均すると、その平均値（つまり、平均電力）はゼロになることが波形からも分かります。

補足

電力 $p\left( t\right)$ の周波数は電圧 $v\left( t\right)$ の周波数の2倍になる

電圧の瞬時値 $v\left( t\right)$ の式は、$v\left( t\right) =V_m\sin\omega t$ です。
一方、電力の瞬時値 $p\left( t\right)$ の式は、$p\left( t\right) =\dfrac{V_mI_m}{2}\sin 2\omega t$ です。
2つの式の $\sin$ の中を見比べてみると、

電圧の瞬時値の式と電力の瞬時値の式の比較

となっているので、電力 $p\left( t\right)$ の周波数は電圧 $v\left( t\right)$ の周波数の2倍になります。
なお、周波数が2倍になるということは、$T=\dfrac{1}{f}$ の関係から周期は半分（1/2倍）になることになります。

交流回路の電力の計算（コンデンサだけの回路）のまとめ

電力の瞬時値： $p\left( t\right) =\dfrac{V_mI_m}{2}\sin 2\omega t$　［$\mathrm{W}$］
電力（平均電力）： $P_{av}=0$　［$\mathrm{W}$］
負荷がコンデンサだけの場合、電力は消費されない
電力の瞬時値（瞬時電力）$p\left( t\right)$ の周波数は、電圧 $v\left( t\right)$ の周波数の2倍になる（周期は1/2倍）

他の回路についても電力（平均電力）の計算をしていますので、それぞれ次のページを参考にしてみてください。
抵抗だけの回路はこちら　⇒　交流回路の電力の計算（抵抗だけの回路）
コイルだけの回路はこちら　⇒　交流回路の電力の計算（コイルだけの回路）
RL直列回路はこちら　⇒　交流回路の電力の計算（RL直列回路）
RC直列回路はこちら　⇒　交流回路の電力の計算（RC直列回路）

コンデンサだけの回路の電圧と電流の計算とベクトル図については、こちらの交流回路の電圧と電流の計算とベクトル図（コンデンサだけの回路）のページを参考にしてみてください。

位相については、こちらの交流回路の位相のページを参考にしてみてください。

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