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インピーダンス

交流回路での電圧と電流の比をインピーダンスといい、インピーダンスの大きさは、交流回路の電流の流れにくさを表わします。インピーダンスを表わす量記号には「 $Z$ 」が使われ、インピーダンスの単位は直流回路の抵抗と同じ「 $\Omega$ 」(オーム)になります。

 

インピーダンス

 

インピーダンスの大きさは電流の流れにくさを表わすものなので、インピーダンスが大きいほど回路に流れる電流は小さくなり、インピーダンスが小さいほど回路に流れる電流は大きくなります。

 

インピーダンスの大きさと電流の大きさの関係

 

つまり、インピーダンスは、直流回路での抵抗と同じように電流の流れを妨げるような働きをします。

 

また、インピーダンス $Z$ は電圧 $V$[$\mathrm{V}$]と電流 $I$[$\mathrm{A}$]の比( $V/I$ )であるので、

 

$Z=\dfrac{V}{I}$ …① (インピーダンス $Z$ は電圧 $V$ と電流 $I$ の比

 

回路のインピーダンス $Z$ の値が分かっていれば、①式を変形した次の②式と③式を使って、回路の電圧 $V$ や電流 $I$ を求めることができます。

 

$V=IZ$ …② (電圧 $V$ の式(電流 $I$ の値によって電圧 $V$ の値が決まる)

 

$I=\dfrac{V}{Z}$ …③ (電流 $I$ の式(電圧 $V$ の値によって電流 $I$ の値が決まる)

 

インピーダンスと電圧と電流の関係

 

なお、①式、②式、③式は、直流回路のオームの法則の抵抗 $R$ をインピーダンス $Z$ に置き換えたものと同じであり、これら3つの式は交流回路のオームの法則と呼ばれることもあります。

 

次に、「インピーダンスの求め方」と「インピーダンスと電圧と電流の関係」について、いくつかの回路を例にして解説します。

 

 

インピーダンスの求め方とインピーダンスと電圧と電流の関係

抵抗と誘導性リアクタンスが直列接続された回路の場合

$R$[$\Omega$]の抵抗と $X_L$[$\Omega$]の誘導性リアクタンス(コイル)が直列に接続された次のような回路があるとします。

 

抵抗と誘導性リアクタンスが直列接続された回路

 

この回路において、抵抗 $R$ と誘導性リアクタンス $X_L$ によるインピーダンスを $Z$[$\Omega$]とすると、

 

抵抗と誘導性リアクタンスによるインピーダンスZ

 

抵抗 $R$ 、誘導性リアクタンス $X_L$ 、インピーダンス $Z$ の関係は、次のような直角三角形(底辺を抵抗 $R$ 、対辺を誘導性リアクタンス $X_L$ 、斜辺をインピーダンス $Z$ とした直角三角形)で表わすことができます。

 

抵抗、誘導性リアクタンス、インピーダンスの関係を表わした直角三角形

 

したがって、この回路のインピーダンス $Z$ を求めるときは、この直角三角形の斜辺の大きさ(長さ)を求めればいいので、インピーダンス $Z$ は、

 

$Z=\sqrt{R^2+{X_L}^2}$ …④ (インピーダンス $Z$

 

となります。

 

直角三角形の斜辺の大きさがインピーダンスZになる

 

インピーダンス $Z$(斜辺の大きさ)は、三平方の定理を使って計算しています。

 

なお、ここで描いたようなインピーダンスの直角三角形をインピーダンス三角形といい、インピーダンス三角形の底辺と斜辺のなす角をインピーダンス角といいます。

 

インピーダンス三角形、インピーダンス角(抵抗と誘導性リアクタンスが直列接続された回路の場合)

 

ちなみに、この回路の場合のインピーダンス角 $\theta$[$\mathrm{rad}$]は、インピーダンス三角形より、

 

$\tan\theta =\dfrac{X_L}{R}$

 

$\theta =\tan^{-1}\dfrac{X_L}{R}$ ($\tan^{-1}$ は $\tan$ の逆三角関数です

 

$\therefore\theta =\tan^{-1}\dfrac{X_L}{R}$ (インピーダンス角 $\theta$

 

となり、インピーダンス角 $\theta$ の大きさは、「インピーダンス $Z$ にかかる電圧 $V$ 」と「インピーダンス $Z$ に流れる電流 $I$ 」の位相差と等しくなります。

 

インピーダンス角の大きさは電圧と電流の位相差と等しくなる

 

また、インピーダンス $Z$ は電圧 $V$ と電流 $I$ の比( $V/I$ )であるので、この回路の場合の電圧 $V$ 、電流 $I$ 、インピーダンス $Z$ の関係は、

 

$Z=\dfrac{V}{I} =\sqrt{R^2+{X_L}^2}$ …⑤

 

となり、⑤式より電圧 $V$ と電流 $I$ は、それぞれ次のように表わせます。

 

$V=IZ=I\sqrt{R^2+{X_L}^2}$

 

$I=\dfrac{V}{Z} =\dfrac{V}{\sqrt{R^2+{X_L}^2}}$

 

インピーダンスZ、電圧V、電流I(抵抗と誘導性リアクタンスが直列接続された回路の場合)

 

抵抗と誘導性リアクタンスが直列接続されている回路(RL直列回路)の電圧と電流の計算については、交流回路の電圧と電流の計算とベクトル図(RL直列回路)のページで詳しく解説していますので、こちらも参考にしてみてください。

 

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抵抗と容量性リアクタンスが直列接続された回路の場合

$R$[$\Omega$]の抵抗と $X_C$[$\Omega$]の容量性リアクタンス(コンデンサ)が直列に接続された次のような回路があるとします。

 

抵抗と容量性リアクタンスが直列接続された回路

 

この回路において、抵抗 $R$ と容量性リアクタンス $X_C$ によるインピーダンスを $Z$[$\Omega$]とすると、

 

抵抗と容量性リアクタンスによるインピーダンスZ

 

抵抗 $R$ 、容量性リアクタンス $X_C$ 、インピーダンス $Z$ の関係は、次のような直角三角形(底辺を抵抗 $R$ 、対辺を容量性リアクタンス $X_C$ 、斜辺をインピーダンス $Z$ とした直角三角形)で表わすことができます。

 

抵抗、容量性リアクタンス、インピーダンスの関係を表わした直角三角形

 

抵抗 $R$ と容量性リアクタンス $X_C$ が直列接続された回路の場合は、回路が容量性の回路になるので、直角三角形の向きは上の図のような向きになります。(抵抗 $R$ と誘導性リアクタンス $X_L$ が直列接続された回路(誘導性の回路)とは直角三角形の向きが上下反対になります。)

 

したがって、この回路のインピーダンス $Z$ を求めるときは、直角三角形の斜辺の大きさ(長さ)を求めればいいので、インピーダンス $Z$ は、

 

$Z=\sqrt{R^2+{X_C}^2}$ …⑥ (インピーダンス $Z$

 

となります。

 

インピーダンス三角形(抵抗と容量性リアクタンスが直列接続された回路の場合)

 

なお、この回路のインピーダンス角 $\theta$[$\mathrm{rad}$]は、インピーダンス三角形より、

 

$\tan\theta =\dfrac{-X_C}{R}$ (容量性リアクタンスの場合はマイナスにします

 

$\theta =\tan^{-1}\dfrac{-X_C}{R}$ ($\tan^{-1}$ は $\tan$ の逆三角関数です

 

$\therefore\theta =-\tan^{-1}\dfrac{X_C}{R}$ (インピーダンス角 $\theta$

 

となります。

 

また、インピーダンス $Z$ は電圧 $V$ と電流 $I$ の比( $V/I$ )であるので、この回路の場合の電圧 $V$ 、電流 $I$ 、インピーダンス $Z$ の関係は、

 

$Z=\dfrac{V}{I} =\sqrt{R^2+{X_C}^2}$ …⑦

 

となり、⑦式より電圧 $V$ と電流 $I$ は、それぞれ次のように表わせます。

 

$V=IZ=I\sqrt{R^2+{X_C}^2}$

 

$I=\dfrac{V}{Z} =\dfrac{V}{\sqrt{R^2+{X_C}^2}}$

 

インピーダンスZ、電圧V、電流I(抵抗と容量性リアクタンスが直列接続された回路の場合)

 

抵抗と容量性リアクタンスが直列接続されている回路(RC直列回路)の電圧と電流の計算については、交流回路の電圧と電流の計算とベクトル図(RC直列回路)のページで詳しく解説していますので、こちらも参考にしてみてください。

 

抵抗と誘導性リアクタンスと容量性リアクタンスが直列接続された回路の場合

$R$[$\Omega$]の抵抗、$X_L$[$\Omega$]の誘導性リアクタンス(コイル)、$X_C$[$\Omega$]の容量性リアクタンス(コンデンサ)が直列に接続された次のような回路があるとします。

 

抵抗と誘導性リアクタンスと容量性リアクタンスが直列接続された回路

 

この回路において、抵抗 $R$ 、誘導性リアクタンス $X_L$ 、容量性リアクタンス $X_C$ によるインピーダンスを $Z$[$\Omega$]とすると、

 

抵抗と誘導性リアクタンスと容量性リアクタンスによるインピーダンスZ

 

抵抗 $R$ 、誘導性リアクタンス $X_L$ 、容量性リアクタンス $X_C$ 、インピーダンス $Z$ の関係は、次のような直角三角形(底辺を抵抗 $R$ 、対辺を誘導性リアクタンス $X_L$ と容量性リアクタンス $X_C$ の差、斜辺をインピーダンス $Z$ とした直角三角形)で表わすことができます。

 

$X_L\gt X_C$ の場合

 

抵抗、誘導性リアクタンス、容量性リアクタンス、インピーダンスの関係を表わした直角三角形(XL>XCの場合)

 

$X_C\gt X_L$ の場合

 

抵抗、誘導性リアクタンス、容量性リアクタンス、インピーダンスの関係を表わした直角三角形(XC>XLの場合)

 

抵抗 $R$ 、誘導性リアクタンス $X_L$ 、容量性リアクタンス $X_C$ が直列接続された回路の場合は、誘導性リアクタンス $X_L$ と容量性リアクタンス $X_C$ の大小関係で直角三角形の向きが変わります。
誘導性リアクタンス $X_L$ が容量性リアクタンス $X_C$ より大きい場合は、回路が誘導性の回路になるので、直角三角形の向きは、上の図のような向きになります。
容量性リアクタンス $X_C$ が誘導性リアクタンス $X_L$ より大きい場合は、回路が容量性の回路になるので、直角三角形の向きは、下の図のような向きになります。

 

したがって、この回路のインピーダンス $Z$ を求めるときは、直角三角形の斜辺の大きさ(長さ)を求めればいいので、インピーダンス $Z$ は、

 

$X_L\gt X_C$ の場合

 

$Z=\sqrt{R^2+\left( X_L-X_C\right)^2}$ …⑧ (インピーダンス $Z$

 

インピーダンス三角形(抵抗と誘導性リアクタンスと容量性リアクタンスが直列接続された回路(XL>XC)の場合)

 

$X_C\gt X_L$ の場合

 

$Z=\sqrt{R^2+\left( X_C-X_L\right)^2}$ …⑨ (インピーダンス $Z$

 

インピーダンス三角形(抵抗と誘導性リアクタンスと容量性リアクタンスが直列接続された回路(XC>XL)の場合)

 

となります。

 

⑧式と⑨式は括弧の中が異なる式になっていますが、括弧を2乗しているので、$R$ 、$X_L$ 、$X_C$ の値が同じであればどちらの式を使っても同じ値(インピーダンス $Z$ )になります。

 

なお、この回路のインピーダンス角 $\theta$[$\mathrm{rad}$]は、インピーダンス三角形より、

 

$X_L\gt X_C$ の場合

 

$\tan\theta =\dfrac{X_L-X_C}{R}$

 

$\theta =\tan^{-1}\dfrac{X_L-X_C}{R}$ ($\tan^{-1}$ は $\tan$ の逆三角関数です

 

$\therefore\theta =\tan^{-1}\dfrac{X_L-X_C}{R}$ …⑩ (インピーダンス角 $\theta$

 

$X_C\gt X_L$ の場合

 

$\tan\theta =\dfrac{-\left( X_C-X_L\right)}{R}$

 

$\theta =\tan^{-1}\dfrac{-\left( X_C-X_L\right)}{R}$

 

$\therefore\theta =-\tan^{-1}\dfrac{X_C-X_L}{R}$ …⑪ (インピーダンス角 $\theta$

 

となります。

 

⑪式のマイナスを $\tan$ の中に入れると、⑪式は⑩式と同じ式になります。

 

また、インピーダンス $Z$ は電圧 $V$ と電流 $I$ の比( $V/I$ )であるので、この回路の場合の電圧 $V$ 、電流 $I$ 、インピーダンス $Z$ の関係は、

 

$X_L\gt X_C$ の場合

 

$Z=\dfrac{V}{I} =\sqrt{R^2+\left( X_L-X_C\right)^2}$ …⑫

 

となり、⑫式より電圧 $V$ と電流 $I$ は、それぞれ次のように表わせます。

 

$V=IZ=I\sqrt{R^2+\left( X_L-X_C\right)^2}$

 

$I=\dfrac{V}{Z} =\dfrac{V}{\sqrt{R^2+\left( X_L-X_C\right)^2}}$

 

インピーダンスZ、電圧V、電流I(抵抗と誘導性リアクタンスと容量性リアクタンスが直列接続された回路(XL>XC)の場合)

 

$X_C\gt X_L$ の場合

 

$Z=\dfrac{V}{I} =\sqrt{R^2+\left( X_C-X_L\right)^2}$ …⑬

 

となり、⑬式より電圧 $V$ と電流 $I$ は、それぞれ次のように表わせます。

 

$V=IZ=I\sqrt{R^2+\left( X_C-X_L\right)^2}$

 

$I=\dfrac{V}{Z} =\dfrac{V}{\sqrt{R^2+\left( X_C-X_L\right)^2}}$

 

インピーダンスZ、電圧V、電流I(抵抗と誘導性リアクタンスと容量性リアクタンスが直列接続された回路(XC>XL)の場合)

 

抵抗、誘導性リアクタンス、容量性リアクタンスが直列接続されている回路(RLC直列回路)の電圧と電流の計算については、交流回路の電圧と電流の計算とベクトル図(RLC直列回路)のページで詳しく解説していますので、こちらも参考にしてみてください。

 

 

以上、3つの直列回路を例にしてインピーダンスについて解説しましたが、直列回路のインピーダンスを求めるときは、ここで解説したように直角三角形を描いて各辺に値をあてはめることで求めることができます。

 

直列回路のインピーダンスを求めるときは、直角三角形を描いて斜辺を計算!しましょう。

 

インピーダンスのまとめ
  • 交流回路での電圧と電流の比 $\dfrac{V}{I}$ をインピーダンスという
  • インピーダンスの大きさは、交流回路の電流の流れにくさを表わす
  • 直列回路のインピーダンスを求めるときは、直角三角形を描いて、底辺に抵抗の値、対辺にリアクタンスの値をあてはめて、斜辺を計算すればヨシ!

 

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一般に、直列回路の計算をするときはインピーダンスで計算し、並列回路の計算をするときはアドミタンスで計算すると計算が簡単になる場合が多いです。アドミタンスについては、こちらのアドミタンスのページにまとめていますので参考にしてみてください。

 

また、複素数で表わしたインピーダンスを複素インピーダンスといいます。複素インピーダンスについては、こちらの複素インピーダンスのページにまとめていますので参考にしてみてください。



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