交流回路の電力の計算(抵抗だけの回路)

正弦波交流電源に抵抗だけ接続されている次のような回路において、

 

正弦波交流電源に抵抗だけ接続されている回路

 

この回路の電力(平均電力)$P_{av}$ を、電圧の瞬時値 $v\left( t\right)$ と電流の瞬時値 $i\left( t\right)$ から求めてみます。

 

電力(平均電力)$P_{av}$ を求める計算手順

電圧の瞬時値 $v\left( t\right)$ と電流の瞬時値 $i\left( t\right)$ から電力(平均電力)$P_{av}$ を求めるときのざっくりとした計算手順は、次のようになります。

 

−電力(平均電力)を求める計算手順−

手順1
電圧の瞬時値と電流の瞬時値をかけて電力の瞬時値を求める
手順2
求めた電力の瞬時値を1周期の範囲で積分して平均する

 

手順はこれだけなのですが、計算の過程で三角関数の公式や積分を使ったりするので、途中の計算がちょっと大変だったりします。(※積分を使わなくても電力(平均電力)を求めることはできます。詳細はページ下に記載の補足を参照してみてください。)

 

では、電圧の瞬時値 $v\left( t\right)$ と電流の瞬時値 $i\left( t\right)$ から電力(平均電力)$P_{av}$ を計算してみます。

 

負荷が抵抗だけの場合の交流回路の電力(平均電力)の計算

 

交流電源に抵抗だけ接続されている回路

 

抵抗に接続されている正弦波交流電源の電圧の最大値を $V_m$[$\mathrm{V}$]、角周波数を $\omega$[$\mathrm{rad/s}$]、時間を $t$[$\mathrm{s}$]とすると、抵抗にかかる電圧の瞬時値 $v\left( t\right)$[$\mathrm{V}$]は、

 

$v\left( t\right) =V_m\sin\omega t$ [$\mathrm{V}$] …①

 

と表わせます。

 

またこのとき、負荷は抵抗だけ(つまり、電圧と電流に位相差がない)なので、抵抗に流れる電流の最大値を $I_m$[$\mathrm{A}$]とすると抵抗に流れる電流の瞬時値 $i\left( t\right)$[$\mathrm{A}$]は、

 

$i\left( t\right) =I_m\sin\omega t$ [$\mathrm{A}$] …②

 

と表わせます。

 

①は電圧の瞬時値 $v\left( t\right)$、②は電流の瞬時値 $i\left( t\right)$ なので、①と②をかけて電力の瞬時値 $p\left( t\right)$ は、

 

$p\left( t\right) =v\left( t\right)\times i\left( t\right)$ $=V_m\sin\omega t\times I_m\sin\omega t$ $=V_mI_m\sin^2\omega t$

 

$\therefore p\left( t\right) =V_mI_m\sin^2 \omega t$ …③

 

ここで、三角関数の公式(倍角の公式:$\cos 2\alpha =1-2\sin^2\alpha$ より、$\sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos 2\alpha}{2}$ )を使うと③式は、

 

$p\left( t\right) =V_mI_m\sin^2 \omega t$ $=V_mI_m\dfrac{1-\cos 2\omega t}{2}$ $=\dfrac{V_mI_m}{2}\left( 1-\cos 2\omega t\right)$

 

$\therefore p\left( t\right) =\dfrac{V_mI_m}{2}\left( 1-\cos 2\omega t\right)$ [$\mathrm{W}$] …④ ($\Leftarrow$ 電力の瞬時値 $p\left( t\right)$ の式)

 

となり、この④式が電力の瞬時値 $p\left( t\right)$ の式になります。ちなみに、この④式の $p\left( t\right)$ を 瞬時電力 といいます。

 

電力の瞬時値 $p\left( t\right)$ が求められたので、次に、④式を1周期の範囲で積分して平均し、電力(平均電力)$P_{av}$ を求めます。電力(平均電力)$P_{av}$ は、

 

$P_{av}=\dfrac{1}{\frac{T}{2}}\displaystyle\int_0^\frac{T}{2} p\left( t\right)\, dt$ $=\dfrac{1}{\frac{T}{2}}\displaystyle\int_0^\frac{T}{2} \dfrac{V_mI_m}{2}\left( 1-\cos 2\omega t\right)\, dt$ …⑤

 

(※$v\left( t\right)$(または $i\left( t\right)$ )の周期を $T$ とすると、$p\left( t\right)$ の周期は $T/2$ になります。)

 

ここで、$T=\dfrac{1}{f}=\dfrac{2\pi}{\omega}$( $\because \omega =2\pi f$ )より、$\dfrac{T}{2} =\dfrac{\pi}{\omega}$ なので、これを⑤式に代入すると、

 

$P_{av}=\dfrac{1}{\frac{\pi}{\omega}}\displaystyle\int_0^\frac{\pi}{\omega}\dfrac{V_mI_m}{2}\left( 1-\cos 2\omega t\right)\, dt$ …⑥

 

あとは、この⑥式を計算していきます。$\dfrac{V_mI_m}{2}$ は定数なので、積分の外に出します。

 

$P_{av}=\dfrac{1}{\frac{\pi}{\omega}}\cdot\dfrac{V_mI_m}{2}\displaystyle\int_0^\frac{\pi}{\omega}\left( 1-\cos 2\omega t\right)\, dt$

 

$=\dfrac{\omega V_mI_m}{2\pi}\displaystyle\int_0^\frac{\pi}{\omega}\left( 1-\cos 2\omega t\right)\, dt$

 

$=\dfrac{\omega V_mI_m}{2\pi}\left[ t-\dfrac{\sin 2\omega t}{2\omega}\right]_0^\frac{\pi}{\omega}$  ( $\because \displaystyle\int 1\, dt=t+C$、$\displaystyle\int\cos 2\omega t\, dt=\dfrac{\sin 2\omega t}{2\omega} +C$ )

 

$=\dfrac{\omega V_mI_m}{2\pi}\left\{\left(\dfrac{\pi}{\omega} -\dfrac{\sin\left( 2\omega\cdot\dfrac{\pi}{\omega}\right)}{2\omega}\right) -\left( 0-\dfrac{\sin\left( 2\omega\cdot 0\right)}{2\omega}\right)\right\}$

 

$=\dfrac{\omega V_mI_m}{2\pi}\left\{\left(\dfrac{\pi}{\omega} -\dfrac{\sin 2\pi}{2\omega}\right) -\left( -\dfrac{\sin 0}{2\omega}\right)\right\}$

 

$=\dfrac{\omega V_mI_m}{2\pi}\left\{\left(\dfrac{\pi}{\omega} -0\right) -\left( -0\right)\right\}$

 

$=\dfrac{\omega V_mI_m}{2\pi}\cdot\dfrac{\pi}{\omega} =\dfrac{V_mI_m}{2}$

 

$\therefore P_{av}=\dfrac{V_mI_m}{2}$ [$\mathrm{W}$] …⑦ ($\Leftarrow$ 電力(平均電力)$P_{av}$ の式)

 

となります。

 

この⑦式が抵抗だけ接続されている場合の 電力(平均電力)になり、抵抗だけ接続されている場合の電力(平均電力)$P_{av}$ は、電圧の最大値 $V_m$ と電流の最大値 $I_m$ をかけて2で割った値になります。

 

抵抗だけ接続されている場合の電力(平均電力)の式

 

⑦式の電力の式についてもうちょっと考えてみる

ここで、⑦式についてもうちょっと考えてみます。

 

正弦波交流回路では、電圧の実効値を $V_r$、電流の実効値を $I_r$ とすると、

 

電圧の最大値 $V_m=\sqrt{2}\, V_r$ …⑧
電流の最大値 $I_m=\sqrt{2}\, I_r$ …⑨

 

と表わせるのでした。

 

なので、これら⑧と⑨を⑦式に代入してみると、

 

$P_{av}=\dfrac{V_mI_m}{2}=\dfrac{\sqrt{2}\, V_r\times\sqrt{2}\, I_r}{2}$ $=\dfrac{2\, V_rI_r}{2}$ $=V_rI_r$

 

$\therefore P_{av}=V_rI_r$ [$\mathrm{W}$]

 

となり、電圧と電流をかけただけのよく見る電力の式になります。(ただし、この式の電圧と電流は実効値ですよ。)

 

つまり、電圧と電流の最大値で電力を表わすならば、

 

$P_{av}=\dfrac{V_mI_m}{2}$ [$\mathrm{W}$]

 

電圧と電流の実効値で電力を表わすならば、

 

$P_{av}=V_rI_r$ [$\mathrm{W}$]

 

になるよ、ということです。

 

 


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負荷が抵抗だけの場合の交流回路の電力の波形

電圧 $v\left( t\right)$、電流 $i\left( t\right)$、電力 $p\left( t\right)$ の波形を書いてみると、次のようになります。

 

負荷が抵抗だけの場合の電圧、電流、電力の波形

 

電圧と電流の波形

負荷が抵抗だけの回路なので、電圧 $v\left( t\right)$ と電流 $i\left( t\right)$ の波形は、位相のズレがない波形(時間的にズレていない波形)になります。

 

電圧と電流に位相のズレはない

 

電力の波形

電力 $p\left( t\right)$ の波形は電力(平均電力)$P_{av}$ の値 $\dfrac{V_mI_m}{2}$ を中心として最大値が $V_mI_m$、最小値がゼロの正弦波状の波形になり、電力 $p\left( t\right)$ の周波数は電圧 $v\left( t\right)$(または電流 $i\left( t\right)$ )の周波数の2倍になります。

 

負荷が抵抗だけの場合の電力の波形(電力の周波数は電圧(または電流)の周波数の2倍になる)

 

また、波形から分かるように、負荷が抵抗だけの回路の場合、電力の瞬時値 $p\left( t\right)$ は常に正の値になります。

 

負荷が抵抗だけの場合の電力の波形(電力の瞬時値は常に正になる)

 

補足①|電力 $p\left( t\right)$ の周波数は電圧 $v\left( t\right)$ の周波数の2倍になる

電圧の瞬時値 $v\left( t\right)$ の式は、$v\left( t\right) =V_m\sin\omega t$ です。
一方、電力の瞬時値 $p\left( t\right)$ の式は、$p\left( t\right) =\dfrac{V_mI_m}{2}\left( 1-\cos 2\omega t\right)$ です。
2つの式の $\sin$ と $\cos$ の中を見比べてみると、

 

電圧の瞬時値の式と電力の瞬時値の式の比較

 

となっているので、電力 $p\left( t\right)$ の周波数は電圧 $v\left( t\right)$ の周波数の2倍になります。
なお、周波数が2倍になるということは、$T=\dfrac{1}{f}$ の関係から周期は半分(1/2倍)になることになります。

 

補足②|積分を使わないで電力(平均電力)$P_{av}$ を求める方法(その1)

このページでは、電力の瞬時値 $p\left( t\right)$ から電力(平均電力)$P_{av}$ を求めるときに積分を使いましたが、積分を使わなくても電力(平均電力)を求めることができます。
電力の瞬時値 $p\left( t\right)$ の式は、$p\left( t\right) =\dfrac{V_mI_m}{2}\left( 1-\cos 2\omega t\right)$ なので、これを次のように変形(展開)します。
$p\left( t\right) =\dfrac{V_mI_m}{2} -\dfrac{V_mI_m}{2}\cos 2\omega t$ …⑩
すると、⑩式の右辺の第2項は定数 $\dfrac{V_mI_m}{2}$ に $\cos 2\omega t$ をかけたものなので、第2項は平均するとゼロになる式になっています。(第1項は定数なので、平均しても同じ値 $\dfrac{V_mI_m}{2}$ になります。)

 

電力の瞬時値の式の第2項は平均するとゼロになる

 

なので、第2項をゼロとすれば電力(平均電力)$P_{av}$ が求められ、$\therefore P_{av}=\dfrac{V_mI_m}{2}$ となります。

 

電力の瞬時値の式の第1項は定数なのでそのまま残し、第2項は平均するとゼロなのでゼロとする

 

補足③|積分を使わないで電力(平均電力)$P_{av}$ を求める方法(その2)

電力の瞬時値 $p\left( t\right)$ の波形のグラフが書ければ、その波形のグラフから電力(平均電力)$P_{av}$ が分かります。

 

電力の瞬時値の波形のグラフ

 

上の図の矢印のように $p\left( t\right)$ の上側の部分それぞれを左下と右下に移動すると、平均が $\dfrac{V_mI_m}{2}$ になることが分かる。
$\therefore P_{av}=\dfrac{V_mI_m}{2}$

 

交流回路の電力(抵抗だけの回路)のまとめ

電力の瞬時値: $p\left( t\right) =\dfrac{V_mI_m}{2}\left( 1-\cos 2\omega t\right)$ [$\mathrm{W}$]
電力(平均電力): $P_{av}=\dfrac{V_mI_m}{2}$ [$\mathrm{W}$]
電力の瞬時値(瞬時電力)$p\left( t\right)$ の周波数は、電圧 $v\left( t\right)$ の周波数の2倍になる(周期は1/2倍)

 

 


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