交流回路の電力の計算(RL直列回路)

正弦波交流電源に抵抗とコイルが直列に接続されている次のような回路(RL直列回路)において、

 

正弦波交流電源に抵抗とコイルが直列接続されている回路(RL直列回路)

 

この回路の電力(平均電力)$P_{av}$ を、電圧の瞬時値 $v\left( t\right)$ と電流の瞬時値 $i\left( t\right)$ から求めてみます。

 

電力(平均電力)$P_{av}$ を求める計算手順

電圧の瞬時値 $v\left( t\right)$ と電流の瞬時値 $i\left( t\right)$ から電力(平均電力)$P_{av}$ を求めるときのざっくりとした計算手順は、次のようになります。

 

電力(平均電力)を求める計算手順

手順1

電圧の瞬時値と電流の瞬時値をかけて電力の瞬時値を求める

手順2

求めた電力の瞬時値を1周期の範囲で積分して平均する

 

手順はこれだけなのですが、計算の過程で三角関数の公式や積分を使ったりするので途中の計算がちょっと大変だったりします。

 

では、この手順で、電圧の瞬時値 $v\left( t\right)$ と電流の瞬時値 $i\left( t\right)$ から電力(平均電力)$P_{av}$ を計算してみます。

 

RL直列回路の電力(平均電力)の計算

 

RL直列回路

 

RL直列回路に接続されている正弦波交流電源の電圧の最大値を $V_m$[$\mathrm{V}$]、角周波数を $\omega$[$\mathrm{rad/s}$]、時間を $t$[$\mathrm{s}$]とすると、RL直列回路にかかる電圧の瞬時値 $v\left( t\right)$[$\mathrm{V}$]は、

 

$v\left( t\right) =V_m\sin\omega t$ [$\mathrm{V}$] …①

 

と表わせます。

 

またこのとき、負荷は抵抗とコイルが直列に接続されているRL直列回路(つまり、電流の位相は電圧よりも遅れる)なので、電圧と電流の位相差を $\theta$ とし、RL直列回路に流れる電流の最大値を $I_m$[$\mathrm{A}$]とすると、RL直列回路に流れる電流の瞬時値 $i\left( t\right)$[$\mathrm{A}$]は、

 

$i\left( t\right) =I_m\sin\left(\omega t-\theta\right)$ [$\mathrm{A}$] …②

 

と表わせます。

 

①は電圧の瞬時値 $v\left( t\right)$ 、②は電流の瞬時値 $i\left( t\right)$ なので、①と②をかけて電力の瞬時値 $p\left( t\right)$ は、

 

$p\left( t\right) =v\left( t\right)\times i\left( t\right)$ $=V_m\sin\omega t\times I_m\sin\left(\omega t-\theta\right)$ $=V_mI_m\sin\omega t\,\sin\left(\omega t-\theta\right)$

 

$\therefore p\left( t\right) =V_mI_m\sin\omega t\,\sin\left(\omega t-\theta\right)$ …③

 

ここで、三角関数の公式(積和の公式(積を和に変換する公式):$\sin\alpha\sin\beta =\dfrac{\cos\left(\alpha -\beta\right) -\cos\left(\alpha +\beta\right)}{2}$ )を使うと③式は、

 

$p\left( t\right) =V_mI_m\sin\omega t\,\sin\left(\omega t-\theta\right)$

 

$=V_mI_m\dfrac{\cos\left(\omega t-\left(\omega t-\theta\right)\right) -\cos\left(\omega t+\left(\omega t-\theta\right)\right)}{2}$

 

$=\dfrac{V_mI_m}{2}\left\{\cos\left(\omega t-\omega t+\theta\right) -\cos\left(\omega t+\omega t-\theta\right)\right\}$

 

$=\dfrac{V_mI_m}{2}\left\{\cos\theta -\cos\left( 2\omega t-\theta\right)\right\}$

 

$=\dfrac{V_mI_m}{2}\cos\theta -\dfrac{V_mI_m}{2}\cos\left( 2\omega t-\theta\right)$

 

$\therefore p\left( t\right) =\dfrac{V_mI_m}{2}\cos\theta$ $-\dfrac{V_mI_m}{2}\cos\left( 2\omega t-\theta\right)$ [$\mathrm{W}$] …④ ($\Leftarrow$ 電力の瞬時値 $p\left( t\right)$ の式)

 

となり、この④式が電力の瞬時値 $p\left( t\right)$ の式になります。ちなみに、この④式の $p\left( t\right)$ を瞬時電力といいます。

 

電力の瞬時値 $p\left( t\right)$ が求められたので、次に、④式を1周期の範囲で積分して平均し、電力(平均電力)$P_{av}$ を求めます。電力(平均電力)$P_{av}$ は、

 

$P_{av}=\dfrac{1}{\frac{T}{2}}\displaystyle\int_0^\frac{T}{2} p\left( t\right)\, dt$ $=\dfrac{1}{\frac{T}{2}}\displaystyle\int_0^\frac{T}{2}\left\{\dfrac{V_mI_m}{2}\cos\theta -\dfrac{V_mI_m}{2}\cos\left( 2\omega t-\theta\right)\right\}\, dt$

 

$=\dfrac{1}{\frac{T}{2}}\displaystyle\int_0^\frac{T}{2}\dfrac{V_mI_m}{2}\cos\theta\, dt$ $-\dfrac{1}{\frac{T}{2}}\displaystyle\int_0^\frac{T}{2}\dfrac{V_mI_m}{2}\cos\left( 2\omega t-\theta\right)\, dt$ …⑤

 

※$v\left( t\right)$(または $i\left( t\right)$ )の周期を $T$ とすると、$p\left( t\right)$ の周期は $T/2$ になります。

 

ここで、$T=\dfrac{1}{f}=\dfrac{2\pi}{\omega}$( $\because \omega =2\pi f$ )より、$\dfrac{T}{2} =\dfrac{\pi}{\omega}$ なので、これを⑤式に代入すると、

 

$P_{av}=\dfrac{1}{\frac{\pi}{\omega}}\displaystyle\int_0^\frac{\pi}{\omega}\dfrac{V_mI_m}{2}\cos\theta\, dt$ $-\dfrac{1}{\frac{\pi}{\omega}}\displaystyle\int_0^\frac{\pi}{\omega}\dfrac{V_mI_m}{2}\cos\left( 2\omega t-\theta\right)\, dt$ …⑥

 

あとは、この⑥式を計算していきます。$\dfrac{V_mI_m}{2}$ と $\cos\theta$ は定数なので、積分の外に出します。

 

※$\cos\theta$ の「$\theta$」は電圧と電流の位相差で、位相差 $\theta$ は回路により決まる定数なので、その $\theta$ の $\cos$ の値( $\cos\theta$ )も定数になります。

 

$P_{av}=\dfrac{1}{\frac{\pi}{\omega}}\cdot\dfrac{V_mI_m}{2}\cos\theta\displaystyle\int_0^\frac{\pi}{\omega}\, dt$ $-\dfrac{1}{\frac{\pi}{\omega}}\cdot\dfrac{V_mI_m}{2}\displaystyle\int_0^\frac{\pi}{\omega}\cos\left( 2\omega t-\theta\right)\, dt$

 

$=\dfrac{\omega V_mI_m}{2\pi}\cos\theta\displaystyle\int_0^\frac{\pi}{\omega}\, dt$ $-\dfrac{\omega V_mI_m}{2\pi}\displaystyle\int_0^\frac{\pi}{\omega}\cos\left( 2\omega t-\theta\right)\, dt$

 

$=\dfrac{\omega V_mI_m}{2\pi}\cos\theta\cdot\left[ t\right]_0^\frac{\pi}{\omega}$ $-\dfrac{\omega V_mI_m}{2\pi}\left[\dfrac{\sin\left( 2\omega t-\theta\right)}{2\omega}\right]_0^\frac{\pi}{\omega}$

 

( $\because\displaystyle\int\cos\left( 2\omega t-\theta\right)\, dt$ $=\dfrac{\sin\left( 2\omega t-\theta\right)}{2\omega} +C$ )

 

$=\dfrac{\omega V_mI_m}{2\pi}\cos\theta\cdot\left(\dfrac{\pi}{\omega} -0\right)$ $-\dfrac{\omega V_mI_m}{2\pi\cdot 2\omega}\left\{\sin\left( 2\omega\cdot\dfrac{\pi}{\omega} -\theta\right) -\sin\left( 2\omega\cdot 0-\theta\right)\right\}$

 

$=\dfrac{\omega V_mI_m}{2\pi}\cos\theta\cdot\dfrac{\pi}{\omega}$ $-\dfrac{V_mI_m}{4\pi}\left\{\sin\left( 2\pi -\theta\right) -\sin\left( 0-\theta\right)\right\}$

 

$=\dfrac{V_mI_m}{2}\cos\theta$ $-\dfrac{V_mI_m}{4\pi}\left\{\sin\left( 2\pi -\theta\right) -\sin\left( -\theta\right)\right\}$ …⑦

 

ここで、三角関数の定理(加法定理:$\sin\left(\alpha -\beta\right) =\sin\alpha\cos\beta -\cos\alpha\sin\beta$ )を使うと⑦式の $\sin\left( 2\pi -\theta\right)$ は、

 

$\sin\left( 2\pi -\theta\right) =\sin 2\pi\,\cos\theta -\cos 2\pi\,\sin\theta$ $=0\times\cos\theta -1\times\sin\theta$ $=-\sin\theta$

 

となり、また、三角関数の公式より、$\sin\left( -\theta\right) =-\sin\theta$ なので、これらを⑦式に代入すると、

 

$P_{av}=\dfrac{V_mI_m}{2}\cos\theta$ $-\dfrac{V_mI_m}{4\pi}\left\{\sin\left( 2\pi -\theta\right) -\sin\left( -\theta\right)\right\}$

 

$=\dfrac{V_mI_m}{2}\cos\theta$ $-\dfrac{V_mI_m}{4\pi}\left\{ -\sin\theta -\left( -\sin\theta\right)\right\}$

 

$=\dfrac{V_mI_m}{2}\cos\theta -\dfrac{V_mI_m}{4\pi}\left( -\sin\theta +\sin\theta\right)$

 

$=\dfrac{V_mI_m}{2}\cos\theta -\dfrac{V_mI_m}{4\pi}\times 0$ $=\dfrac{V_mI_m}{2}\cos\theta$

 

$\therefore P_{av}=\dfrac{V_mI_m}{2}\cos\theta$ [$\mathrm{W}$] …⑧ ($\Leftarrow$ 電力(平均電力)$P_{av}$ の式)

 

となります。

 

この⑧式がRL直列回路の電力(平均電力)になり、RL直列回路の電力(平均電力)$P_{av}$ は、

 

電圧の最大値 $V_m$ と電流の最大値 $I_m$ をかけて2で割ったものに $\cos\theta$ をかけた値

 

になります。

 

RL直列回路の電力(平均電力)の式

 

ちなみに、$\cos\theta$ は電圧と電流の位相差 $\theta$ の $\cos$ 値なので、$\cos\theta$ はこのRL直列回路の力率です。

 

補足

⑦式の中括弧の中の計算方法

⑦式の中括弧の中( $\sin\left( 2\pi -\theta\right) -\sin\left( -\theta\right)$ )の計算をするのに、ここでは加法定理を使いましたが、三角関数の和積の公式(和(差)を積に変換する公式)を使っても中括弧の中の計算をすることができます。
和積の公式:$\sin A-\sin B$ $=2\cos\left(\dfrac{A+B}{2}\right)\sin\left(\dfrac{A-B}{2}\right)$

 

$\sin\left( 2\pi -\theta\right) -\sin\left( -\theta\right)$ $=2\cos\left(\dfrac{2\pi -\theta -\theta}{2}\right)\sin\left(\dfrac{2\pi -\theta +\theta}{2}\right)$

 

$=2\cos\left(\dfrac{2\pi -2\theta}{2}\right)\sin\left(\dfrac{2\pi}{2}\right)$ $=2\cos\left(\pi -\theta\right)\sin\pi$ $=2\cos\left(\pi -\theta\right)\times 0 =0$

 

$\therefore\sin\left( 2\pi -\theta\right) -\sin\left( -\theta\right)=0$

 

⑧式の電力の式についてもうちょっと考えてみる

ここで、⑧式についてもうちょっと考えてみます。

 

正弦波交流回路では、電圧の実効値を $V_r$ 、電流の実効値を $I_r$ とすると、

 

電圧の最大値 $V_m=\sqrt{2}\, V_r$ …⑨
電流の最大値 $I_m=\sqrt{2}\, I_r$ …⑩

 

と表わせるのでした。

 

なので、これら⑨と⑩を⑧式に代入してみると、

 

$P_{av}=\dfrac{V_mI_m}{2}\cos\theta$ $=\dfrac{\sqrt{2}\, V_r\times\sqrt{2}\, I_r}{2}\cos\theta$ $=\dfrac{2V_rI_r}{2}\cos\theta$ $=V_rI_r\cos\theta$

 

$\therefore P_{av}=V_rI_r\cos\theta$ [$\mathrm{W}$]

 

となり、単相交流回路の電力を求めるときによく使う「電圧と電流と力率をかけた式」になります。(ただし、この式の電圧と電流は実効値ですよ。)

 

つまり、電圧と電流の最大値で電力を表わすならば、

 

$P_{av}=\dfrac{V_mI_m}{2}\cos\theta$ [$\mathrm{W}$]

 

電圧と電流の実効値で電力を表わすならば、

 

$P_{av}=V_rI_r\cos\theta$ [$\mathrm{W}$]

 

になるよ、ということです。

 

電圧と電流の最大値で表わした電力の式と実効値で表わした電力の式(RL直列回路)

 

補足

$\cos\theta =1$ とすれば抵抗だけの場合の電力の式になるよ

このページで求めた電力の式は抵抗とコイルが直列に接続されたRL直列回路の電力の式ですが、RL直列回路の電力の式で力率 $\cos\theta =1$ とすれば抵抗だけの回路の場合の電力の式になります。(抵抗だけの回路の場合、抵抗にかかる電圧と抵抗に流れる電流に位相差がないので( $\theta =0^\circ$ )力率 $\cos\theta$ は必ず「1」になります。)

 

$P_{av}=\dfrac{V_mI_m}{2}\cos\theta$ に $\cos\theta =1$ を代入すると、$P_{av}=\dfrac{V_mI_m}{2}\times 1=\dfrac{V_mI_m}{2}$

 

$\therefore P_{av}=\dfrac{V_mI_m}{2}$ [$\mathrm{W}$] ($\Leftarrow$ 抵抗だけの回路の場合の電力の式)
(電圧と電流を実効値で表わせば、$P_{av}=V_rI_r$[$\mathrm{W}$])

 

 


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RL直列回路の電力の波形

電圧 $v\left( t\right)$ 、電流 $i\left( t\right)$ 、電力 $p\left( t\right)$ の波形を書いてみると、次のようになります。

 

RL直列回路の電圧、電流、電力の波形

 

電圧と電流の波形

RL直列回路の電圧 $v\left( t\right)$ と電流 $i\left( t\right)$ の波形は、電流 $i\left( t\right)$ の位相が電圧 $v\left( t\right)$ よりも $\theta$ 遅れた波形になります。

 

RL直列回路の場合、電流の位相が電圧よりもθ遅れる

 

電力の波形

電力 $p\left( t\right)$ の波形は電力(平均電力)$P_{av}$ の値 $\dfrac{V_mI_m}{2}\cos\theta$ を中心とした次のような波形になり、電力 $p\left( t\right)$ の周波数は電圧 $v\left( t\right)$(または電流 $i\left( t\right)$)の周波数の2倍になります。

 

RL直列回路の場合の電力の波形(電力の周波数は電圧(または電流)の周波数の2倍になる)

 

また、波形を見てみると、電力の瞬時値 $p\left( t\right)$ は、

  • 電圧の瞬時値 $v\left( t\right)$ と電流の瞬時値 $i\left( t\right)$ が異符号(正と負)の範囲では(マイナス)
  • 電圧の瞬時値 $v\left( t\right)$ と電流の瞬時値 $i\left( t\right)$ が同符号(正と正または負と負)の範囲では(プラス)
  • 電圧の瞬時値 $v\left( t\right)$ と電流の瞬時値 $i\left( t\right)$ のどちらかがゼロのところではゼロ

となっているのが分かります。

 

RL直列回路の電力の波形(電力の正負)

 

※電力の瞬時値 $p\left( t\right)$ は、$p\left( t\right) =v\left( t\right)\times i\left( t\right)$ なので、$v\left( t\right)$ と $i\left( t\right)$ が異符号の場合には $p\left( t\right)$ は負、$v\left( t\right)$ と $i\left( t\right)$ が同符号の場合には $p\left( t\right)$ は正になります。

 

RL直列回路の電力の波形(電力がゼロになる点)

 

※電力の瞬時値 $p\left( t\right)$ は、$p\left( t\right) =v\left( t\right)\times i\left( t\right)$ なので、$v\left( t\right)$ と $i\left( t\right)$ のどちらかがゼロの場合には $p\left( t\right)$ もゼロになります。

 

補足

電力 $p\left( t\right)$ の周波数は電圧 $v\left( t\right)$ の周波数の2倍になる

電圧の瞬時値 $v\left( t\right)$ の式は、$v\left( t\right) =V_m\sin\omega t$ です。
一方、電力の瞬時値 $p\left( t\right)$ の式は、$p\left( t\right) =\dfrac{V_mI_m}{2}\cos\theta$ $-\dfrac{V_mI_m}{2}\cos\left( 2\omega t-\theta\right)$ です。
2つの式の $\sin$ と $\cos$ の中を見比べてみると、

 

電圧の瞬時値の式と電力の瞬時値の式の比較(RL直列回路)

 

となっているので、電力 $p\left( t\right)$ の周波数は電圧 $v\left( t\right)$ の周波数の2倍になります。
なお、周波数が2倍になるということは、$T=\dfrac{1}{f}$ の関係から周期は半分(1/2倍)になることになります。

 

交流回路の電力の計算(RL直列回路)のまとめ
  • 電力の瞬時値: $p\left( t\right) =\dfrac{V_mI_m}{2}\cos\theta$ $-\dfrac{V_mI_m}{2}\cos\left( 2\omega t-\theta\right)$ [$\mathrm{W}$]
  • 電力(平均電力): $P_{av}=\dfrac{V_mI_m}{2}\cos\theta$ [$\mathrm{W}$]
  • 電力の瞬時値(瞬時電力)$p\left( t\right)$ の周波数は、電圧 $v\left( t\right)$ の周波数の2倍になる(周期は1/2倍)

 

 

 

他の回路についても電力(平均電力)の計算をしていますので、それぞれ次のページを参考にしてみてください。

 

抵抗だけの回路はこちら ⇒ 交流回路の電力の計算(抵抗だけの回路)
コイルだけの回路はこちら ⇒ 交流回路の電力の計算(コイルだけの回路)
コンデンサだけの回路はこちら ⇒ 交流回路の電力の計算(コンデンサだけの回路)
RC直列回路はこちら ⇒ 交流回路の電力の計算(RC直列回路)

 

 


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