なぜコンデンサに流れる電流の位相は電圧より90°進むのか？

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コンデンサに正弦波交流電圧をかけると、

電流の位相は電圧に対して90°進み位相

になります。コンデンサの場合、なぜ電流が90°進み位相になるのか計算から導出してみます。

次の図のように、正弦波交流電圧 $v \left( t \right)$ にコンデンサ $C$ が接続された回路を考えます。

正弦波交流電圧（電源）とコンデンサの回路図

このとき、回路に流れる電流を $i \left( t \right)$ 、コンデンサの電荷を $q \left( t \right)$ とすると、電流 $i \left( t \right)$ と電荷 $q \left( t \right)$ との関係は次式で与えられます。

$i \left( t \right) = \dfrac{d \, q \left( t \right)}{dt}$　…①

また、電荷 $q \left( t \right)$ とコンデンサにかかる電圧 $v \left( t \right)$ には、

$q \left( t \right) = C \cdot v \left( t \right)$　…②

の関係があるので、②を①式に代入すると、

$i \left( t \right) = \dfrac{d \, C \cdot v \left( t \right)}{dt}$　…③　となります。

ここで、$v \left( t \right) = V_m \sin \omega t$ として、これを③式に代入すると、

コンデンサにかかる電圧v(t)のグラフ

$i \left( t \right) = \dfrac{d \, C \cdot V_m \sin \omega t}{dt}$　…④

となり、この④式を計算すると、コンデンサにかかる電圧を $v \left( t \right) = V_m \sin \omega t$ としたときの電流 $i \left( t \right)$ の式が求められます。

④式の右辺の $C$ 、$V_m$ は定数なので外に出して、

$i \left( t \right) = CV_m \dfrac{d \, \sin \omega t}{dt}$　…⑤

あとは右辺の $\dfrac{d \, \sin \omega t}{dt}$ を計算すればよく、これは $\sin \omega t$ の微分なので、

$\dfrac{d \, \sin \omega t}{dt} = \omega \cos \omega t$　…⑥　となります。

⑥を⑤式に代入すると、$i \left( t \right) = CV_m \cdot \omega \cos \omega t$

$\therefore i \left( t \right) = \omega CV_m \cos \omega t$　…⑦

となり、コンデンサにかかる電圧を $v \left( t \right) = V_m \sin \omega t$ としたときの電流 $i \left( t \right)$ の式が求められました。

⑦式より電流 $i \left( t \right)$ の式が求められたので、電流 $i \left( t \right)$ のグラフを図2のグラフに重ねて書いてみると次のようなグラフになります。

コンデンサの電圧v(t)と電流i(t)のグラフ

図3のグラフをみると分かるように、電流 $i \left( t \right)$ は電圧 $v \left( t \right)$ よりも左に90°$\Big( = \dfrac{\pi}{2}$［$\mathrm{rad}$］$\Big)$ ずれているので、コンデンサの場合、

コンデンサに流れる電流は電圧よりも90°位相が進む

ということになります。

補足

位相の遅れ進みについて

位相の遅れ進みの説明図

時間が進む（ $t$ が大きくなる）方向は右方向なので、電圧 $v \left( t \right)$ よりも左側にずれている電流 $i \left( t \right)$ は時間的に進んでいる（早い）ことになります。

位相については、こちらの交流回路の位相のページを参考にしてみてください。

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