交流回路の合成インピーダンスの計算（RLC直列回路）

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回路の素子が3個（抵抗 $R$ 、コイル $L$ 、コンデンサ $C$ ）直列接続されたRLC直列回路の合成インピーダンスを計算してみます。

抵抗RとコイルLとコンデンサCの直列回路の合成インピーダンス（RLC直列回路）

RLC直列回路の合成インピーダンス

RLC直列回路は、抵抗 $R$ とコイル $L$ とコンデンサ $C$ が直列に接続された回路で、次のような回路になります。

抵抗RとコイルLとコンデンサCが直列接続の回路

直列接続なので、この回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ は、

それぞれのインピーダンスを足すだけ

で求められ、抵抗 $R$ のインピーダンスは $R$［$ \mathrm{\Omega} $］、コイル $L$ のインピーダンスは $j \omega L$［$ \mathrm{\Omega} $］、コンデンサ $C$ のインピーダンスは $\dfrac{1}{j \omega C}$［$ \mathrm{\Omega} $］なので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ は3つのインピーダンスを足して、

$\dot{Z} = R + j \omega L + \dfrac{1}{j \omega C}$　となります。（ $\omega$ は角周波数（ $\omega = 2 \pi f$ ）です。）

この式を虚数単位 $j$ で整理したいので、$\dfrac{1}{j \omega C}$ の分母と分子に $j$ をかけると、

$\dot{Z} = R + j \omega L + \dfrac{j \times 1}{j \times j \omega C}$ $= R + j \omega L + \dfrac{j}{-1 \cdot \omega C}$ $= R + j \omega L - j \dfrac{1}{\omega C}$ $= R + j \left( \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right)$

したがって、RLC直列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ は、

$\therefore \dot{Z} = R + j \left( \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right)$　［$ \mathrm{\Omega} $］　…①

となります。

RLC直列回路の合成インピーダンスの大きさ

RLC直列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ の大きさは、①式の絶対値を求めればいいので、

$\therefore | \dot{Z} | = \sqrt{R^2 + \left( \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right)^2}$　［$ \mathrm{\Omega} $］

となります。

RLC直列回路の合成インピーダンスのベクトル図

RLC直列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトル図を書くときは、①式の（　）の中が正になるか？負になるか？またはゼロになるか？によって合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトルの向きが変わるので、ちょっと注意が必要ですよ。

つまり、$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \gt 0$ のとき、$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \lt 0$ のとき、$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} = 0$ のときで、場合分けして考えなければならないということです。ちょっとめんどくさいですね。

（$\mathrm{A}$）$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \gt 0$ のとき

$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \gt 0$ のときは①式の $j$ にかかる値が正ということになるので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトルは、次のように右上向きになります。

ωL－1/ωC＞0のときのRLC直列回路の合成インピーダンスのベクトル図

ちなみに、$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \gt 0$ というのは $\omega L \gt \dfrac{1}{\omega C}$ ということになるので、物理的な意味は、コイル $L$ のリアクタンスがコンデンサ $C$ のリアクタンスよりも大きい場合ということになります。

（$\mathrm{B}$）$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \lt 0$ のとき

$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \lt 0$ のときは①式の $j$ にかかる値が負ということになるので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトルは、次のように右下向きになります。

ωL－1/ωC＜0のときのRLC直列回路のインピーダンスのベクトル図

ちなみにこの場合は、$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \lt 0$ より $\omega L \lt \dfrac{1}{\omega C}$ ということになるので、物理的な意味は、コイル $L$ のリアクタンスがコンデンサ $C$ のリアクタンスよりも小さい場合ということになります。

（$\mathrm{C}$）$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} = 0$ のとき

$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} = 0$ のときは①式の $j$ にかかる値がゼロになるので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ は抵抗 $R$ だけ（ $\dot{Z} = R$ ）になってしまいます。

ωL－1/ωC＝0のときのRLC直列回路のインピーダンスのベクトル図

この場合は、$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} = 0$ より $\omega L = \dfrac{1}{\omega C}$ ということになるので、物理的な意味は、コイル $L$ のリアクタンスとコンデンサ $C$ のリアクタンスが同じ値の場合ということになります。なので、コイル $L$ のリアクタンスとコンデンサ $C$ のリアクタンスが同じ値のときは、

合成インピーダンスは抵抗Rだけになっちゃいますよ

ということなんですね。

ちなみに、$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} = 0$ すなわち、$\omega = \dfrac{1}{\sqrt{L C}}$ は、回路の共振条件になります。共振については、こちらのRLC直列共振回路のページを参考にしてみてください。

補足

グラフの横軸と縦軸について

グラフの横軸と縦軸に書いてある［$\mathrm{Re}$］と［$\mathrm{Im}$］は、複素平面の実軸と虚軸という意味です。複素平面の実軸には複素数の実部が対応し、虚軸には複素数の虚部が対応します。

グラフ（複素平面）の縦軸と横軸の説明図（実軸と虚軸）

ちなみに、複素平面は、ガウス平面とか複素数平面ともいいます。

以上が素子3個を直列接続したRLC直列回路の合成インピーダンスになります。

抵抗 $R$ とコイル $L$ とコンデンサ $C$ が直列接続されている場合は、コイル $L$ とコンデンサ $C$ のリアクタンスの大きさで合成インピーダンスのベクトルの向きが変わること（右上向きか？右下向きか？右向きか？）をおぼえておきましょう。

それから、$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} = 0$ $\left( \omega L = \dfrac{1}{\omega C} \right)$ のときのRLC直列回路の合成インピーダンスは、抵抗 $R$ だけになることもおぼえておきましょう。これってものすご～く大事ですよ！

他の回路についてもインピーダンスの計算をしていますので、それぞれ次のページを参考にしてみてください。
R、L、Cのインピーダンスはこちら
⇒　交流回路のインピーダンスの計算（素子が1個の場合）
RL直列回路、RC直列回路、LC直列回路の合成インピーダンスはこちら
⇒　交流回路の合成インピーダンスの計算（素子が2個直列接続の場合）
RL並列回路、RC並列回路、LC並列回路の合成インピーダンスはこちら
⇒　交流回路の合成インピーダンスの計算（素子が2個並列接続の場合）
RLC並列回路の合成インピーダンスはこちら
⇒　交流回路の合成インピーダンスの計算（RLC並列回路）

RLC直列回路の電圧と電流の計算とベクトル図については、こちらの交流回路の電圧と電流の計算とベクトル図（RLC直列回路）のページを参考にしてみてください。

RLC直列共振回路については、こちらのRLC直列共振回路のページを参考にしてみてください。

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