交流回路の合成インピーダンスの計算（素子が2個並列接続の場合）

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回路の素子（抵抗 $R$ 、コイル $L$ 、コンデンサ $C$ ）が2個並列接続されている場合の合成インピーダンスを計算してみます。

抵抗RとコイルLの並列回路の合成インピーダンス（RL並列回路）

RL並列回路の合成インピーダンス

RL並列回路は、抵抗 $R$ とコイル $L$ が並列に接続された回路で、次のような回路になります。

抵抗RとコイルLが並列接続の回路

並列接続なので、この回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ は、

それぞれのインピーダンスの逆数※を足して、それの逆数をとれば

求められます。

インピーダンスの逆数をアドミタンスといいます。

この計算方法って、並列接続された抵抗の合成抵抗を求めるときと同じやり方なんですよね。（合成抵抗の場合、抵抗の逆数を足して、それを逆数にする。みたいな。）

ちょっと話はそれますが、次のように2つの抵抗が並列に接続された回路があるとします。

抵抗が2つ並列接続された回路

すると、この回路の合成抵抗 $R$ って、次のように求めますよね？

$\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}$　…①　　$\dfrac{1}{R} = \dfrac{R_2 + R_1}{R_1 R_2}$

分母と分子をひっくり返して、　$\therefore R = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$　（←合成抵抗が求められた）

このやり方と同じようにすると、並列接続の回路の合成インピーダンスを求めることができます。

なので、RL並列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ は、①式と同じような次の式で与えられます。（ $\omega$ は角周波数（ $\omega = 2 \pi f$ ）です。）

RL並列回路の合成インピーダンスを与える式

あとはこの式を整理して、$\dot{Z} = \cdots$ にすれば合成インピーダンスを求めることができます。

$\dfrac{1}{\dot{Z}} = \dfrac{j \omega L + R}{R \cdot j \omega L} = \dfrac{R + j \omega L}{j \omega R L}$

分母と分子をひっくり返して、　$\dot{Z} = \dfrac{j \omega R L}{R + j \omega L}$

この式を虚数単位 $j$ で整理したいので、分母と分子に $\left( R - j \omega L \right)$ をかけると、

$\dot{Z} = \dfrac{j \omega R L \left( R - j \omega L \right)}{\left( R + j \omega L \right) \left( R - j \omega L \right)}$ $= \dfrac{j \omega R^2 L - j \omega R L \cdot j \omega L}{R^2 - j \omega R L + j \omega R L - \left( j \omega L \right)^2}$ $= \dfrac{j \omega R^2 L - j^2 \omega^2 R L^2}{R^2 - \left( j \omega L \right)^2}$

$= \dfrac{j \omega R^2 L + \omega^2 R L^2}{R^2 - j^2 \omega^2 L^2}$ $= \dfrac{\omega^2 R L^2 + j \omega R^2 L}{R^2 + \omega^2 L^2}$ $= \dfrac{\omega^2 R L^2}{R^2 + \omega^2 L^2} + j \dfrac{\omega R^2 L}{R^2 + \omega^2 L^2}$

したがって、RL並列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ は、

$\therefore \dot{Z} = \dfrac{\omega^2 R L^2}{R^2 + \omega^2 L^2} + j \dfrac{\omega R^2 L}{R^2 + \omega^2 L^2}$　［$ \mathrm{\Omega} $］　…②

となります。ちょっとややこしい式になりましたね。

RL並列回路の合成インピーダンスの大きさ

RL並列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ の大きさは、②式の絶対値を求めればいいので、

$| \dot{Z} |$ $= \sqrt{\left( \dfrac{\omega^2 R L^2}{R^2 + \omega^2 L^2} \right)^2 + \left( \dfrac{\omega R^2 L}{R^2 + \omega^2 L^2} \right)^2}$ $= \sqrt{\dfrac{\omega^4 R^2 L^4 + \omega^2 R^4 L^2}{\left( R^2 + \omega^2 L^2 \right)^2}}$

$= \sqrt{\dfrac{\omega^2 R^2 L^2 \left( \omega^2 L^2 + R^2 \right)}{\left( R^2 + \omega^2 L^2 \right)^2}}$ $= \sqrt{\dfrac{\omega^2 R^2 L^2}{R^2 + \omega^2 L^2}}$ $= \dfrac{\omega R L}{\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}}$

$\therefore| \dot{Z} | = \dfrac{\omega R L}{\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}}$　［$ \mathrm{\Omega} $］

となります。

RL並列回路の合成インピーダンスのベクトル図

RL並列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトル図は、合成インピーダンスが $\dot{Z} = \dfrac{\omega^2 R L^2}{R^2 + \omega^2 L^2} + j \dfrac{\omega R^2 L}{R^2 + \omega^2 L^2}$ なので、次のようになります。

抵抗RとコイルLが並列接続の回路のインピーダンスのベクトル図

$\omega \gt 0$ 、$R \gt 0$ 、$L \gt 0$ なので、$\dot{Z}$ の実部 $= \dfrac{\omega^2 R L^2}{R^2 + \omega^2 L^2} \gt 0$ 、$\dot{Z}$ の虚部 $= \dfrac{\omega R^2 L}{R^2 + \omega^2 L^2} \gt 0$ となり、合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトル（上図の赤色のベクトル）の向きは必ず右上向きになります。

RL並列回路の合成インピーダンスのベクトルの範囲

補足

グラフの横軸と縦軸について

グラフの横軸と縦軸に書いてある［$\mathrm{Re}$］と［$\mathrm{Im}$］は、複素平面の実軸と虚軸という意味です。複素平面の実軸には複素数の実部が対応し、虚軸には複素数の虚部が対応します。

グラフ（複素平面）の縦軸と横軸の説明図（実軸と虚軸）

ちなみに、複素平面は、ガウス平面とか複素数平面ともいいます。

補足

和分の積で合成インピーダンス？

並列接続された2つの抵抗の合成抵抗を求めるときに、よく和分の積の公式が使われますが、RL並列回路の合成インピーダンスを求めるときも同じように和分の積を使うことができます。（素子が3つ以上のときは和分の積しちゃダメですよ！）
抵抗 $R$ とコイル $L$ のインピーダンスをそれぞれ $R$［$ \mathrm{\Omega} $］、$j \omega L$［$ \mathrm{\Omega} $］とし、この2つで和分の積してみると、

$\dfrac{R \times j \omega L}{R + j \omega L}$ $= \dfrac{j \omega R L \left( R - j \omega L \right)}{\left( R + j \omega L \right) \left( R - j \omega L \right)}$ $= \dfrac{j \omega R^2 L + \omega^2 R L^2}{R^2 + \omega^2 L^2}$ $= \dfrac{\omega^2 R L^2}{R^2 + \omega^2 L^2} + j \dfrac{\omega R^2 L}{R^2 + \omega^2 L^2}$

$\therefore \dfrac{R \times j \omega L}{R + j \omega L}$ $= \dfrac{\omega^2 R L^2}{R^2 + \omega^2 L^2} + j \dfrac{\omega R^2 L}{R^2 + \omega^2 L^2}$　…③

となります。ね？　②と③は等しくなっていますよね。

抵抗RとコンデンサCの並列回路の合成インピーダンス（RC並列回路）

RC並列回路の合成インピーダンス

RC並列回路は、抵抗 $R$ とコンデンサ $C$ が並列に接続された回路で、次のような回路になります。

抵抗RとコンデンサCが並列接続の回路

並列接続なので、この回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ も、

それぞれのインピーダンスの逆数※を足して、それの逆数をとれば

求められます。

インピーダンスの逆数をアドミタンスといいます。

したがって、抵抗 $R$ のインピーダンスの逆数は $\dfrac{1}{R}$ 、コンデンサ $C$ のインピーダンスの逆数は $j \omega C$ なので、RC並列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ は次の式で与えられます。

$\dfrac{1}{\dot{Z}} = \dfrac{1}{R} + j \omega C$

あとはこの式を整理して、$\dot{Z} = \cdots$ にすれば合成インピーダンスを求めることができます。

$\dfrac{1}{\dot{Z}} = \dfrac{1}{R} + j \omega C = \dfrac{1 + j \omega R C}{R}$

分母と分子をひっくり返して、　$\dot{Z} = \dfrac{R}{1 + j \omega R C}$

この式を虚数単位 $j$ で整理したいので、分母と分子に $\left( 1 - j \omega R C \right)$ をかけると、

$\dot{Z} = \dfrac{R \left( 1 - j \omega R C \right)}{\left( 1 + j \omega R C \right) \left( 1 - j \omega R C \right)}$ $= \dfrac{R - j \omega R^2 C}{1 - j \omega R C + j \omega R C - \left( j \omega R C \right)^2}$

$= \dfrac{R - j \omega R^2 C}{1 - j^2 \omega^2 R^2 C^2}$ $= \dfrac{R - j \omega R^2 C}{1 + \omega^2 R^2 C^2}$ $= \dfrac{R}{1 + \omega^2 R^2 C^2} - j \dfrac{\omega R^2 C}{1 + \omega^2 R^2 C^2}$

したがって、RC並列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ は、

$\therefore \dot{Z} = \dfrac{R}{1 + \omega^2 R^2 C^2} - j \dfrac{\omega R^2 C}{1 + \omega^2 R^2 C^2}$　［$ \mathrm{\Omega} $］　…④

となります。

RC並列回路の合成インピーダンスの大きさ

RC並列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ の大きさは、④式の絶対値を求めればいいので、

$| \dot{Z} |$ $= \sqrt{\left( \dfrac{R}{1 + \omega^2 R^2 C^2} \right)^2 + \left( \dfrac{\omega R^2 C}{1 + \omega^2 R^2 C^2} \right)^2}$ $= \sqrt{\dfrac{R^2 + \omega^2 R^4 C^2}{\left( 1 + \omega^2 R^2 C^2 \right)^2}}$

$= \sqrt{\dfrac{R^2 \left( 1 + \omega^2 R^2 C^2 \right)}{\left( 1+ \omega^2 R^2 C^2 \right)^2}}$ $= \sqrt{\dfrac{R^2}{1 + \omega^2 R^2 C^2}}$ $= \dfrac{R}{\sqrt{1 + \omega^2 R^2 C^2}}$

$\therefore | \dot{Z} | = \dfrac{R}{\sqrt{1 + \omega^2 R^2 C^2}}$　［$ \mathrm{\Omega} $］

となります。

RC並列回路の合成インピーダンスのベクトル図

RC並列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトル図は、合成インピーダンスが $\dot{Z} = \dfrac{R}{1 + \omega^2 R^2 C^2} - j \dfrac{\omega R^2 C}{1 + \omega^2 R^2 C^2}$ なので、次のようになります。

抵抗RとコンデンサCが並列接続の回路の合成インピーダンスのベクトル図

$\omega \gt 0$ 、$R \gt 0$ 、$C \gt 0$ なので、$\dot{Z}$ の実部 $= \dfrac{R}{1 + \omega^2 R^2 C^2} \gt 0$ 、$\dot{Z}$ の虚部 $= -\dfrac{\omega R^2 C}{1 + \omega^2 R^2 C^2} \lt 0$ となり、合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトル（上図の赤色のベクトル）の向きは必ず右下向きになります。

RC並列回路の合成インピーダンスのベクトルの範囲

コイルLとコンデンサCの並列回路の合成インピーダンス（LC並列回路）

LC並列回路の合成インピーダンス

LC並列回路は、コイル $L$ とコンデンサ $C$ が並列に接続された回路で、次のような回路になります。

コイルLとコンデンサCが並列接続の回路

並列接続なので、この回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ も、

それぞれのインピーダンスの逆数※を足して、それの逆数をとれば

求められます。

インピーダンスの逆数をアドミタンスといいます。

したがって、コイル $L$ のインピーダンスの逆数は $\dfrac{1}{j \omega L}$ 、コンデンサ $C$ のインピーダンスの逆数は $j \omega C$ なので、LC並列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ は次の式で与えられます。

$\dfrac{1}{\dot{Z}} = \dfrac{1}{j \omega L} + j \omega C$

あとはこの式を整理して、$\dot{Z} = \cdots$ にすれば合成インピーダンスを求めることができます。

$\dfrac{1}{\dot{Z}} = \dfrac{1}{j \omega L} + j \omega C$ $= \dfrac{1 + j \omega C \cdot j \omega L}{j \omega L}$ $= \dfrac{1 + j^2 \omega^2 L C}{j \omega L}$ $= \dfrac{1 - \omega^2 L C}{j \omega L}$

分母と分子をひっくり返して、　$\dot{Z} = \dfrac{j \omega L}{1 - \omega^2 L C} = j \dfrac{\omega L}{1 - \omega^2 L C}$

したがって、LC並列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ は、

$\therefore \dot{Z} = j \dfrac{\omega L}{1 - \omega^2 L C}$　［$ \mathrm{\Omega} $］　…⑤

となります。

LC並列回路の合成インピーダンスの大きさ

LC並列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ の大きさは、⑤式の絶対値を求めればいいので、

$| \dot{Z} | = \sqrt{\left( \dfrac{\omega L}{1 - \omega^2 L C} \right)^2}$ $= \left| \dfrac{\omega L}{1 - \omega^2 L C} \right|$

$\therefore | \dot{Z} | = \left| \dfrac{\omega L}{1 - \omega^2 L C} \right|$　［$ \mathrm{\Omega} $］

となります。

LC並列回路の合成インピーダンスのベクトル図

LC並列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトル図を書くときは、⑤式の分母が正になるか？負になるか？またはゼロになるか？によって合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトルの向きが変わるので、ちょっと注意が必要ですよ。（$\omega \gt 0$ 、$L \gt 0$ なので、分子の $\omega L$ は常に正になるので分子については考えなくていいです。）

つまり、$1 - \omega^2 L C \gt 0$ のとき、$1 - \omega^2 L C \lt 0$ のとき、$1 - \omega^2 L C = 0$ のときで、場合分けして考えなければならないということです。ちょっとめんどくさいですね。

（$\mathrm{A}$）$1 - \omega^2 L C \gt 0$ のとき

$1 - \omega^2 L C \gt 0$ のときは⑤式の $j$ にかかる値が正ということになるので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトルは、次のように上向きになります。

1－ω2LC＞0 のときのLC並列回路の合成インピーダンスのベクトル図

（$\mathrm{B}$）$1 - \omega^2 L C \lt 0$ のとき

$1 - \omega^2 L C \lt 0$ のときは⑤式の $j$ にかかる値が負ということになるので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトルは、次のように下向きになります。

1－ω2LC＜0 のときのLC並列回路の合成インピーダンスのベクトル図

（$\mathrm{C}$）$1 - \omega^2 L C = 0$ のとき

$1 - \omega^2 L C = 0$ のときは⑤式の $j$ にかかる値が無限大になるので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ は無限大になってしまいます。（ある値をゼロで割ると無限大になります。）

1－ω2LC＝0 のときのLC並列回路の合成インピーダンスのベクトル図

インピーダンスが無限大ということは、その回路は開放状態と同じになります。

ちなみに、$1 - \omega^2 L C = 0$ すなわち、$\omega = \dfrac{1}{\sqrt{L C}}$ は、回路の共振条件になります。共振については、こちらのRLC並列共振回路のページを参考にしてみてください。

以上が素子2個を並列接続した場合の合成インピーダンスになります。

他の回路についてもインピーダンスの計算をしていますので、それぞれ次のページを参考にしてみてください。
R、L、Cのインピーダンスはこちら
⇒　交流回路のインピーダンスの計算（素子が1個の場合）
RL直列回路、RC直列回路、LC直列回路の合成インピーダンスはこちら
⇒　交流回路の合成インピーダンスの計算（素子が2個直列接続の場合）
RLC直列回路の合成インピーダンスはこちら
⇒　交流回路の合成インピーダンスの計算（RLC直列回路）
RLC並列回路の合成インピーダンスはこちら
⇒　交流回路の合成インピーダンスの計算（RLC並列回路）

RL並列回路の電圧と電流の計算とベクトル図についてはこちら
⇒　交流回路の電圧と電流の計算とベクトル図（RL並列回路）
RC並列回路の電圧と電流の計算とベクトル図についてはこちら
⇒　交流回路の電圧と電流の計算とベクトル図（RC並列回路）
LC並列回路の電圧と電流の計算とベクトル図についてはこちら
⇒　交流回路の電圧と電流の計算とベクトル図（LC並列回路）
を参考にしてみてください。

抵抗の合成抵抗については、こちらの合成抵抗の求め方（計算方法）のページを参考にしてみてください。

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交流回路の合成インピーダンスの計算（素子が2個並列接続の場合）　関連ページ

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RL直列回路の電圧と電流の計算（電源の電圧を基準にした場合）: RL直列回路の回路に流れる電流と各素子にかかる電圧を電源の電圧を基準にして計算していますので、RL直列回路の電圧と電流の計算方法の参考にしてみてください。
RC直列回路の電圧と電流の計算（電源の電圧を基準にした場合）: RC直列回路の回路に流れる電流と各素子にかかる電圧を電源の電圧を基準にして計算していますので、RC直列回路の電圧と電流の計算方法の参考にしてみてください。
RLC直列回路の電圧と電流の計算（電源の電圧を基準にした場合）: RLC直列回路の回路に流れる電流と各素子にかかる電圧を電源の電圧を基準にして計算していますので、RLC直列回路の電圧と電流の計算方法の参考にしてみてください。
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交流回路の電力の計算（コンデンサだけの回路）: 負荷がコンデンサだけの場合の交流回路の電力（瞬時電力、平均電力）の計算方法（求め方）、電力の波形などについて解説しています。
交流回路の電力の計算（RL直列回路）: RL直列回路の電力（瞬時電力、平均電力）の計算方法（求め方）、電力の波形などについて解説しています。
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半波整流波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法: 半波整流波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法、求め方について解説しています。波形の特性を表わす値として実効値、平均値、最大値、波形率、波高率などがありますが、これらは大事な値ですので、求め方、計算方法をおぼえておきましょう。
方形波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法: 方形波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法、求め方について解説しています。方形波波形の場合、実効値と平均値と最大値が同じ値、波形率と波高率が同じ値になります。ちなみに、方形波と矩形波は同じです。
のこぎり波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法: のこぎり波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法、求め方について解説しています。のこぎり波波形の実効値と平均値を求めるためには、のこぎり波波形の式から考えないといけないので、他の波形よりも計算がちょっと大変です。
三相電力の公式はなぜ√3倍なのか？（三相電力の公式の導出）: 三相電力の公式はP＝√3VIcosφで表わされますが、なぜ√3倍になるのか？スター結線の場合とデルタ結線の場合それぞれについて、三相電力の公式を導出してみました。この三相電力の公式は電験三種の「理論」「電力」科目の問題を解くときに度々使われる基本的な公式ですのでおぼえておくようにしましょう。
スター結線（Y結線）の線間電圧はなぜ相電圧の√3倍になるのか？: スター結線（Y結線）されている三相交流回路の線間電圧は相電圧の√3倍になりますが、なぜ√3倍になるのか？スター結線のときの線間電圧と相電圧のベクトル図を求め、求めたベクトル図から√3倍になる理由について解説しています。
デルタスター変換（Δ→Y変換）: デルタスター変換（Δ→Y変換）について解説しています。デルタ結線（Δ結線）を等価なスター結線（Y結線）に変換するのをデルタスター変換（Δ→Y変換）といいます。デルタスター変換の式の導出方法についても解説していますので参考にしてみてください。
スターデルタ変換（Y→Δ変換）: スターデルタ変換（Y→Δ変換）について解説しています。スター結線（Y結線）を等価なデルタ結線（Δ結線）に変換するのをスターデルタ変換（Y→Δ変換）といいます。スターデルタ変換の式の導出方法についても解説していますので参考にしてみてください。
交流回路のテブナンの定理: 交流回路のテブナンの定理（鳳-テブナンの定理）について解説しています。テブナンの定理を使った交流回路の計算方法や、交流回路のテブナンの定理の証明についても解説していますので参考にしてみてください。

交流回路｜合成インピーダンスの計算（素子が2個並列接続の場合）