全波整流波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法

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全波整流波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率を求めてみます。

全波整流波形は図1のような波形になるので、

全波整流波形のグラフ

この波形を与える式を

$v\left( t\right) =|V_m\sin\omega t|$

とし、波形の周期を $T$ として、実効値から順番に計算して求めてみます。

全波整流波形の実効値の計算

実効値 $V_{rms}$ は定義式より、

$V_{rms}=\sqrt{\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T v\left( t\right)^2\, dt}$

で求められます。

この式に全波整流波形の式を代入すると、

$V_{rms}=\sqrt{\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T |V_m\sin\omega t|^2\, dt}$　…①

となり、この式を解けば全波整流波形の実効値を求められます。

ここで①式をみると、積分の中の絶対値は2乗されているので、そのまま絶対値を外せます。すると①式は、

$V_{rms}=\sqrt{\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T\left( V_m\sin\omega t\right)^2\, dt}$　となります。

あとはふつうに計算していけばいいです。

$V_{rms}=\sqrt{\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T {V_m}^2\sin^2\omega t\, dt}$

${V_m}^2$ は定数なので、積分の外に出します。

$V_{rms}=\sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{T}\displaystyle\int_0^T\sin^2\omega t\, dt}$　…②

三角関数の倍角の公式より、$\sin^2\omega t=\dfrac{1-\cos 2\omega t}{2}$ なので、これを②式に代入します。

$V_{rms}=\sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{T}\displaystyle\int_0^T\dfrac{1-\cos 2\omega t}{2}\, dt}$ $=\sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{2T}\displaystyle\int_0^T\left( 1-\cos 2\omega t\right)\, dt}$ $=\sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{2T}\left[ t-\dfrac{\sin 2\omega t}{2\omega}\right]_0^T}$

$=\sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{2T}\left\{\left( T-\dfrac{\sin 2\omega T}{2\omega}\right) -\left( 0-\dfrac{\sin\left( 2\omega\cdot 0\right)}{2\omega}\right)\right\}}$

$=\sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{2T}\left( T-\dfrac{\sin 2\omega T}{2\omega}\right)}$　　（ $\because\sin\left( 2\omega\cdot 0\right)=\sin 0=0$ ）

ここで、$\omega T=2\pi$ なので、（ $\because\omega =2\pi f$ 、$\omega =2\pi\cdot\dfrac{1}{T}$　$\therefore\omega T=2\pi$ ）

$V_{rms}=\sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{2T}\left( T-\dfrac{\sin\left( 2\cdot 2\pi\right)}{2\omega}\right)}$ $=\sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{2T}\left( T-\dfrac{\sin 4\pi}{2\omega}\right)}$

また、$\sin 4\pi =0$ なので、

$V_{rms}=\sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{2T}\left( T-0\right)}$ $=\sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{2T}\cdot T}$ $=\sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{2}}$ $=\dfrac{V_m}{\sqrt{2}}$

$\therefore V_{rms}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} V_m$

全波整流波形の実効値は、正弦波波形の実効値と同じになります。

全波整流波形の平均値の計算

平均値 $V_{av}$ は定義式より、

$V_{av}=\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T |\, v\left( t\right) |\, dt$

で求められます。

この式に全波整流波形の式を代入すると、

$V_{av}=\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T |V_m\sin\omega t|\, dt$　…③

この③式は、正弦波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法のページで正弦波波形の平均値を計算したときの式と同じ式になるのですが、せっかくなのでここでは、正弦波波形の平均値を計算したときとは違う求め方で計算してみます。

正弦波波形の平均値を求めたときは、「$0\sim T$ の範囲で計算しても $0\sim\dfrac{T}{2}$ の範囲で計算しても、平均値は同じになる」という考え方で解きました。

ここでは、「絶対値の中を場合分けして絶対値を外す計算方法」で解いてみようと思います。

まず、絶対値の中は、$v\left( t\right) =V_m\sin\omega t$ ですね。これをグラフで描くと次のようになります。（ただの正弦波です。）

v(t)＝Vmsinωtのグラフ

図2をみると分かるように、この正弦波波形の周期は $T$ なので、このグラフは $0\sim\dfrac{T}{2}$ の範囲ではプラス、$\dfrac{T}{2}\sim T$ の範囲ではマイナスになっています。

絶対値を外すためには、グラフがマイナスになる範囲にはマイナスをかければいいので、③式は次のように書けます。（グラフがプラスになっている範囲はそのままでいいですよ。）

$V_{av}=\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T |V_m\sin\omega t|\, dt$ $=\dfrac{1}{T}\left\{\displaystyle\int_0^\frac{T}{2} V_m\sin\omega t\, dt+\displaystyle\int_\frac{T}{2}^T\left( -V_m\sin\omega t\right)\, dt\right\}$

絶対値を外せたので、あとはこれを計算していけばいいです。$V_m$ は定数なので、積分の外に出してしまいますよ。

$V_{av}=\dfrac{1}{T}\left\{ V_m\displaystyle\int_0^\frac{T}{2}\sin\omega t\, dt-V_m\displaystyle\int_\frac{T}{2}^T\sin\omega t\, dt\right\}$ $=\dfrac{V_m}{T}\left\{ \displaystyle\int_0^\frac{T}{2}\sin\omega t\, dt-\displaystyle\int_\frac{T}{2}^T\sin\omega t\, dt\right\}$

$=\dfrac{V_m}{T}\left\{\left[\dfrac{-\cos\omega t}{\omega}\right]_0^\frac{T}{2} -\left[\dfrac{-\cos\omega t}{\omega}\right]_\frac{T}{2}^T\right\}$ $=\dfrac{V_m}{T}\left\{ -\left[\dfrac{\cos\omega t}{\omega}\right]_0^\frac{T}{2} +\left[\dfrac{\cos\omega t}{\omega}\right]_\frac{T}{2}^T\right\}$

$=\dfrac{V_m}{T}\left\{ -\left(\dfrac{\cos\left(\omega\cdot\dfrac{T}{2}\right)}{\omega} -\dfrac{\cos\left(\omega\cdot 0\right)}{\omega}\right) +\left(\dfrac{\cos\left(\omega\cdot T\right)}{\omega} -\dfrac{\cos\left(\omega\cdot\dfrac{T}{2}\right)}{\omega}\right)\right\}$

ここで、$\omega T=2\pi$ 、$\dfrac{\omega T}{2} =\pi$ なので、これらを代入すると、

$V_{av}=\dfrac{V_m}{T}\left\{ -\left(\dfrac{\cos\pi}{\omega} -\dfrac{\cos 0}{\omega}\right) +\left(\dfrac{\cos 2\pi}{\omega} -\dfrac{\cos\pi}{\omega}\right)\right\}$

また、$\cos 0=1$、$\cos\pi =-1$、$\cos 2\pi =1$ なので、これらを代入すると、

$V_{av}=\dfrac{V_m}{T}\left\{ -\left(\dfrac{-1}{\omega} -\dfrac{1}{\omega}\right) +\left(\dfrac{1}{\omega} -\dfrac{-1}{\omega}\right)\right\}$ $=\dfrac{V_m}{T}\left\{ -\left(\dfrac{-2}{\omega}\right) +\left(\dfrac{2}{\omega}\right)\right\}$ $=\dfrac{V_m}{T}\left\{\dfrac{4}{\omega}\right\}$ $=\dfrac{4V_m}{\omega T}$

またまたここで、$\omega T=2\pi$ を代入すると、

$V_{av}=\dfrac{4V_m}{\omega T} =\dfrac{4V_m}{2\pi} =\dfrac{2}{\pi} V_m$

$\therefore V_{av}=\dfrac{2}{\pi} V_m$

全波整流波形の平均値は、正弦波波形の平均値と同じになります。

全波整流波形の最大値の計算

全波整流波形の式を $v\left( t\right) =|V_m\sin\omega t|$ で与えているので、最大値は $V_m$ になります。

計算する必要はないですね。

図3 全波整流波形の最大値

$\therefore$ 全波整流波形の最大値 $=V_m$

全波整流波形の波形率の計算

波形率は定義式に入れるだけですね。

波形率の定義式は、

波形率 $=\dfrac{\text{実効値}}{\text{平均値}}$

なので、これに求めた実効値と平均値を代入します。

波形率 $=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}} V_m}{\dfrac{2}{\pi} V_m} =\dfrac{1}{\sqrt{2}}\times\dfrac{\pi}{2}$ $=\dfrac{\pi}{2\sqrt{2}}$

$\therefore$ 波形率 $=\dfrac{\pi}{2\sqrt{2}}$

波形率についても正弦波波形の値と同じになります。（実効値と平均値の値が同じなので、そりゃそうですよね。）

全波整流波形の波高率の計算

波高率についても定義式に入れるだけですね。

波高率の定義式は、

波高率 $=\dfrac{\text{最大値}}{\text{実効値}}$

なので、これに求めた実効値と最大値を代入するだけでいいです。

波高率 $=\dfrac{V_m}{\dfrac{1}{\sqrt{2}} V_m} =\dfrac{1}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}} =\sqrt{2}$

$\therefore$ 波高率 $=\sqrt{2}$

波高率も正弦波波形の値と同じになります。

全波整流波形についてまとめると

以上より、全波整流波形について、実効値、平均値、最大値、波形率、波高率をまとめると次のようになります。

全波整流波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率
全波整流波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率
実効値	$\dfrac{1}{\sqrt{2}} V_m$
平均値	$\dfrac{2}{\pi} V_m$
最大値	$V_m$
波形率	$\dfrac{\pi}{2\sqrt{2}}$
波高率	$\sqrt{2}$

波形率と波高率は定義式に代入するだけ、最大値はグラフからそのまま求めるだけなので簡単ですが、実効値と平均値は積分の計算をしないといけないので、ちょっと大変ですね。

他の波形についても実効値、平均値、最大値、波形率、波高率を計算していますので参考にしてみてください。
正弦波波形はこちら　　半波整流波形はこちら
 方形波波形はこちら　　のこぎり波波形はこちら

波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の求め方の基本については、こちらの波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法のページを参考にしてみてください。

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