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交流回路の電圧と電流の計算とベクトル図(コイルだけの回路)

電圧 $\dot{V}$[$\mathrm{V}$]の正弦波交流電源に、インダクタンス $L$[$\mathrm{H}$]のコイルが接続されている次のような交流回路があるとします。

 

コイルだけ接続されている交流回路

 

この交流回路において、正弦波交流電源の電圧を $\dot{V} =V$( $\dot{V} =V+j\, 0$ )[$\mathrm{V}$]、角周波数を $\omega$[$\mathrm{rad/s}$]として、この回路の回路に流れる電流( $I$[$\mathrm{A}$])とコイルにかかる電圧( $V_L$[$\mathrm{V}$])を計算して求めてみます。

 

コイルだけ接続されている交流回路の各電圧と電流

 

 

コイルだけ接続されている交流回路に流れる電流

初めに、回路に流れる電流 $I$(回路に流れる電流 $\dot{I}$ の大きさ)を求めてみます。

 

コイルだけ接続されている交流回路の電流I

 

この回路は交流電源にコイルだけ接続されている回路なので、回路のインピーダンス $\dot{Z}$[$\Omega$]は、

 

$\dot{Z} =j\omega L$

 

となります。なので、この回路の電圧 $\dot{V}$ と電流 $\dot{I}$ の関係は次のように表わせます。

 

$\dot{V} =j\omega L\dot{I}$ …①

 

この①式より電流 $\dot{I}$ を求めると、

 

$\dot{I} =\dfrac{\dot{V}}{j\omega L}$

 

$=\dfrac{V}{j\omega L}$ ( $\dot{V} =V$ としているので $\dot{V}$ を $V$ とした)

 

$=-\dfrac{jV}{\omega L}$ ( 分母と分子に $j$ をかけた)

 

$\therefore\dot{I} =-j\dfrac{V}{\omega L}$ …② ( 電流 $\dot{I}$ )

 

となります。この電流 $\dot{I}$ の大きさが電流 $I$ になるので、電流 $I$ は、

 

$I=|\dot{I} |$ ( $\dot{I}$ の絶対値が $\dot{I}$ の大きさ(電流 $I$ )になる)

 

$=\sqrt{\left(\dfrac{V}{\omega L}\right)^2}$

 

$=\dfrac{V}{\omega L}$

 

$\therefore I=\dfrac{V}{\omega L}$ …③ ( 電流 $I$ )

 

となり、この電流 $I$(③式)が回路に流れる電流の大きさになります。

 

コイルだけ接続されている交流回路に流れる電流の大きさ

 

ちなみに、電流 $I$(③式)の式中の $\omega L$ はコイル $L$ のリアクタンスなので、このリアクタンスを $X_L$[$\Omega$]とすると、③式の電流 $I$ は、

 

$I=\dfrac{V}{X_L}$

 

とも表わせます。

 

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コイルだけ接続されている交流回路のコイルLにかかる電圧

次に、コイル $L$ にかかる電圧(コイル $L$ にかかる電圧 $\dot{V_L}$ の大きさ)を求めてみます。

 

コイルだけ接続されている交流回路の電圧VL

 

電流 $\dot{I}$ がコイル $L$ に流れるので、コイル $L$ にかかる電圧 $\dot{V_L}$ と電流 $\dot{I}$ の関係は次のように表わせます。

 

$\dot{V_L} =j\omega L\dot{I}$ …④

 

ここで、さきほど求めた②式より電流 $\dot{I}$ は、$\dot{I} =-j\dfrac{V}{\omega L}$ でしたので、これを④式に代入して電圧 $\dot{V_L}$ を求めると、

 

$\dot{V_L} =j\omega L\dot{I}$

 

$=j\omega L\cdot\left( -j\dfrac{V}{\omega L}\right)$

 

$=V$ ( $j\times j=-1$ ですよ!)

 

$\therefore\dot{V_L} =V$ …⑤ ( 電圧 $\dot{V_L}$ )

 

となります。⑤式をみると分かるように、コイル $L$ にかかる電圧 $\dot{V_L}$ は電源の電圧 $\dot{V}$( $=V$ )と等しくなるので、コイル $L$ にかかる電圧 $\dot{V_L}$ の大きさ $V_L$ は、

 

$\therefore V_L=V$ ( 電圧 $V_L$ )

 

となります。電源の電圧がそのままコイル $L$ にかかるので $V_L=V$ になるよ、ということですね。(計算する必要もなかったような…。)

 

コイルだけ接続されている交流回路のコイルにかかる電圧の大きさ

 

コイルだけ接続されている交流回路の電圧と電流のベクトル図

この回路の電圧と電流のベクトル図も描いてみましょう。

 

まず、基準とするベクトル $\dot{V}$ を描きます。( $\dot{V}$ は電源の電圧です。)

 

コイルだけ接続されている交流回路の電源の電圧のベクトル

 

回路に流れる電流 $\dot{I}$ は $\dot{I} =\dfrac{\dot{V}}{j\omega L} =-j\dfrac{1}{\omega L}\dot{V}$ と表わされるので、電流 $\dot{I}$ のベクトルの向きは、電圧 $\dot{V}$ のベクトルを時計方向に90°回転した向きになります。

 

コイルだけ接続されている交流回路の回路に流れる電流のベクトル

 

※$\dot{I} =-j\dfrac{1}{\omega L}\dot{V}$ は、ベクトル $\dot{V}$ を $\dfrac{1}{\omega L}$ 倍して時計方向に90°回転したのがベクトル $\dot{I}$ になるということを表わしています。(ベクトルに「 $-j$ 」を1回かけると、ベクトルは時計方向に90°回転します。)
$\dot{I}$ の向きは $\dot{V}$ を時計方向に90°回転した向きになるので、電流 $\dot{I}$ は電圧 $\dot{V}$ より $\pi /2$[$\mathrm{rad}$](90°)位相が遅れている(言い換えれば、電圧 $\dot{V}$ は電流 $\dot{I}$ より $\pi /2$[$\mathrm{rad}$](90°)位相が進んでいる)ということになります。

 

コイル $L$ にかかる電圧 $\dot{V_L}$ は電源の電圧 $\dot{V}$ と等しい( $\dot{V_L} =\dot{V}$ )ので、この2つのベクトルは大きさも向きも同じになります。

 

コイルだけ接続されている交流回路のコイルにかかる電圧のベクトル

 

以上より、コイルだけの交流回路の電圧と電流のベクトル図は次のようになり、回路に流れる電流 $\dot{I}$ は電源の電圧 $\dot{V}$ より位相が $\pi /2$[$\mathrm{rad}$](90°)遅れている(言い換えれば、電源の電圧 $\dot{V}$ は回路に流れる電流 $\dot{I}$ より位相が $\pi /2$[$\mathrm{rad}$](90°)進んでいる)のが分かります。

 

コイルだけ接続されている交流回路の電圧と電流のベクトル図

 

※コイルだけの交流回路の場合、電流 $\dot{I}$ は電圧 $\dot{V}$ より位相が $\pi /2$[$\mathrm{rad}$]遅れるので、電圧 $\dot{V}$ に対する電流 $\dot{I}$ の位相差は $-\pi /2$[$\mathrm{rad}$]になります。

 

ちなみに、各ベクトルの大きさ(長さ)は、それぞれさきほど計算した $I$、$V_L$ になります。( $\dot{V}$ の大きさは $V$ です。)

 

コイルだけ接続されている交流回路の各ベクトルの大きさ

 

交流回路の電圧と電流の計算とベクトル図(コイルだけの回路)のまとめ

 

コイルだけ接続されている交流回路

 

  • 回路に流れる電流 $I$
    $I=\dfrac{V}{\omega L}$

 

  • コイル $L$ にかかる電圧 $V_L$
    $V_L=V$

 

  • 電圧と電流のベクトル図
    コイルだけ接続されている交流回路の電圧と電流のベクトル図

 

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コイルだけの回路のインピーダンスについてはこちら
⇒ 交流回路のインピーダンスの計算(素子が1個の場合)
コイルだけの回路の電力の計算についてはこちら
⇒ 交流回路の電力の計算(コイルだけの回路)
を参考にしてみてください。



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