正弦波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法

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正弦波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率を求めてみます。

正弦波波形は図1のような波形になるので、

正弦波波形のグラフ

この波形を与える式を

$v\left( t\right) =V_m\sin\omega t$

とし、波形の周期を $T$ として、実効値から順番に計算して求めてみます。

正弦波波形の実効値の計算

正弦波波形の実効値の計算方法は、正弦波交流波形の実効値はなぜ最大値÷√2か？のページに書いていますので、そちらを参考にしてください。

ここでは正弦波波形の実効値の計算方法の記載は省略して、計算結果だけ書いておきます。

$\therefore$ 正弦波波形の実効値　$V_{rms}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} V_m$

正弦波波形の平均値の計算

平均値は定義式より、

$V_{av}=\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T |\, v\left( t\right) |\, dt$

です。

この式に正弦波波形の式を代入すると、

$V_{av}=\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T |V_m\sin\omega t|\, dt$　…①

となります。

①式をそのまま計算していけば正弦波波形の平均値を求められるのですが、ちょっとここで①式について考えてみます。

まず、①式中の $\displaystyle\int_0^T |V_m\sin\omega t|\, dt$ の値は、図2の斜線部の面積になります。

図2 波形と面積（値）の関係

補足

$|V_m\sin\omega t|$ のグラフ

$|V_m\sin\omega t|$ には絶対値が付いているので、$V_m\sin\omega t$ がマイナスになる $\dfrac{T}{2}$ から $T$ までの範囲ではグラフがプラス側にひっくり返りますよ！
絶対値が付いているVmsinωtのグラフ

なので、①式と図2を照らし合わせてみると、斜線部の面積を周期 $T$ で割るとそれが平均値ですよ、ということになりますよね？
つまり、$0\sim T$ の範囲で斜線部の面積を平均した値が求める平均値ということです。（図3）

図3 平均値の説明図

ここで、ちょっと話を戻してもう一度図2を見てみましょう。

「$|V_m\sin\omega t|$ を $0\sim T$ の範囲で積分して $T$ で割った値」　と、

「$|V_m\sin\omega t|$ を $0\sim\dfrac{T}{2}$ の範囲で積分して $\dfrac{T}{2}$ で割った値」

は同じ値になるんですけど・・・、分かりますか？

つまり、こういうことです。（図4）

図4 0～Tでも0～T/2でも平均値は同じ

正弦波波形の場合、$0\sim T$ の範囲で考えても、$0\sim\dfrac{T}{2}$ の範囲で考えても、求める平均値は同じ値になります。

したがって、正弦波波形の場合の平均値の式は、次のように書くことができます。

$V_{av}=\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T |V_m\sin\omega t|\, dt$ $=\dfrac{1}{\dfrac{T}{2}}\displaystyle\int_0^{\frac{T}{2}} |V_m\sin\omega t|\, dt$ $=\dfrac{2}{T}\displaystyle\int_0^{\frac{T}{2}} |V_m\sin\omega t|\, dt$

$\therefore V_{av}=\dfrac{2}{T}\displaystyle\int_0^{\frac{T}{2}} |V_m\sin\omega t|\, dt$　…②

ここでさらに、$0\sim\dfrac{T}{2}$ の範囲で考えているので、②式の絶対値はそのまま外すことができます。（$0\sim\dfrac{T}{2}$ の範囲では、$V_m\sin\omega t$ は常にプラスだからです。）

なので、②式は次のようになります。

$V_{av}=\dfrac{2}{T}\displaystyle\int_0^{\frac{T}{2}} V_m\sin\omega t\, dt$　…③

すると、③式は簡単な積分の式なので、あとはこれを解くだけです。（積分の意味もちょっと説明したかったので説明が回りくどくなってしまったかも？　解き方は色々ありますけどね。）

③式より、$V_{av}=\dfrac{2}{T}\displaystyle\int_0^{\frac{T}{2}} V_m\sin\omega t\, dt$

$V_m$ は定数なので、そのまま積分の外に出します。

$V_{av}=\dfrac{2V_m}{T}\displaystyle\int_0^{\frac{T}{2}}\sin\omega t\, dt$ $=\dfrac{2V_m}{T}\left[ -\dfrac{\cos\omega t}{\omega}\right]_0^{\frac{T}{2}}$ $=\dfrac{2V_m}{T}\left( -\dfrac{\cos\left(\omega\cdot\dfrac{T}{2}\right)}{\omega} +\dfrac{\cos\left(\omega\cdot 0\right)}{\omega}\right)$

$\omega T=2\pi$ なので、これを代入します。（ $\because\omega =2\pi f$ 、$\omega =2\pi\cdot\dfrac{1}{T}$ 、$\omega T=2\pi$ ）

$V_{av}=\dfrac{2V_m}{T}\left( -\dfrac{\cos\pi}{\omega} +\dfrac{\cos 0}{\omega}\right)$

$\cos\pi =-1$、$\cos 0=1$ を代入します。

$V_{av}=\dfrac{2V_m}{T}\left( -\dfrac{-1}{\omega} +\dfrac{1}{\omega}\right)$ $=\dfrac{2V_m}{T}\left( \dfrac{1}{\omega} +\dfrac{1}{\omega}\right)$ $=\dfrac{2V_m}{T}\cdot\dfrac{2}{\omega}$ $=\dfrac{4V_m}{\omega T}$

またまた $\omega T=2\pi$ を代入します。

$V_{av}=\dfrac{4V_m}{2\pi} =\dfrac{2V_m}{\pi}$

$\therefore$ 正弦波波形の平均値　$V_{av}=\dfrac{2}{\pi} V_m$

正弦波波形の最大値の計算

正弦波波形の式を $v\left( t\right) =V_m\sin\omega t$ で与えているので、最大値は $V_m$ になります。

計算は必要ないですね。

図5 正弦波波形の最大値

$\therefore$ 正弦波波形の最大値 $=V_m$

正弦波波形の波形率の計算

あとは波形率と波高率を求めますが、波形率と波高率は実効値、平均値、最大値をそれぞれの定義式に代入するだけなので、簡単に求めることができますね。

波形率の定義式は、

波形率 $=\dfrac{\text{実効値}}{\text{平均値}}$

なので、これに求めた実効値と平均値を代入します。

波形率 $=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}} V_m}{\dfrac{2}{\pi} V_m} =\dfrac{1}{\sqrt{2}}\times\dfrac{\pi}{2}$ $=\dfrac{\pi}{2\sqrt{2}}$

$\therefore$ 正弦波波形の波形率 $=\dfrac{\pi}{2\sqrt{2}}$

正弦波波形の波高率の計算

波高率も定義式に代入するだけなので簡単ですね。

波高率の定義式は、

波高率 $=\dfrac{\text{最大値}}{\text{実効値}}$

なので、これに求めた実効値と最大値を代入します。

波高率 $=\dfrac{V_m}{\dfrac{1}{\sqrt{2}} V_m} =\dfrac{1}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}} =\sqrt{2}$

$\therefore$ 正弦波波形の波高率 $=\sqrt{2}$

正弦波波形についてまとめると

以上より、正弦波波形について、実効値、平均値、最大値、波形率、波高率をまとめると次のようになります。

正弦波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率
正弦波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率
実効値	$\dfrac{1}{\sqrt{2}} V_m$
平均値	$\dfrac{2}{\pi} V_m$
最大値	$V_m$
波形率	$\dfrac{\pi}{2\sqrt{2}}$
波高率	$\sqrt{2}$

波形率と波高率は定義式に代入するだけ、最大値はグラフからそのまま求めるだけなので簡単ですが、実効値と平均値は積分の計算をしないといけないので、ちょっと面倒ですね。

とはいっても、積分も慣れればそれほど難しくはないですよ。

他の波形についても実効値、平均値、最大値、波形率、波高率を計算していますので参考にしてみてください。
全波整流波形はこちら　　半波整流波形はこちら
 方形波波形はこちら　　のこぎり波波形はこちら

波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の求め方の基本については、こちらの波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法のページを参考にしてみてください。

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