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テブナンの定理

テブナンの定理(鳳-テブナンの定理)は等価電圧源の定理とも呼ばれ、電源を含む回路において、ある特定の素子に流れる電流を求めたいときに有用な定理です。

 

例えば、次のような電源を含む回路があって、この回路の端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間に接続されている抵抗 $R$[$\Omega$]に流れる電流 $I$[$\mathrm{A}$]を求めたいとします。

 

電源を含む回路

 

このとき、抵抗 $R$ を取り外した状態での端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間に現れる電圧(開放電圧)を $V_0$[$\mathrm{V}$]、

 

端子a-b間の開放電圧V0

 

抵抗 $R$ を取り外した状態での端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間の合成抵抗を $R_0$[$\Omega$]とすると、

 

端子a-b間の合成抵抗R0

 

端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間の合成抵抗 $R_0$ を求めるときは、電圧源は短絡、電流源は開放します。

 

端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ より左側の回路は、起電力が $V_0$ で内部抵抗が $R_0$ の電圧源に置き換える(等価変換する)ことができ、

 

端子a-bより左側の回路は電圧源に等価変換できる

 

この置き換えた電圧源を、テブナンの等価電圧源とか、テブナンの等価回路といいます。

 

抵抗 $R$ に流れる電流 $I$ は、次の式で求めることができます。

 

$I=\dfrac{V_0}{R_0+R}$ …① (テブナンの定理の式

 

テブナンの等価電圧源とテブナンの定理の式

 

これがテブナンの定理で、テブナンの定理を使うと、電流を求めたいところの特定の素子を除いた部分の回路(この場合、端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ より左側の回路)を内部抵抗がある1つの電圧源で等価的に置き換えることができるので、複雑な回路であっても回路を単純化して電流の計算をできるようになります。

 

テブナンの定理

 

 

テブナンの定理による電流の求め方を整理すると、次のような手順(STEP1〜STEP5)になります。

 

電流を求めたい抵抗 $R$ の両端を端子「$\mathrm{a}$」「$\mathrm{b}$」とする。(「$\mathrm{a}$」「$\mathrm{b}$」じゃなくて「$1$」「$2$」でもなんでもいいですが…。)

 

抵抗Rの両端を端子a、bとする

 

抵抗 $R$ を取り外し、端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間を開放状態にする。

 

端子a-b間を開放する

 

端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間に現れる電圧(開放電圧) $V_0$ を求める。

 

開放電圧V0を求める

 

回路内のすべての電源を取り除き(電圧源は短絡し、電流源は開放する)、端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ からみた回路の合成抵抗 $R_0$ を求める。

 

合成抵抗R0を求める

 

STEP3とSTEP4の順番は逆でもかまいません。

 

STEP3で求めた開放電圧 $V_0$ とSTEP4で求めた合成抵抗 $R_0$ を $I=\dfrac{V_0}{R_0+R}$(テブナンの定理の式)に代入して電流 $I$ を計算する。

 

V0とR0をテブナンの定理の式に代入して電流Iを計算する

 

以上のような手順で、抵抗 $R$ に流れる電流 $I$ を求めることができます。

 

ちなみにちょっと補足すると、STEP3で求めた開放電圧は $V_0$[$\mathrm{V}$]ですが、この電圧 $V_0$[$\mathrm{V}$]は抵抗 $R$ を接続して抵抗 $R$ に電流が流れている状態での抵抗 $R$ の両端にかかる電圧(=端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間の電圧)とは異なります。抵抗 $R$ を接続して抵抗 $R$ に電流が流れている状態での抵抗 $R$ にかかる電圧は、$V_0$[$\mathrm{V}$]ではなく $RI$[$\mathrm{V}$]になるので注意しましょう。

 

抵抗Rにかかる電圧はRIでV0にはならない

 

では続いて、テブナンの定理の問題でよくある回路を例にして、抵抗に流れる電流を求めてみましょう。

 

いくつか計算してみるとテブナンの定理に慣れてきて、計算のやり方をおぼえられるようになりますよ!

 

このページではテブナンの定理を直流回路(電源は直流電源、素子は抵抗のみ)で解説していますが、テブナンの定理は交流回路でも成り立つ定理です。交流回路のテブナンの定理については、こちらの交流回路のテブナンの定理のページを参考にしてみてください。

 

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テブナンの定理による電流の計算

ここでは、

  • 電源が1つ、抵抗が3つある回路
  • 電源が2つ、抵抗が3つある回路
  • ブリッジ回路

の3つの回路について、テブナンの定理を用いて抵抗に流れる電流を求めてみます。

 

電源が1つ、抵抗が3つある回路

テブナンの定理を用いて、次の回路の抵抗 $R_3$ に流れる電流 $I$ を先ほどのSTEP1〜5の手順に従って求めてみます。

 

電源が1つ、抵抗が3つある回路

 

電流を求めたい抵抗 $R_3$ の両端を端子「$\mathrm{a}$」「$\mathrm{b}$」とする。

抵抗 $R_3$ に流れる電流を求めたいので、抵抗 $R_3$ の両端を端子「$\mathrm{a}$」「$\mathrm{b}$」とします。

 

抵抗R3の両端を端子a、bとする

 

抵抗 $R_3$ を取り外し、端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間を開放状態にする。

抵抗 $R_3$ を取り外して、端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間を開放状態にします。

 

端子a-b間を開放する

 

端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間に現れる電圧(開放電圧)$V_0$ を求める。

抵抗 $R_3$ を取り外したときの回路は、次のように電圧 $V$[$\mathrm{V}$]の電源に $R_1$[$\Omega$]と$R_2$[$\Omega$]の抵抗が直列接続された回路になるので、

 

抵抗R3を取り外したときの回路

 

この回路に流れる電流 $I_0$[$\mathrm{A}$]はオームの法則より、

 

$I_0=\dfrac{V}{R_1+R_2}$

 

となります。なので、端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間の電圧(開放電圧)$V_0$ はオームの法則より、

 

$V_0=R_2I_0=R_2\times\dfrac{V}{R_1+R_2}$

 

$\therefore V_0=\dfrac{R_2V}{R_1+R_2}$ (開放電圧 $V_0$

 

となります。

 

開放電圧V0

 

ちなみに、端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間の電圧(開放電圧)$V_0$ は、分圧の公式を使って、

 

$V_0=V\times\dfrac{R_2}{R_1+R_2}$

 

$\therefore V_0=\dfrac{R_2V}{R_1+R_2}$ (開放電圧 $V_0$

 

と求めることもできます。

 

回路内のすべての電源を取り除き(電圧源は短絡し、電流源は開放する)、端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ からみた回路の合成抵抗 $R_0$ を求める。

電圧源は短絡し、電流源は開放して回路内のすべての電源を取り除くと、回路は次のようになります。

 

電源を取り除いた回路

 

この回路の電源は電圧源だけなので、電圧源を短絡します。

 

電源を取り除くと抵抗 $R_1$ と抵抗 $R_2$ が並列に接続された回路になっているので、端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ からみた回路の合成抵抗 $R_0$ は和分の積で、

 

$\therefore R_0=\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}$ (合成抵抗 $R_0$

 

となります。

 

合成抵抗R0

 

STEP3で求めた開放電圧 $V_0$ とSTEP4で求めた合成抵抗 $R_0$ をテブナンの定理の式に代入して電流 $I$ を計算する。

STEP3で求めた開放電圧 $V_0$ とSTEP4で求めた合成抵抗 $R_0$ は、

 

$V_0=\dfrac{R_2V}{R_1+R_2}$

 

$R_0=\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}$

 

で、端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間の抵抗は $R_3$ なので、これらをテブナンの定理の式(①式)に代入すると、

 

$I=\dfrac{V_0}{R_0+R_3} =\dfrac{\dfrac{R_2V}{R_1+R_2}}{\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2} +R_3}$

 

$=\dfrac{\dfrac{R_2V}{R_1+R_2}}{\dfrac{R_1R_2+R_3\left( R_1+R_2\right)}{R_1+R_2}}$

 

$=\dfrac{R_2V}{R_1R_2+R_3R_1+R_3R_2}$

 

$\therefore I=\dfrac{R_2V}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$ (抵抗 $R_3$ に流れる電流 $I$

 

となり、この電流 $I$ が抵抗 $R_3$ に流れる電流になります。

 

テブナンの定理の式と抵抗R3に流れる電流I

 

以上で、「電源が1つ、抵抗が3つある回路」の抵抗 $R_3$ に流れる電流 $I$ が求められました。

 

この回路は複雑な回路ではないので、そんなに難しくはないですね。

 

次は、電源が2つある回路の計算です。電源が2つあるのでちょっとだけ難しくなりますよ、ちょっとだけ。

 

電源が2つ、抵抗が3つある回路

テブナンの定理を用いて、次の回路の抵抗 $R_3$ に流れる電流 $I$ を求めてみます。

 

電源が2つ、抵抗が3つある回路

 

電流を求めたい抵抗 $R_3$ の両端を端子「$\mathrm{a}$」「$\mathrm{b}$」とする。

抵抗 $R_3$ に流れる電流を求めたいので、抵抗 $R_3$ の両端を端子「$\mathrm{a}$」「$\mathrm{b}$」とします。

 

抵抗R3の両端を端子a、bとする

 

抵抗 $R_3$ を取り外し、端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間を開放状態にする。

抵抗 $R_3$ を取り外して、端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間を開放状態にします。

 

端子a-b間を開放する

 

端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間に現れる電圧(開放電圧)$V_0$ を求める。

抵抗 $R_3$ を取り外したときの回路はSTEP2より次のようになり、この回路において、次のように右回り(時計回り)の電流 $I_0$ が流れるものと仮定すると、

 

抵抗R3を取り外したときの回路(電流I0は右回りに流れるものと仮定する)

 

キルヒホッフの法則(キルヒホッフの第二法則)より、電流 $I_0$ は次のようになります。

 

$V_1-V_2=R_1I_0+R_2I_0$ (キルヒホッフの第二法則より

 

$V_1-V_2=\left( R_1+R_2\right) I_0$

 

$\therefore I_0=\dfrac{V_1-V_2}{R_1+R_2}$

 

したがって、抵抗 $R_1$ での電圧降下は $R_1I_0=\dfrac{R_1\left( V_1-V_2\right)}{R_1+R_2}$[$\mathrm{V}$]となるので、端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間の電圧(開放電圧)$V_0$ は、

 

$V_0=V_1-R_1I_0$ …②

 

$=V_1-\dfrac{R_1\left( V_1-V_2\right)}{R_1+R_2}$

 

$=\dfrac{V_1\left( R_1+R_2\right) -R_1\left( V_1-V_2\right)}{R_1+R_2}$

 

$=\dfrac{R_1V_1+R_2V_1-R_1V_1+R_1V_2}{R_1+R_2}$

 

$=\dfrac{R_2V_1+R_1V_2}{R_1+R_2}$

 

$\therefore V_0=\dfrac{R_2V_1+R_1V_2}{R_1+R_2}$ (開放電圧 $V_0$

 

となります。

 

端子a-b間の電圧(開放電圧)V0を電位で考えた場合

 

ちなみに、②式( $V_0=V_1-R_1I_0$ )は「 $V_1$ と $R_1$ の直列接続側」で考えた場合の式ですが、「 $V_2$ と $R_2$ の直列接続側」で考えた場合は次の③式のようになります。(どちら側で考えても、計算結果は同じになります。)

 

$V_0=V_2+R_2I_0$ …③

 

$=V_2+R_2\cdot\dfrac{V_1-V_2}{R_1+R_2}$

 

$=V_2+\dfrac{R_2\left( V_1-V_2\right)}{R_1+R_2}$

 

$=\dfrac{V_2\left( R_1+R_2\right) +R_2\left( V_1-V_2\right)}{R_1+R_2}$

 

$=\dfrac{R_1V_2+R_2V_2+R_2V_1-R_2V_2}{R_1+R_2}$

 

$=\dfrac{R_1V_2+R_2V_1}{R_1+R_2}$

 

$\therefore V_0=\dfrac{R_2V_1+R_1V_2}{R_1+R_2}$ (開放電圧 $V_0$

 

「V2とR2の直列接続側」で考えた場合の電位と電圧V0

 

回路内のすべての電源を取り除き(電圧源は短絡し、電流源は開放する)、端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ からみた回路の合成抵抗 $R_0$ を求める。

電圧源は短絡し、電流源は開放して回路内のすべての電源を取り除くと、回路は次のようになります。

 

電源を取り除いた回路

 

この回路の電源は電圧源だけなので、電圧源を短絡します。

 

電源を取り除くと抵抗 $R_1$ と抵抗 $R_2$ が並列に接続された回路になっているので、端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ からみた回路の合成抵抗 $R_0$ は和分の積で、

 

$\therefore R_0=\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}$ (合成抵抗 $R_0$

 

となります。

 

合成抵抗R0

 

STEP3で求めた開放電圧 $V_0$ とSTEP4で求めた合成抵抗 $R_0$ をテブナンの定理の式に代入して電流 $I$ を計算する。

STEP3で求めた開放電圧 $V_0$ とSTEP4で求めた合成抵抗 $R_0$ は、

 

$V_0=\dfrac{R_2V_1+R_1V_2}{R_1+R_2}$

 

$R_0=\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}$

 

で、端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間の抵抗は $R_3$ なので、これらをテブナンの定理の式(①式)に代入すると、

 

$I=\dfrac{V_0}{R_0+R_3} =\dfrac{\dfrac{R_2V_1+R_1V_2}{R_1+R_2}}{\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2} +R_3}$

 

$=\dfrac{\dfrac{R_2V_1+R_1V_2}{R_1+R_2}}{\dfrac{R_1R_2+R_3\left( R_1+R_2\right)}{R_1+R_2}}$

 

$=\dfrac{R_2V_1+R_1V_2}{R_1R_2+R_3R_1+R_3R_2}$

 

$\therefore I=\dfrac{R_2V_1+R_1V_2}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$ (抵抗 $R_3$ に流れる電流 $I$

 

となり、この電流 $I$ が抵抗 $R_3$ に流れる電流になります。

 

テブナンの定理の式と抵抗R3に流れる電流I

 

以上で、「電源が2つ、抵抗が3つある回路」の抵抗 $R_3$ に流れる電流 $I$ が求められました。

 

次は、ブリッジ回路の計算です。解き方はそんなに難しくないのですが、抵抗の数が増えるので式が少し複雑になります。

 

ブリッジ回路

テブナンの定理を用いて、次のブリッジ回路の抵抗 $R_5$ に流れる電流 $I$ を求めてみます。

 

ブリッジ回路

 

電流を求めたい抵抗 $R_5$ の両端を端子「$\mathrm{a}$」「$\mathrm{b}$」とする。

抵抗 $R_5$ に流れる電流を求めたいので、抵抗 $R_5$ の両端を端子「$\mathrm{a}$」「$\mathrm{b}$」とします。

 

抵抗R5の両端を端子a、bとする

 

抵抗 $R_5$ を取り外し、端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間を開放状態にする。

抵抗 $R_5$ を取り外して、端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間を開放状態にします。

 

端子a-b間を開放する

 

端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間に現れる電圧(開放電圧)$V_0$ を求める。

抵抗 $R_5$ を取り外したときの回路はSTEP2より次のようになります。

 

抵抗R5を取り外したときの回路

 

この回路において、電源のマイナス側を電位の基準(電位 $0\,\mathrm{V}$ )とし、端子 $\mathrm{a}$ での電位を $V_{\mathrm{a}}$[$\mathrm{V}$]、端子 $\mathrm{b}$ での電位を $V_{\mathrm{b}}$[$\mathrm{V}$]とすると、

 

電位の基準と電位Va、Vb

 

電位 $V_{\mathrm{a}}$ と電位 $V_{\mathrm{b}}$ は、それぞれ次のようになります。

 

電位 $V_{\mathrm{a}}$

電源電圧 $V$ が抵抗 $R_1$ と抵抗 $R_3$ に分圧されるので、分圧の公式より抵抗 $R_3$ にかかる電圧 $V_3$[$\mathrm{V}$]を求めると、

 

$V_3=V\times\dfrac{R_3}{R_1+R_3}$ (分圧の公式より

 

$\therefore V_3=\dfrac{R_3V}{R_1+R_3}$

 

となります。したがって、電源のマイナス側を電位の基準(電位 $0\,\mathrm{V}$ )としたときの電位 $V_{\mathrm{a}}$ は、次のようになります。

 

$V_{\mathrm{a}} =0+V_3=\dfrac{R_3V}{R_1+R_3}$

 

$\therefore V_{\mathrm{a}} =\dfrac{R_3V}{R_1+R_3}$ …④ (電位 $V_{\mathrm{a}}$

 

電位Va

 

電位 $V_{\mathrm{b}}$

電源電圧 $V$ が抵抗 $R_2$ と抵抗 $R_4$ に分圧されるので、分圧の公式より抵抗 $R_4$ にかかる電圧 $V_4$[$\mathrm{V}$]を求めると、

 

$V_4=V\times\dfrac{R_4}{R_2+R_4}$ (分圧の公式より

 

$\therefore V_4=\dfrac{R_4V}{R_2+R_4}$

 

となります。したがって、電源のマイナス側を電位の基準(電位 $0\,\mathrm{V}$ )としたときの電位 $V_{\mathrm{b}}$ は、次のようになります。

 

$V_{\mathrm{b}} =0+V_4=\dfrac{R_4V}{R_2+R_4}$

 

$\therefore V_{\mathrm{b}} =\dfrac{R_4V}{R_2+R_4}$ …⑤ (電位 $V_{\mathrm{b}}$

 

電位Vb

 

以上で求めた $V_{\mathrm{a}}$ と $V_{\mathrm{b}}$ の電位差 $V_{\mathrm{a}} -V_{\mathrm{b}}$ が端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間の電圧(開放電圧)$V_0$ になるので、端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間の電圧(開放電圧)$V_0$ は、

 

$V_0=V_{\mathrm{a}} -V_{\mathrm{b}}$

 

$=\dfrac{R_3V}{R_1+R_3} -\dfrac{R_4V}{R_2+R_4}$

 

$=\dfrac{R_3\left( R_2+R_4\right) -R_4\left( R_1+R_3\right)}{\left( R_1+R_3\right) \left( R_2+R_4\right)} V$

 

$=\dfrac{R_2R_3+R_3R_4-R_1R_4-R_3R_4}{\left( R_1+R_3\right) \left( R_2+R_4\right)} V$

 

$=\dfrac{R_2R_3-R_1R_4}{\left( R_1+R_3\right) \left( R_2+R_4\right)} V$

 

$\therefore V_0=\dfrac{R_2R_3-R_1R_4}{\left( R_1+R_3\right) \left( R_2+R_4\right)} V$ (開放電圧 $V_0$

 

となります。

 

開放電圧V0

 

電位と電位の差が電位差、つまり電圧になります。電位と電位差については、こちらの電気回路の電位と電位差のページを参考にしてみてください。

 

回路内のすべての電源を取り除き(電圧源は短絡し、電流源は開放する)、端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ からみた回路の合成抵抗 $R_0$ を求める。

電圧源は短絡し、電流源は開放して回路内のすべての電源を取り除くと、回路は次のようになります。

 

電源を取り除いた回路

 

この回路の電源は電圧源だけなので、電圧源を短絡します。

 

このままの回路だとちょっと分かりにくいので、回路が分かりやすくなるように変形します。

 

まず、端子 $\mathrm{a}$ を上に、端子 $\mathrm{b}$ を下に移動します。

 

端子aを上に、端子bを下に移動する

 

回路の両端を短絡している線(もともと電源があったところ)を、次のようにまっすぐにします。

 

回路の両端を短絡している線をまっすぐにする

 

もうちょっと見やすくします。

 

抵抗部分をまっすぐにした回路

 

抵抗の接続が分かりやすくなるように真中の短絡されているところを描き直すと、回路は次のようになります。

 

分かりやすく描き直した回路

 

この図より回路は、「抵抗 $R_1$ と抵抗 $R_3$ の並列接続」と「抵抗 $R_2$ と抵抗 $R_4$ の並列接続」が直列に接続された回路になっているので、端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ からみた回路の合成抵抗 $R_0$ は、

 

$R_0=\dfrac{R_1R_3}{R_1+R_3} +\dfrac{R_2R_4}{R_2+R_4}$

 

$=\dfrac{R_1R_3\left( R_2+R_4\right) +R_2R_4\left( R_1+R_3\right)}{\left(R_1+R_3\right)\left(R_2+R_4\right)}$

 

$\therefore R_0=\dfrac{R_1R_3\left( R_2+R_4\right) +R_2R_4\left( R_1+R_3\right)}{\left(R_1+R_3\right)\left(R_2+R_4\right)}$ (合成抵抗 $R_0$

 

となります。

 

合成抵抗R0

 

STEP3で求めた開放電圧 $V_0$ とSTEP4で求めた合成抵抗 $R_0$ をテブナンの定理の式に代入して電流 $I$ を計算する。

STEP3で求めた開放電圧 $V_0$ とSTEP4で求めた合成抵抗 $R_0$ は、

 

$V_0=\dfrac{R_2R_3-R_1R_4}{\left( R_1+R_3\right) \left( R_2+R_4\right)} V$

 

$R_0=\dfrac{R_1R_3\left( R_2+R_4\right) +R_2R_4\left( R_1+R_3\right)}{\left(R_1+R_3\right)\left(R_2+R_4\right)}$

 

で、端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間の抵抗は $R_5$ なので、これらをテブナンの定理の式(①式)に代入すると、

 

$I=\dfrac{V_0}{R_0+R_5}$

 

$=\dfrac{\dfrac{R_2R_3-R_1R_4}{\left( R_1+R_3\right) \left( R_2+R_4\right)} V}{\dfrac{R_1R_3\left( R_2+R_4\right) +R_2R_4\left( R_1+R_3\right)}{\left( R_1+R_3\right) \left(R_2+R_4\right)} +R_5}$

 

$=\dfrac{R_2R_3-R_1R_4}{R_1R_3\left( R_2+R_4\right) +R_2R_4\left( R_1+R_3\right) +R_5\left( R_1+R_3\right) \left( R_2+R_4\right)} V$

 

$\therefore I=\dfrac{R_2R_3-R_1R_4}{R_1R_3\left( R_2+R_4\right) +R_2R_4\left( R_1+R_3\right) +R_5\left( R_1+R_3\right) \left( R_2+R_4\right)} V$ (抵抗 $R_5$ に流れる電流 $I$

 

となり、この電流 $I$ が抵抗 $R_5$ に流れる電流になります。

 

テブナンの定理の式と抵抗R5に流れる電流I

 

以上で、ブリッジ回路の抵抗 $R_5$ に流れる電流 $I$ が求められました。

 

続いて、テブナンの定理を証明してみます。

 

テブナンの定理の証明

重ね合わせの理を用いて、テブナンの定理の証明をしてみます。

 

重ね合わせの理でテブナンの定理を証明する
【図1】重ね合わせの理でテブナンの定理を証明する

 

次の図2のような電源を含む回路があるとして、この回路の抵抗 $R$ を取り外したときの端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間の開放電圧は $V_0$ 、端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間の合成抵抗は $R_0$ であるものとします。

 

電源を含む回路
【図2】電源を含む回路
 
抵抗Rを取り外した電源を含む回路の開放電圧と合成抵抗
(開放電圧と合成抵抗)

 

端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間の合成抵抗 $R_0$ は、抵抗 $R$ を取り外して、電圧源を短絡し、電流源を開放したときの合成抵抗です。

 

この回路の端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間に、電圧 $V_0$ の電圧源(端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間の開放電圧と同じ電圧の電圧源)を2つ互いに逆向きになるように追加(接続)します。

 

電圧V0で互いに逆向きの電圧源を追加した回路
【図3】電圧 $V_0$ で互いに逆向きの電圧源を追加する

 

追加した2つの電圧源は電圧の大きさが同じで互いに逆向きなので、2つの電圧源による電圧は打ち消されます。そのため、この追加した2つの電圧源は、回路の電圧や電流に影響を与えません。

 

抵抗 $R$ に流れる電流 $I$ を重ね合わせの理により求めるため、図3の回路から次の2つの回路(図4と図5)をつくります。図4は追加した下側の電圧源だけを取り除いた回路で、図5は追加した下側の電圧源だけを残して他の電源を取り除いた回路です。

 

追加した下側の電圧源だけを取り除いた回路
【図4】追加した下側の電圧源だけを取り除いた回路

 

追加した下側の電圧源だけを残して他の電源を取り除いた回路
【図5】追加した下側の電圧源だけを残した回路

 

重ね合わせの理の場合も、電源を取り除くときはテブナンの定理と同じように、電圧源は短絡し、電流源は開放します。

 

図4の回路では、端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間の開放電圧 $V_0$ と同じ大きさで逆向きの電圧源が接続されているので、抵抗 $R$ には電流が流れません。したがって、図4の回路の抵抗 $R$ に流れる電流 $I^\prime$[$\mathrm{A}$] は、

 

$\therefore I^\prime =0$ …⑥

 

となります。

 

追加した下側の電圧源だけを取り除いた回路の抵抗Rに流れる電流
【図6】電流 $I^\prime$

 

また、図5の回路では、抵抗 $R$ を取り外したときの端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ 間の合成抵抗が $R_0$ なので、図5の回路の抵抗 $R$ に流れる電流 $I^{\prime\prime}$[$\mathrm{A}$] は、

 

$\therefore I^{\prime\prime} =\dfrac{V_0}{R_0+R}$ …⑦

 

となります。

 

追加した下側の電圧源だけを残した回路の抵抗Rに流れる電流
【図7】電流 $I^{\prime\prime}$

 

以上で求めた⑥と⑦の電流を重ね合わせると抵抗 $R$ に流れる電流 $I$ になるので、⑥と⑦を足し合わせて電流 $I$ を求めると、

 

$I=I^\prime +I^{\prime\prime} =0+\dfrac{V_0}{R_0+R}$

 

$\therefore I=\dfrac{V_0}{R_0+R}$ (電流 $I$

 

となり、重ね合わせの理により求めた電流 $I$ は、テブナンの定理の式と同じ式になります。(証明終わり)

 

テブナンの定理の証明
【図8】テブナンの定理の証明

 

ちなみに、抵抗 $R$ に流れる電流が $I=\dfrac{V_0}{R_0+R}$ で表わせられるということは、端子 $\mathrm{a}$-$\mathrm{b}$ より左側の回路は、次のように「内部抵抗がある1つの電圧源」(テブナンの等価電圧源)で等価的に置き換えることができるということも示しています。

 

テブナンの等価電圧源
【図9】テブナンの等価電圧源に置き換えることができる

 

 

テブナンの定理はおぼえておくとなにかと役に立つ定理ですので、テブナンの定理の使い方はおぼえておくようにしましょう!

 

テブナンの定理のまとめ
  • テブナンの定理は、電源を含む回路において、ある特定の素子に流れる電流を求めたいときに有用な定理
  • 開放電圧 $V_0$ と開放した端子間の合成抵抗 $R_0$(電圧源は短絡し、電流源は開放する)が分かれば、$I=\dfrac{V_0}{R_0+R}$ で抵抗 $R$ に流れる電流 $I$ を求められる
    テブナンの定理

 

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このページでは直流回路でテブナンの定理を解説しましたが、テブナンの定理は交流回路でも成り立ちます。交流回路でのテブナンの定理の解説については、こちらの交流回路のテブナンの定理のページを参考にしてみてください。

 

また、テブナンの定理は回路を「電圧源」に置き換える定理ですが、電圧源ではなく「電流源」に置き換える定理をノートンの定理といいます。ノートンの定理については、こちらのノートンの定理のページを参考にしてみてください。



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