分圧の法則による直流回路の計算

次の図のように、電源電圧 $V$[$ \mathrm{V} $]に「抵抗 $R_1$」と「抵抗 $R_2$ と $R_3$ の並列接続」が直列に接続されている回路について考えます。

 

分圧の法則による直流回路の計算(回路図)

 

この回路において、各抵抗 $R_1$ 、$R_2$ 、$R_3$ にかかる電圧 $V_1$ 、$V_2$ 、$V_3$ 、および各抵抗 $R_1$ 、$R_2$ 、$R_3$ に流れる電流 $I_1$ 、$I_2$ 、$I_3$ を分圧の法則を使って求めてみます。

 

まず、抵抗 $R_2$ と $R_3$ を合成し、合成後の抵抗を $R_0$ 、合成抵抗 $R_0$ にかかる電圧を $V_0$ とすると、上の回路図は次のようになります。

 

分圧の法則による直流回路の計算の回路図(合成後)

 

すると、抵抗 $R_1$ と $R_0$ が直列に接続された回路になるので、電圧 $V_1$ と $V_0$ は分圧の法則よりそれぞれ次式となります。

 

$V_1 = V \times \dfrac{R_1}{R_1 + R_0}$  $\therefore V_1 = \dfrac{R_1 V}{R_1 + R_0}$ …①

 

$V_0 = V \times \dfrac{R_0}{R_1 + R_0}$  $\therefore V_0 = \dfrac{R_0 V}{R_1 + R_0}$ …②

 

ここで、抵抗 $R_0$ は抵抗 $R_2$ と $R_3$ の並列合成抵抗なので、抵抗 $R_0$ は次式で与えられます。

 

$R_0 = \dfrac{R_2 R_3}{R_2 + R_3}$ …③

 

③を①式に代入すると、

 

$V_1 = \dfrac{R_1 V}{R_1 + \dfrac{R_2 R_3}{R_2 + R_3}}$ $= \dfrac{R_1 V}{\dfrac{R_1 \left( R_2 +R_3 \right) + R_2 R_3}{R_2 + R_3}}$ $= \dfrac{R_1 \left( R_2 + R_3 \right) V}{R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3}$

 

$\therefore V_1 = \dfrac{R_1 \left( R_2 + R_3 \right) V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$ [$ \mathrm{V} $] …④

 

③を②式に代入すると、

 

$V_0 = \dfrac{\dfrac{R_2 R_3}{R_2 + R_3} V}{R_1 + \dfrac{R_2 R_3}{R_2 + R_3}}$ $= \dfrac{\dfrac{R_2 R_3}{R_2 + R_3} V}{\dfrac{R_1 \left( R_2 +R_3 \right) + R_2 R_3}{R_2 + R_3}}$ $= \dfrac{R_2 R_3 V}{R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3}$

 

$\therefore V_0 = \dfrac{R_2 R_3 V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$

 

この電圧 $V_0$ は、抵抗 $R_2$ 、$R_3$ の電圧 $V_2$ 、$V_3$ に等しいので、
($\because$ $R_0$ は $R_2$ と $R_3$ の並列合成抵抗)

 

$\therefore V_2 = V_3 = V_0$ $= \dfrac{R_2 R_3 V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$ [$ \mathrm{V} $] …⑤

 

となります。

 

以上④、⑤より、電圧 $V_1$ 、$V_2$ 、$V_3$ が求められたので、次に電流 $I_1$ 、$I_2$ 、$I_3$ を求めます。

 

$I_1 = \dfrac{V_1}{R_1}$ $= \dfrac{1}{R_1} \cdot \dfrac{R_1 \left( R_2 + R_3 \right) V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$ $= \dfrac{\left( R_2 + R_3 \right) V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$

 

$\therefore I_1 = \dfrac{\left( R_2 + R_3 \right) V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$ [$ \mathrm{A} $] …⑥

 

$I_2 = \dfrac{V_2}{R_2}$ $= \dfrac{1}{R_2} \cdot \dfrac{R_2 R_3 V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$ $= \dfrac{R_3 V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$

 

$\therefore I_2 = \dfrac{R_3 V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$ [$ \mathrm{A} $] …⑦

 

$I_3 = \dfrac{V_3}{R_3}$ $= \dfrac{1}{R_3} \cdot \dfrac{R_2 R_3 V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$ $= \dfrac{R_2 V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$

 

$\therefore I_3 = \dfrac{R_2 V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$ [$ \mathrm{A} $] …⑧

 

以上④〜⑧より、抵抗 $R_1$ 、$R_2$ 、$R_3$ にかかる電圧と流れる電流を分圧の法則から求めることができました。

 

 

 

このページの回路と同じ回路を、分流の法則による直流回路の計算のページでは分流の法則を使って、また、ループ解析(基本)のページではループ解析を使って計算していますので参考にしてみてください。
直流回路を解く解き方にはいろいろな計算方法があることが分かるかと思います。(もちろん計算結果はどれも同じになります。)

 

そもそも分圧って何でしたっけ?という方は、こちらの直流回路の計算(分圧と分流)のページを参考にしてみてください。

 

 


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