電気のお勉強｜直流回路｜ループ解析（基本）

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ループ解析とはキルヒホッフの第二法則（電圧則）を応用した電気回路の解析方法で、このループ解析をおぼえておくと、回路が複雑であっても機械的に解くことができるので実務でも役に立ちます。
（ただし、回路によっては式の数が多くなり、計算がちょっと大変になることもあります。）

 

ちなみに解析とは、電気回路中の各部の電圧、電流を求めることなどをいい「回路を解く」とほぼ同じ意味と考えてもらっていいです。

ループ解析の基本的な手順は、次のようになります。

 

 

それでは、実際にこの手順に従ってループ解析をしてみます。

 

例えば次のような回路があるとして、それぞれの抵抗 $R_1$ 、$R_2$ 、$R_3$ にかかる電圧と、抵抗 $R_1$ 、$R_2$ 、$R_3$ に流れる電流をループ解析で求めます。

 

 

次のようにループ①とループ②を考え、それぞれのループに流れる電流を $I_1$ 、$I_2$ と仮定します。

 

 

このとき、電流が流れる向き も仮定することに注意してください。ここでは、ループ①、ループ②ともに時計回りを正としています。

 

また、$R_2$ にはループ①の電流とループ②の電流があるので、$R_2$ に実際に流れる電流を求めるときは、ループ①に流れる電流 $I_1$ からループ②に流れる電流 $I_2$ を引いて求めます。

 

ループ①の回路方程式は、次のようになります。

 

$V = R_1 I_1 + R_2 \left( I_1 - I_2 \right)$　…（$\mathrm{A}$）
（↑$R_2$ に流れる電流 $I_1$ と $I_2$ は互いに逆向きなので引き算しています。）

 

ループ②の回路方程式は、次のようになります。

 

$0 = R_3 I_2 + R_2 \left( I_2 - I_1 \right)$　…（$\mathrm{B}$）
（↑電源がないループなので左辺はゼロになります。電流の符号にも注意しましょう。）

 

（$\mathrm{A}$）と（$\mathrm{B}$）の連立方程式

 

$\left\{ \begin{array}{l} V = R_1 I_1 + R_2 \left( I_1 - I_2 \right) \text{…（} \mathrm{A} \text{）} \\ 0 = R_3 I_2 + R_2 \left( I_2 - I_1 \right) \text{…（} \mathrm{B} \text{）} \end{array} \right.$

 

を電流 $I_1$ 、$I_2$ について解けば、ループ①とループ②の電流が求められます。

 

（$\mathrm{A}$）式より、

 

$V = R_1 I_1 + R_2 I_1 - R_2 I_2$　、　$V = \left( R_1 + R_2 \right) I_1 -R_2 I_2$　、　$\left( R_1 + R_2 \right) I_1 = V + R_2 I_2$

 

$\therefore I_1 = \dfrac{V +R_2 I_2}{R_1 + R_2}$　…（$\mathrm{C}$）

 

（$\mathrm{B}$）式より、

 

$\therefore 0 = R_3 I_2 + R_2 I_2 - R_2 I_1$　…（$\mathrm{D}$）

 

（$\mathrm{C}$）を（$\mathrm{D}$）式に代入すると、

 

$0 = R_3 I_2 + R_2 I_2 - R_2 \cdot \dfrac{V +R_2 I_2}{R_1 + R_2}$

 

$0 = R_3 I_2 + R_2 I_2 - \dfrac{R_2 V +{R_2}^2 I_2}{R_1 + R_2}$

 

$0 = R_3 I_2 + R_2 I_2 - \dfrac{R_2 V}{R_1 + R_2}$ $- \dfrac{{R_2}^2}{R_1 + R_2} I_2$

 

$\left( R_3 + R_2 - \dfrac{{R_2}^2}{R_1 + R_2} \right) I_2$ $= \dfrac{R_2 V}{R_1 + R_2}$

 

$\dfrac{\left( R_3 + R_2 \right) \left( R_1 + R_2 \right) - {R_2}^2}{R_1 + R_2} I_2$ $= \dfrac{R_2 V}{R_1 + R_2}$

 

$\left( R_1 R_3 + R_2 R_3 + R_1 R_2 + {R_2}^2 - {R_2}^2 \right) I_2$ $= R_2 V$

 

$\therefore I_2 = \dfrac{R_2 V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$　…（$\mathrm{E}$）　（←ループ②の電流 $I_2$ の式）

 

電流 $I_2$ の式が求められたので、（$\mathrm{E}$）を（$\mathrm{C}$）式に代入して電流 $I_1$ の式を求めます。

 

$I_1$ $= \dfrac{V + R_2 \cdot \dfrac{R_2 V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}}{R_1 + R_2}$ $= \dfrac{\dfrac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3 +{R_2}^2}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3} V}{R_1 + R_2}$

 

$= \dfrac{\left( R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3 + {R_2}^2 \right) V}{\left( R_1 + R_2 \right) \left( R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3 \right)}$ $= \dfrac{\left\{ R_1 \left( R_2 + R_3 \right) + R_2 \left( R_2 + R_3 \right) \right\} V}{\left( R_1 + R_2 \right) \left( R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3 \right)}$

 

$= \dfrac{\left( R_2 + R_3 \right) \left( R_1 + R_2 \right) V}{\left( R_1 + R_2 \right) \left( R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3 \right)}$

 

$\therefore I_1 = \dfrac{\left( R_2 + R_3 \right) V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$　…（$\mathrm{F}$）　（←ループ①の電流 $I_1$ の式）

 

したがって（$\mathrm{E}$）、（$\mathrm{F}$）より、ループ①とループ②の電流 $I_1$ 、$I_2$ は、

 

$\therefore$ ループ①の電流： $I_1 = \dfrac{\left( R_2 + R_3 \right) V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$　［$ \mathrm{A} $］　…（$\mathrm{G}$）

 

$\therefore$ ループ②の電流： $I_2 = \dfrac{R_2 V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$　［$ \mathrm{A} $］　…（$\mathrm{H}$）

 

となります。

 

$R_1$ に流れる電流は、ループ①に流れる電流そのままなので、

 

 

$R_2$ に流れる電流の向きを下向きを正と仮定すると、$R_2$ に流れる電流は $I_1$ から $I_2$ を引いた値になるので、

 

$R_2$ に流れる電流 $= I_1 - I_2$

 

$= \dfrac{\left( R_2 + R_3 \right) V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$ $- \dfrac{R_2 V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$ $= \dfrac{R_2 V + R_3 V - R_2 V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$

 

 

$R_3$ に流れる電流は、ループ②に流れる電流そのままなので、

 

 

④で各素子（ $R_1$ 、$R_2$ 、$R_3$ ）に流れる電流が求められたので、求めた電流から各素子にかかる電圧を求めます。

 

$R_1$ にかかる電圧は、$R_1$ に流れる電流が（$\mathrm{I}$）式で与えられるので、

 

$R_1$ にかかる電圧 $= \dfrac{\left( R_2 + R_3 \right) V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3} \times R_1$

 

 

$R_2$ にかかる電圧は、$R_2$ に流れる電流が（$\mathrm{J}$）式で与えられるので、

 

$R_2$ にかかる電圧 $= \dfrac{R_3 V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3} \times R_2$

 

 

$R_3$ にかかる電圧は、$R_3$ に流れる電流が（$\mathrm{K}$）式で与えられるので、

 

$R_3$ にかかる電圧 $= \dfrac{R_2 V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3} \times R_3$

 

 

以上（$\mathrm{I}$）〜（$\mathrm{N}$）より、$R_1$ 、$R_2$ 、$R_3$ にかかる電圧と流れる電流をループ解析で求めることができました。

 

 

このページの回路と同じ回路を、分圧の法則による直流回路の計算のページでは分圧の法則を使って、また、分流の法則による直流回路の計算のページでは分流の法則を使って計算していますので参考にしてみてください。
直流回路を解く解き方にはいろいろな計算方法があることが分かるかと思います。（もちろん計算結果はどれも同じになります。）

 

キルヒホッフの第二法則については、こちらのキルヒホッフの法則のページを参考にしてみてください。

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