分流の法則による直流回路の計算

次の図のように、電源電圧 $V$[$ \mathrm{V} $]に「抵抗 $R_1$ 」と「抵抗 $R_2$ と $R_3$ の並列接続」が直列に接続されている回路について考えます。

 

分流の法則による直流回路の計算(回路図)

 

この回路において、各抵抗 $R_1$ 、$R_2$ 、$R_3$ にかかる電圧 $V_1$ 、$V_2$ 、$V_3$ 、および各抵抗 $R_1$ 、$R_2$ 、$R_3$ に流れる電流 $I_1$ 、$I_2$ 、$I_3$ を分流の法則を使って求めてみます。

 

抵抗 $R_1$ を通った電流 $I_1$ は、下図の接続点($\mathrm{A}$)で抵抗 $R_2$ と $R_3$ を流れる電流 $I_2$ と $I_3$ に分かれます(分流)。

 

接続点(A)の説明図

 

このとき、電流 $I_2$ と $I_3$ は、分流の法則よりそれぞれ次式で与えられます。

 

$I_2 = I_1 \times \dfrac{R_3}{R_2 + R_3}$  $\therefore I_2 = \dfrac{R_3 I_1}{R_2 + R_3}$ …①

 

$I_3 = I_1 \times \dfrac{R_2}{R_2 + R_3}$  $\therefore I_3 = \dfrac{R_2 I_1}{R_2 + R_3}$ …②

 

①、②式を見ると分かるように、電流 $I_2$ 、$I_3$ を求めるためには電流 $I_1$ の値を求める必要があります。
電流 $I_1$ は回路全体に流れる電流であるので、回路全体の合成抵抗 $R_0$ を求めて、電源電圧 $V$ を合成抵抗 $R_0$ で割ると電流 $I_1$ を求めることができます。($\because$ オームの法則)

 

回路全体の合成抵抗の回路図とオームの法則

 

それではまず、合成抵抗 $R_0$ を求めます。

 

抵抗 $R_2$ と $R_3$ が並列接続で、それに抵抗 $R_1$ が直列接続されているので、回路全体の合成抵抗 $R_0$ は次式となります。

 

$R_0 = R_1 + \dfrac{R_2 R_3}{R_2 + R_3}$ $= \dfrac{R_1 \left( R_2 + R_3 \right) + R_2 R_3}{R_2 + R_3}$ $= \dfrac{R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3}{R_2 + R_3}$

 

$\therefore R_0 = \dfrac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}{R_2 + R_3}$ …③

 

これで合成抵抗 $R_0$ が求められました。

 

合成抵抗 $R_0$ が求められたので、電圧 $V$ を合成抵抗 $R_0$ で割って電流 $I_1$ を求めます。

 

$I_1 = \dfrac{V}{R_0} = \dfrac{V}{\dfrac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}{R_2 + R_3}}$ $= \dfrac{\left( R_2 + R_3 \right) V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$

 

$\therefore I_1 = \dfrac{\left( R_2 + R_3 \right) V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$ [$ \mathrm{A} $] …④

 

電流 $I_1$ が求められたので、次に電流 $I_2$ 、$I_3$ を求めます。

 

④を①式に代入して、

 

$I_2 = \dfrac{R_3}{R_2 + R_3}$ $\times \dfrac{\left( R_2 + R_3 \right) V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$ $= \dfrac{R_3 V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$

 

$\therefore I_2 = \dfrac{R_3 V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$ [$ \mathrm{A} $] …⑤

 

④を②式に代入して、

 

$I_3 = \dfrac{R_2}{R_2 + R_3}$ $\times \dfrac{\left( R_2 + R_3 \right) V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$ $= \dfrac{R_2 V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$

 

$\therefore I_3 = \dfrac{R_2 V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$ [$ \mathrm{A} $] …⑥

 

次に各抵抗 $R_1$ 、$R_2$ 、$R_3$ にかかる電圧 $V_1$ 、$V_2$ 、$V_3$ を求めます。

 

各抵抗 $R_1$ 、$R_2$ 、$R_3$ に流れる電流 $I_1$ 、$I_2$ 、$I_3$ が求められているので、あとはオームの法則で各電圧を求められます。

 

$V_1 = R_1 \times I_1$ $= R_1 \times \dfrac{\left( R_2 + R_3 \right) V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$ $= \dfrac{R_1 \left( R_2 + R_3 \right) V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$

 

$\therefore V_1 = \dfrac{R_1 \left( R_2 + R_3 \right) V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$ [$ \mathrm{V} $] …⑦

 

$V_2 = R_2 \times I_2$ $= R_2 \times \dfrac{R_3 V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$ $= \dfrac{R_2 R_3 V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$

 

$\therefore V_2 = \dfrac{R_2 R_3 V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$ [$ \mathrm{V} $] …⑧

 

$V_3 = R_3 \times I_3$ $= R_3 \times \dfrac{R_2 V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$ $= \dfrac{R_2 R_3 V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$

 

$\therefore V_3 = \dfrac{R_2 R_3 V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$ [$ \mathrm{V} $] …⑨

 

以上④〜⑨より、抵抗 $R_1$ 、$R_2$ 、$R_3$ にかかる電圧と流れる電流を分流の法則から求めることができました。

 

補足

電圧V2とV3について

抵抗 $R_2$ と $R_3$ は並列に接続されているので、求めた電圧 $V_2$ と $V_3$ は同じ大きさの電圧になります。

 

 

 

このページの回路と同じ回路を、分圧の法則による直流回路の計算のページでは分圧の法則を使って、また、ループ解析(基本)のページではループ解析を使って計算していますので参考にしてみてください。
直流回路を解く解き方にはいろいろな計算方法があることが分かるかと思います。(もちろん計算結果はどれも同じになります。)

 

そもそも分流って何でしたっけ?という方は、こちらの直流回路の計算(分圧と分流)のページを参考にしてみてください。

 

 


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