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交流回路の合成インピーダンスの計算(RLC並列回路)

回路の素子が3個(抵抗 $R$、コイル $L$、コンデンサ $C$)並列接続されたRLC並列回路の合成インピーダンスを計算してみます。

 

抵抗RとコイルLとコンデンサCの並列回路の合成インピーダンス(RLC並列回路)

RLC並列回路の合成インピーダンス

RLC並列回路は、抵抗 $R$ とコイル $L$ とコンデンサ $C$ が並列に接続された回路で、次のような回路になります。

 

抵抗RとコイルLとコンデンサCが並列接続の回路

 

並列接続なので、この回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ は、それぞれのインピーダンスの逆数を足して、それの逆数をとれば 求められます。(※インピーダンスの逆数をアドミタンスといいます。)

 

したがって、抵抗 $R$ のインピーダンスの逆数は $\dfrac{1}{R}$、コイル $L$ のインピーダンスの逆数は $\dfrac{1}{j \omega L}$、コンデンサ $C$ のインピーダンスの逆数は $j \omega C$ なので、RLC並列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ は次の式で与えられます。($\omega$ は角周波数($\omega = 2 \pi f$)です。)

 

$\dfrac{1}{\dot{Z}} = \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{j \omega L} + j \omega C$

 

あとはこの式を整理して、$\dot{Z} = \cdots$ にすれば合成インピーダンスを求めることができます。

 

$\dfrac{1}{\dot{Z}} = \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{j \omega L} + j \omega C$ $= \dfrac{j \omega L + R + j \omega C \cdot j \omega R L}{j \omega R L}$ $= \dfrac{R + j \omega L + j^2 \omega^2 R L C}{j \omega R L}$

 

$= \dfrac{R + j \omega L - \omega^2 R L C}{j \omega R L}$ $= \dfrac{R - \omega^2 R L C + j \omega L}{j \omega R L}$ $= \dfrac{R \left( 1 - \omega^2 L C \right) + j \omega L}{j \omega R L}$

 

分母と分子をひっくり返して、 $\dot{Z} = \dfrac{j \omega R L}{R \left( 1 - \omega^2 L C \right) + j \omega L}$

 

この式を虚数単位 $j$ で整理したいので、分母と分子に $\left\{ R \left( 1 - \omega^2 L C \right) - j \omega L \right\}$ をかけると、

 

$\dot{Z} = \dfrac{j \omega R L \left\{ R \left( 1 - \omega^2 L C \right) - j \omega L \right\}}{\left\{ R \left( 1 - \omega^2 L C \right) + j \omega L \right\} \left\{ R \left( 1 - \omega^2 L C \right) - j \omega L \right\}}$

 

$= \dfrac{j \omega R L \cdot R \left( 1 - \omega^2 L C \right) - j \omega R L \cdot j \omega L}{R \left( 1- \omega^2 L C \right) \cdot R \left( 1 - \omega^2 L C \right) - R \left( 1 - \omega^2 L C \right) \cdot j \omega L +j \omega L \cdot R \left( 1 - \omega^2 L C \right) - j \omega L \cdot j \omega L}$

 

$= \dfrac{j \omega R^2 L \left( 1 - \omega^2 L C \right) - j^2 \omega^2 R L^2}{R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 - j \omega R L \left( 1 - \omega^2 L C \right) + j \omega R L \left( 1 - \omega^2 L C \right) - j^2 \omega^2 L^2}$

 

$= \dfrac{\omega^2 R L^2 + j \omega R^2 L \left( 1 - \omega^2 L C \right)}{R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2}$

 

$= \dfrac{\omega^2 R L^2}{R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2}$ $+ j \dfrac{\omega R^2 L \left( 1 - \omega^2 L C \right)}{R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2}$

 

したがって、RLC並列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ は、

 

$\therefore \dot{Z} = \dfrac{\omega^2 R L^2}{R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2}$ $+ j \dfrac{\omega R^2 L \left( 1 - \omega^2 L C \right)}{R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2}$ [$ \mathrm{\Omega} $] …@

 

となります。めんどくさそうな式になっちゃいましたね。

 

RLC並列回路の合成インピーダンスの大きさ

RLC並列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ の大きさは、@式の絶対値を求めればいいので、

 

$| \dot{Z} | = \sqrt{\left\{ \dfrac{\omega^2 R L^2}{R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2} \right\}^2 + \left\{ \dfrac{\omega R^2 L \left( 1 - \omega^2 L C \right)}{R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2} \right\}^2}$

 

$= \sqrt{\dfrac{\omega^4 R^2 L^4}{\left\{ R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2 \right\}^2} + \dfrac{\omega^2 R^4 L^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2}{\left\{ R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2 \right\}^2}}$

 

$= \sqrt{\dfrac{\omega^4 R^2 L^4 + \omega^2 R^4 L^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2}{\left\{ R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2 \right\}^2}}$ $= \sqrt{\dfrac{\omega^2 R^2 L^2 \left\{ \omega^2 L^2 + R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 \right\}}{\left\{ R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2 \right\}^2}}$

 

$= \sqrt{\dfrac{\omega^2 R^2 L^2 \left\{ R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2 \right\}}{\left\{ R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2 \right\}^2}}$ $= \sqrt{\dfrac{\omega^2 R^2 L^2}{R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2}}$

 

$= \dfrac{\omega R L}{\sqrt{R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2}}$

 

したがって、RLC並列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ の大きさは、

 

$\therefore | \dot{Z} | = \dfrac{\omega R L}{\sqrt{R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2}}$ [$ \mathrm{\Omega} $]

 

となります。

 

 


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RLC並列回路の合成インピーダンスのベクトル図

RLC並列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトル図を書くときは、@式の虚部($j$ にかかるところ)が正になるか?負になるか?またはゼロになるか?によって合成インピーダンス $\dot{Z}$ の ベクトルの向きが変わる ので、ちょっと注意が必要ですよ。

 

つまり、@式の虚部が正のとき、負のとき、ゼロのときで、場合分けして考えなければならないということです。ちょっとめんどくさいですね。

 

まず、@式の虚部をみてみましょう。虚部は、

 

$\text{@式の虚部} = \dfrac{\omega R^2 L \left( 1 - \omega^2 L C \right)}{R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2}$ …A

 

ですね。

 

このA式が正になるとか負になるとかの条件が分かればいいのですが…

 

A式をじ〜っとみましょう。

 

みました?

 

すると、A式はこんな式になってますよね?

 

A式(@式の虚部)の説明

 

2乗されているところは2乗なので「正」になります。

 

それから、$\omega \gt 0$、$R \gt 0$、$L \gt 0$ なので、$\omega R^2 L$ も「正」になります。

 

虚部で正にも負にもゼロにもなるのは($1 - \omega^2 L C$)ですね。

 

つまり、この($1 - \omega^2 L C$)が正のときは@式の虚部が 、($1 - \omega^2 L C$)が負のときは@式の虚部が 、($1 - \omega^2 L C$)がゼロのときは@式の虚部が ゼロ になります。

 

なので、場合分けは、($1 - \omega^2 L C$)が正か負かゼロかで分ければいいです。

 

ちなみに、@式の実部はどうなの? @式の実部は、

 

$\text{@式の実部} = \dfrac{\omega^2 R L^2}{R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2}$

 

ですね。 これは、

 

@式の実部の説明

 

となるので、A式の実部は常に になりますよ。

 

それでは、それぞれの場合で場合分けしてベクトル図を書いてみます。

 

($\mathrm{A}$)$1 - \omega^2 L C \gt 0$ のとき

$1 - \omega^2 L C \gt 0$ のときは@式の $j$ にかかる値が ということになるので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトルは、次のように右上向きになります。

 

1−ω2LC>0 のときのRLC並列回路の合成インピーダンスのベクトル図

 

($\mathrm{B}$)$1 - \omega^2 L C \lt 0$ のとき

$1 - \omega^2 L C \lt 0$ のときは@式の $j$ にかかる値が ということになるので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトルは、次のように右下向きになります。

 

1−ω2LC<0 のときのRLC並列回路の合成インピーダンスのベクトル図

 

($\mathrm{C}$)$1 - \omega^2 L C = 0$ のとき

$1 - \omega^2 L C = 0$ のときは@式の $j$ にかかる値が ゼロ になるので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ は…
どうなるの?

 

合成インピーダンスの式(@式)をもう一度みてみると、@式は、

 

$\dot{Z} = \dfrac{\omega^2 R L^2}{R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2}$ $+ j \dfrac{\omega R^2 L \left( 1 - \omega^2 L C \right)}{R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2}$ …@

 

今考えているのは、$1 - \omega^2 L C = 0$ のときなので、@式の虚部はゼロになります。

 

ここで、@式の実部にも $1 - \omega^2 L C = 0$ を代入してみます。すると、

 

$\text{@式の実部} = \dfrac{\omega^2 R L^2}{R^2 \left( 1 - \omega^2 L C \right)^2 + \omega^2 L^2}$ $= \dfrac{\omega^2 R L^2}{R^2 \times 0^2 + \omega^2 L^2}$ $= \dfrac{\omega^2 R L^2}{\omega^2 L^2}$ $= R$

 

となります。

 

なので、$1 - \omega^2 L C = 0$ のときの合成インピーダンス $\dot{Z}$ は、$\dot{Z} = R$ になっちゃうんですね。

 

ベクトル図を書くと、

 

1−ω2LC=0 のときのRLC並列回路の合成インピーダンスのベクトル図

 

となります。

 

$1 - \omega^2 L C = 0$ の条件を満たす周波数は反共振周波数なので、コイル $L$ とコンデンサ $C$ の並列回路部分は開放状態と同じになってしまうので、結果的に抵抗 $R$ だけになってしまいます。

 

開放状態の回路図

 

補足|グラフの横軸と縦軸について

グラフの横軸と縦軸に書いてある[$\mathrm{Re}$]と[$\mathrm{Im}$]は、複素平面の実軸と虚軸という意味です。複素平面の実軸には複素数の実部が対応し、虚軸には複素数の虚部が対応します。

 

グラフ(複素平面)の縦軸と横軸の説明図(実軸と虚軸)

 

ちなみに、複素平面は、ガウス平面とか複素数平面ともいいます。

 

 

 

以上が素子3個を並列接続したRLC並列回路の合成インピーダンスになります。

 

$1 - \omega^2 L C = 0$ のときのRLC並列回路の合成インピーダンスは、抵抗 $R$ だけになることをおぼえておきましょう。これってものすご〜く大事ですよ!

 

R、L、Cのインピーダンスはこちら
RL直列回路、RC直列回路、LC直列回路の合成インピーダンスはこちら
RL並列回路、RC並列回路、LC並列回路の合成インピーダンスはこちら
RLC直列回路の合成インピーダンスはこちら
RLC並列共振回路はこちら

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