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交流回路の合成インピーダンスの計算(RLC並列回路)

回路の素子(抵抗R、コイルL、コンデンサC)が3個並列接続されたRLC並列回路の合成インピーダンスを計算してみます。

 

抵抗RとコイルLとコンデンサCの並列回路の合成インピーダンス(RLC並列回路)

RLC並列回路の合成インピーダンス

抵抗RとコイルLとコンデンサCが並列接続なので回路は次のようになります。

 

抵抗RとコイルLとコンデンサCが並列接続の回路

 

並列接続なので合成インピーダンスを求めるためには、それぞれのアドミタンス(=インピーダンスの逆数)を足して、その逆数をとればいいですね。

 

すると、求めたいRLC並列回路の合成インピーダンスの式は次のように与えられます。

 

RLC並列回路の合成インピーダンスを与える式

 

あとはこの式を整理してZ=・・・にしてあげればいいです。

 

RLC並列回路の合成インピーダンスの式の計算@

 

RLC並列回路の合成インピーダンスの式の計算A

 

ひっくり返して、

 

RLC並列回路の合成インピーダンスの式・・・@

 

これを虚数「j」で整理したいので、@式の分母子に{R(1−ω2LC)−jωL}をかけますよ。

 

RLC並列回路の合成インピーダンスの式の計算B

 

RLC並列回路の合成インピーダンスの式の計算C

 

RLC並列回路の合成インピーダンスの式の計算D

 

RLC並列回路の合成インピーダンスの式の計算D

 

したがって、求めたいRLC並列回路の合成インピーダンスは、

 

RLC並列回路の合成インピーダンス

 

となります。 (めんどくさそうな式になっちゃいましたね)

 

RLC並列回路の合成インピーダンスの大きさ

RLC並列回路の合成インピーダンスの大きさは、A式の絶対値を求めればいいですね。

 

RLC並列回路の合成インピーダンスの大きさの計算@

 

RLC並列回路の合成インピーダンスの大きさの計算A

 

RLC並列回路の合成インピーダンスの大きさの計算B

 

RLC並列回路の合成インピーダンスの大きさの計算C

 

したがって、RLC並列回路の合成インピーダンスの大きさは、

 

RLC並列回路の合成インピーダンスの大きさ

 

となります。

 

RLC並列回路の合成インピーダンスのベクトル図

RLC並列回路の合成インピーダンスのベクトル図を書くときは、A式の虚部(「j」にかかるところ)の符号、値によって合成インピーダンスのベクトルの向きが変わるので、虚部が正とか負とかゼロとかで場合分けして考えなければなりません。ちょっと注意が必要ですよ。

 

まず、A式の虚部を見てみましょう。 虚部は、

 

A式の虚部

 

ですね。

 

このB式が正になるとか負になる条件が分かればいいのですが・・・

 

B式をじ〜っとみましょう。

 

みました?

 

すると、B式はこんな式になってますよね?

 

A式の虚部の説明

 

2乗されているところは2乗なので「正」になります。

 

それから、ω>0、R>0、L>0なので、ωR2Lも「正」になります。

 

虚部で正にも負にもゼロにもなるのは(1−ω2LC)ですね。

 

つまり、この(1−ω2LC)が正のときはA式の虚部が「正」、(1−ω2LC)が負のときはA式の虚部が「負」、(1−ω2LC)がゼロのときはA式の虚部がゼロになります。

 

なので、場合分けは(1−ω2LC)が正か負かゼロかで分ければいいです。

 

ちなみに、A式の実部はどうなの? A式の実部は、

 

A式の実部

 

ですね。 これは、

 

A式の実部の説明

 

となるので、A式の実部は常に「正」になりますよ。

 

それでは、それぞれの場合で場合分けしてベクトル図を書いてみます。

 

(A)1−ω2LC>0 のとき
1−ω2LC>0 のときは「j」にかかる値が正になるので、合成インピーダンスのベクトルは右上向きになります。

 

1−ω2LC>0 のときのRLC並列回路の合成インピーダンスのベクトル図

 

(B)1−ω2LC<0 のとき
1−ω2LC<0 のときは「j」にかかる値が負になるので、合成インピーダンスのベクトルは右下向きになります。

 

1−ω2LC<0 のときのRLC並列回路の合成インピーダンスのベクトル図

 

(C)1−ω2LC=0 のとき
1−ω2LC=0 のときは「j」にかかる値がゼロになるので、合成インピーダンスは・・・
どうなるの?

 

合成インピーダンスの式(A式)をもう一度みてみると、A式は、

 

合成インピーダンスの式(A式)

 

今考えているのは、1−ω2LC=0 のときなので、A式の虚部はゼロになります。

 

それで実部にも1−ω2LC=0 を代入します。 すると、

 

A式の実部に1−ω2LC=0を代入した式の展開

 

となります。

 

なので、1−ω2LC=0のときの合成インピーダンスは、Z=Rになっちゃうんですね。

 

ベクトル図を書くと、

 

1−ω2LC=0 のときのRLC並列回路の合成インピーダンスのベクトル図

 

となります。

 

1−ω2LC=0 の条件を満たす周波数は反共振周波数なので、コイルLとコンデンサCの並列回路部分は開放状態と同じになってしまうので、結果的に抵抗Rだけになってしまいます。

 

開放状態の回路図

 

 

 

R、L、Cのインピーダンスはこちら
RL直列回路、RC直列回路、LC直列回路の合成インピーダンスはこちら
RL並列回路、RC並列回路、LC並列回路の合成インピーダンスはこちら
RLC直列回路の合成インピーダンスはこちら
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