このエントリーをはてなブックマークに追加   

三相電力の公式はなぜ√3倍なのか?(三相電力の公式の導出)

三相電力の公式

三相電力の公式は次の@式で表わされますよね?

 

三相電力の公式・・・@
(P3L:三相電力、VL:線間電圧、IL:線電流、cosφ:力率)

 

それで、この@式は三相電力の問題を解くときなどによく使っていると思いますが、@式を見ると右辺は√3倍されています。

 

この√3を見て、

 

なんで√3なの?

 

と、思ったりしたことないですか? えっ? ない?

 

思ったことがある人もいると思うので、ここでは三相電力の公式を導出してみようと思います。

 

ちなみに@式はスター結線(Y結線)でもデルタ結線(Δ結線)でも、どちらでも使える公式です。

 

三相電力の公式の導出(なんで√3?)

三相電力の公式(@式)の電圧と電流はそれぞれ、電圧=線間電圧、電流=電流で与えられています。ここが√3になるポイントになるので、頭のすみっこでおぼえておきましょう。

 

それでは三相電力の公式の導出です。

 

まず、単相電力について考えてみます。単相電力の式は次のA式になります。

 

単相電力の式・・・A
(P1:単相電力、V:電圧、I:電流、cosφ:力率)

 

単相回路の図

 

三相電力は単相電力3つ分の電力になるので、つまり、

 

三相電力=3×単相電力

 

となります。これを式で書いてみると次のB式になります。

 

単相電力3つ分の電力の式・・・B
(P3P:三相電力、VP:相電圧、IP:相電流、cosφ:力率)

 

三相回路の図

 

ここでB式の電圧と電流はそれぞれ、電圧=電圧、電流=電流で与えられていることに注意しましょう!

 

それで、このB式ももちろん三相電力の式なんですが、よく使っている三相電力の公式とはちょっと違いますよね? 並べてもう一度書いてみますよ。

 

よく使う三相電力の公式・・・@

 

単相電力3つ分で表わした三相電力の式・・・B

 

見比べてみると、@式の電圧と電流はそれぞれ電圧=線間電圧、電流=電流、B式の電圧と電流はそれぞれ電圧=電圧、電流=電流になっていますね。

 

ということは、B式の電圧、電流をそれぞれ電圧=線間電圧、電流=電流で表わせば、@式になるかも?
なんて、思いませんか?

 

それでは、B式を線間電圧と線電流で表わしてみることにしましょう。

 

っと、その前に、三相の結線にはスター結線(Y結線)とデルタ結線(Δ結線)があるので、それぞれ分けて計算します。まずはスター結線から。

 

 


スポンサーリンク




 

 

スター結線

電源側、負荷側ともにスター結線としたときの回路図は次のようになります。

 

三相回路(スター結線)

 

それで、図にも書いていますが、スター結線の場合の相電圧、線間電圧、相電流、線電流の関係は、

 

スター結線のときの相電圧と線間電圧の関係式

 

スター結線のときの相電流と線電流の関係式

 

と、なりますよね。

 

なので、このC、DをB式に代入するとスター結線のときの三相電力を線間電圧、線電流で表わすことができます。

 

では、代入してみましょう。

 

スター結線のときの三相電力の式の展開@

 

スター結線のときの三相電力の式の展開A

 

スター結線のときの三相電力の式・・・E

 

ほ〜らね、三相電力の公式(√3をかける式)になっちゃいました。

 

次はデルタ結線のときはどうなるか計算してみます。

 

デルタ結線

電源側、負荷側ともにデルタ結線としたときの回路図は次のようになります。

 

三相回路(デルタ結線)

 

デルタ結線の場合の相電圧、線間電圧、相電流、線電流の関係は、

 

デルタ結線のときの相電圧と線間電圧の関係式

 

デルタ結線のときの相電流と線電流の関係式

 

と、なりますよね。

 

なので、F、GをB式に代入すると、デルタ結線のときの三相電力を線間電圧、線電流で表わすことができます。

 

では、代入してみましょう。

 

デルタ結線のときの三相電力の式の展開@

 

デルタ結線のときの三相電力の式の展開A

 

デルタ結線のときの三相電力の式・・・H

 

デルタ結線のときもスター結線のときと同じように三相電力の公式(√3をかける式)になっちゃいました。

 

したがって、E、H式より、スター結線でもデルタ結線でも、三相電力を線間電圧と線電流で表わすと三相電力の公式(@式)になって、@式の√3というのは相電圧と線間電圧、相電流と線電流の関係から導かれるものだったんですね。

 

 

 

三相電力の公式は、電験三種の「理論」「電力」科目の問題でよく使われる基本的な公式なので、受験する方はおぼえておくようにしましょう。

 

特に、線間電圧だったかな?相電圧だったかな?なんて、アレレになってしまう人は多いですよ。

スポンサーリンク




 


 おすすめ記事



 


このエントリーをはてなブックマークに追加   

三相電力の公式はなぜ√3倍なのか?(三相電力の公式の導出) 関連ページ

交流回路のインピーダンスの計算(素子が1個の場合)
素子(抵抗R、コイルL、コンデンサC)が1個の場合のインピーダンスについて解説しています。素子(R、L、C)が1個なので、計算というほどの計算もなく求められますが、とりあえずインピーダンスの計算の基礎なので・・・。
交流回路の合成インピーダンスの計算(素子が2個直列接続の場合)
素子(抵抗R、コイルL、コンデンサC)が2個直列接続された場合(RL直列回路、RC直列回路,LC直列回路)の合成インピーダンスを計算しています。LC直列回路の場合には、コイルLとコンデンサCのリアクタンスの大きさによって合成インピーダンスのベクトルの向きが変わるので気を付けましょう。
交流回路の合成インピーダンスの計算(素子が2個並列接続の場合)
素子(抵抗R、コイルL、コンデンサC)が2個並列接続された場合(RL並列回路、RC並列回路,LC並列回路)の合成インピーダンスを計算しています。LC並列回路の場合は、条件によって合成インピーダンスのベクトルの向きが変わるので気を付けましょう。各合成インピーダンスのベクトル図も書いていますので、参考にしてみてください。
交流回路の合成インピーダンスの計算(RLC直列回路)
素子(抵抗R、コイルL、コンデンサC)が3個直列接続された場合(RLC直列回路)の合成インピーダンスを計算しています。RLC直列回路の場合、コイルLとコンデンサCのリアクタンスの大きさが同じときには合成インピーダンスは抵抗Rだけになります。これはすごく大事なことなのでおぼえておきましょう!
交流回路の合成インピーダンスの計算(RLC並列回路)
素子(抵抗R、コイルL、コンデンサC)が3個並列接続された場合(RLC並列回路)の合成インピーダンスを計算しています。RLC並列回路の場合、周波数が反共振周波数のときコイルLとコンデンサCの並列回路部分が解放状態と同じになるため、合成インピーダンスは抵抗Rだけになります。
RLC直列共振回路
RLC直列共振回路について解説しています。RLC直列共振回路はフィルタ回路など電気で幅広く応用されている回路ですので、共振周波数など基本的なことだけでもおぼえておくようにしましょう。
RLC並列共振回路
RLC並列共振回路について解説しています。RLC並列共振回路などの共振回路は電気で幅広く応用されている回路ですので、共振周波数など基本的なことだけでもおぼえておくようにしましょう。
正弦波交流波形の実効値はなぜ最大値÷√2か?
正弦波交流波形の実効値を求めるときは最大値を√2で割ればいいですが、では、なぜ√2で割れば実効値になるのでしょうか?正弦波交流波形の実効値が最大値÷√2になることを計算で導いてみましたので参考にしてみてください。全波整流波形、半波整流波形、方形波、のこぎり波についても実効値を計算してみました。
なぜコイルに流れる電流の位相は電圧より90°遅れるのか?
コイルに流れる電流の位相は電圧よりも90°遅れますが、コイルの場合、なぜ電流が電圧よりも90°遅れ位相になるのかを計算で導いています。
なぜコンデンサに流れる電流の位相は電圧より90°進むのか?
コンデンサに流れる電流の位相は電圧よりも90°進みますが、コンデンサの場合、なぜ電流が電圧よりも90°進み位相になるのかを計算で導いています。
有効・無効・皮相電力
交流回路には「有効電力」「無効電力」「皮相電力」の3種類の電力があります。それぞれの電力の求め方と、3つの電力の関係について解説しています。
力率とは?(力率と電力の関係)
交流回路の勉強をしていると「力率」がでてきますが、力率って何でしょうか?力率の式の表し方には色々ありますが、ここでは、力率と皮相電力、有効電力、無効電力の関係とその関係式などについて解説します。
力率とは?(力率と位相の関係)
交流回路の勉強をしていると「力率(cosΘ)」がでてきますが、力率って何でしょうか?力率の式の表し方には色々ありますが、ここでは、位相と力率の関係について抵抗、コイル、コンデンサの回路を例に解説しています。
波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の求め方
波形は色々ありますが、その波形の特性を表わす値として実効値、平均値、最大値、波形率、波高率などがあります。ここでは、波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の定義式、求め方について解説しています。
正弦波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法
波形は色々ありますが、その波形の特性を表わす値として実効値、平均値、最大値、波形率、波高率などがあります。ここでは、正弦波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法、求め方について解説しています。
全波整流波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法
波形は色々ありますが、その波形の特性を表わす値として実効値、平均値、最大値、波形率、波高率などがあります。ここでは、全波整流波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法、求め方について解説しています。
半波整流波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法
半波整流波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法、求め方について解説しています。波形の特性を表わす値として実効値、平均値、最大値、波形率、波高率などがありますが、これらは大事な値ですので、求め方、計算方法をおぼえておきましょう。
方形波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法
方形波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法、求め方について解説しています。方形波波形の場合、実効値と平均値と最大値が同じ値、波形率と波高率が同じ値になります。ちなみに、方形波と矩形波は同じです。
のこぎり波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法
のこぎり波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法、求め方について解説しています。のこぎり波波形の実効値と平均値を求めるためには、のこぎり波波形の式から考えないといけないので、他の波形よりも計算がちょっと大変です。
スター結線(Y結線)の線間電圧はなぜ相電圧の√3倍になるのか?
スター結線(Y結線)されている三相交流回路の線間電圧は相電圧の√3倍になりますが、なぜ√3倍になるのか?スター結線のときの線間電圧と相電圧のベクトル図を求め、求めたベクトル図から√3倍になる理由について解説しています。