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交流回路の合成インピーダンスの計算(素子が2個並列接続の場合)

回路の素子(抵抗 $R$、コイル $L$、コンデンサ $C$)が2個並列接続されている場合の合成インピーダンスを計算してみます。

 

抵抗RとコイルLの並列回路の合成インピーダンス(RL並列回路)

RL並列回路の合成インピーダンス

RL並列回路は、抵抗 $R$ とコイル $L$ が並列に接続された回路で、次のような回路になります。

 

抵抗RとコイルLが並列接続の回路

 

並列接続なので、この回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ は、それぞれのインピーダンスの逆数を足して、それの逆数をとれば 求められます。(※インピーダンスの逆数をアドミタンスといいます。)

 

この計算方法って、並列接続された抵抗の合成抵抗を求めるときと同じやり方なんですよね。(合成抵抗の場合、抵抗の逆数を足して、それを逆数にする。みたいな。)

 

ちょっと話はそれますが、次のように2つの抵抗が並列に接続された回路があるとします。

 

抵抗が2つ並列接続された回路

 

すると、この回路の合成抵抗 $R$ って、次のように求めますよね?

 

$\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}$ …@  $\dfrac{1}{R} = \dfrac{R_2 + R_1}{R_1 R_2}$

 

分母と分子をひっくり返して、 $\therefore R = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ (←合成抵抗が求められた)

 

このやり方と同じようにすると、並列接続の回路の合成インピーダンスを求めることができます。

 

なので、RL並列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ は、@式と同じような次の式で与えられます。($\omega$ は角周波数($\omega = 2 \pi f$)です。)

 

RL並列回路の合成インピーダンスを与える式

 

あとはこの式を整理して、$\dot{Z} = \cdots$ にすれば合成インピーダンスを求めることができます。

 

$\dfrac{1}{\dot{Z}} = \dfrac{j \omega L + R}{R \cdot j \omega L} = \dfrac{R + j \omega L}{j \omega R L}$

 

分母と分子をひっくり返して、 $\dot{Z} = \dfrac{j \omega R L}{R + j \omega L}$

 

この式を虚数単位 $j$ で整理したいので、分母と分子に $\left( R - j \omega L \right)$ をかけると、

 

$\dot{Z} = \dfrac{j \omega R L \left( R - j \omega L \right)}{\left( R + j \omega L \right) \left( R - j \omega L \right)}$ $= \dfrac{j \omega R^2 L - j \omega R L \cdot j \omega L}{R^2 - j \omega R L + j \omega R L - \left( j \omega L \right)^2}$ $= \dfrac{j \omega R^2 L - j^2 \omega^2 R L^2}{R^2 - \left( j \omega L \right)^2}$

 

$= \dfrac{j \omega R^2 L + \omega^2 R L^2}{R^2 - j^2 \omega^2 L^2}$ $= \dfrac{\omega^2 R L^2 + j \omega R^2 L}{R^2 + \omega^2 L^2}$ $= \dfrac{\omega^2 R L^2}{R^2 + \omega^2 L^2} + j \dfrac{\omega R^2 L}{R^2 + \omega^2 L^2}$

 

したがって、RL並列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ は、

 

$\therefore \dot{Z} = \dfrac{\omega^2 R L^2}{R^2 + \omega^2 L^2} + j \dfrac{\omega R^2 L}{R^2 + \omega^2 L^2}$ [$ \mathrm{\Omega} $] …A

 

となります。ちょっとややこしい式になりましたね。

 

RL並列回路の合成インピーダンスの大きさ

RL並列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ の大きさは、A式の絶対値を求めればいいので、

 

$| \dot{Z} |$ $= \sqrt{\left( \dfrac{\omega^2 R L^2}{R^2 + \omega^2 L^2} \right)^2 + \left( \dfrac{\omega R^2 L}{R^2 + \omega^2 L^2} \right)^2}$ $= \sqrt{\dfrac{\omega^4 R^2 L^4 + \omega^2 R^4 L^2}{\left( R^2 + \omega^2 L^2 \right)^2}}$

 

$= \sqrt{\dfrac{\omega^2 R^2 L^2 \left( \omega^2 L^2 + R^2 \right)}{\left( R^2 + \omega^2 L^2 \right)^2}}$ $= \sqrt{\dfrac{\omega^2 R^2 L^2}{R^2 + \omega^2 L^2}}$ $= \dfrac{\omega R L}{\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}}$

 

$\therefore| \dot{Z} | = \dfrac{\omega R L}{\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}}$ [$ \mathrm{\Omega} $]

 

となります。

 

RL並列回路の合成インピーダンスのベクトル図

RL並列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトル図は、合成インピーダンスが $\dot{Z} = \dfrac{\omega^2 R L^2}{R^2 + \omega^2 L^2} + j \dfrac{\omega R^2 L}{R^2 + \omega^2 L^2}$ なので、次のようになります。

 

抵抗RとコイルLが並列接続の回路のインピーダンスのベクトル図

 

$\omega \gt 0$、$R \gt 0$、$L \gt 0$ なので、$\dot{Z} \text{の実部} = \dfrac{\omega^2 R L^2}{R^2 + \omega^2 L^2} \gt 0$、$\dot{Z} \text{の虚部} = \dfrac{\omega R^2 L}{R^2 + \omega^2 L^2} \gt 0$ となり、合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトル(上図の赤色のベクトル)の向きは必ず右上向きになります。

 

RL並列回路の合成インピーダンスのベクトルの範囲

 

補足|グラフの横軸と縦軸について

グラフの横軸と縦軸に書いてある[$\mathrm{Re}$]と[$\mathrm{Im}$]は、複素平面の実軸と虚軸という意味です。複素平面の実軸には複素数の実部が対応し、虚軸には複素数の虚部が対応します。

 

グラフ(複素平面)の縦軸と横軸の説明図(実軸と虚軸)

 

ちなみに、複素平面は、ガウス平面とか複素数平面ともいいます。

 

補足|和分の積で合成インピーダンス?

並列接続された2つの抵抗の合成抵抗を求めるときに、よく和分の積の公式が使われますが、RL並列回路の合成インピーダンスを求めるときも同じように和分の積を使うことができます。(素子が3つ以上のときは和分の積しちゃダメですよ!)
抵抗 $R$ とコイル $L$ のインピーダンスをそれぞれ $R$[$ \mathrm{\Omega} $]、$j \omega L$[$ \mathrm{\Omega} $]とし、この2つで和分の積してみると、

 

$\dfrac{R \times j \omega L}{R + j \omega L}$ $= \dfrac{j \omega R L \left( R - j \omega L \right)}{\left( R + j \omega L \right) \left( R - j \omega L \right)}$ $= \dfrac{j \omega R^2 L + \omega^2 R L^2}{R^2 + \omega^2 L^2}$ $= \dfrac{\omega^2 R L^2}{R^2 + \omega^2 L^2} + j \dfrac{\omega R^2 L}{R^2 + \omega^2 L^2}$

 

$\therefore \dfrac{R \times j \omega L}{R + j \omega L}$ $= \dfrac{\omega^2 R L^2}{R^2 + \omega^2 L^2} + j \dfrac{\omega R^2 L}{R^2 + \omega^2 L^2}$ …B

 

となります。ね? AとBは等しくなっていますよね。

 

 


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抵抗RとコンデンサCの並列回路の合成インピーダンス(RC並列回路)

RC並列回路の合成インピーダンス

RC並列回路は、抵抗 $R$ とコンデンサ $C$ が並列に接続された回路で、次のような回路になります。

 

抵抗RとコンデンサCが並列接続の回路

 

並列接続なので、この回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ も、それぞれのインピーダンスの逆数を足して、それの逆数をとれば 求められます。(※インピーダンスの逆数をアドミタンスといいます。)

 

したがって、抵抗 $R$ のインピーダンスの逆数は $\dfrac{1}{R}$、コンデンサ $C$ のインピーダンスの逆数は $j \omega C$ なので、RC並列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ は次の式で与えられます。

 

$\dfrac{1}{\dot{Z}} = \dfrac{1}{R} + j \omega C$

 

あとはこの式を整理して、$\dot{Z} = \cdots$ にすれば合成インピーダンスを求めることができます。

 

$\dfrac{1}{\dot{Z}} = \dfrac{1}{R} + j \omega C = \dfrac{1 + j \omega R C}{R}$

 

分母と分子をひっくり返して、 $\dot{Z} = \dfrac{R}{1 + j \omega R C}$

 

この式を虚数単位 $j$ で整理したいので、分母と分子に $\left( 1 - j \omega R C \right)$ をかけると、

 

$\dot{Z} = \dfrac{R \left( 1 - j \omega R C \right)}{\left( 1 + j \omega R C \right) \left( 1 - j \omega R C \right)}$ $= \dfrac{R - j \omega R^2 C}{1 - j \omega R C + j \omega R C - \left( j \omega R C \right)^2}$

 

$= \dfrac{R - j \omega R^2 C}{1 - j^2 \omega^2 R^2 C^2}$ $= \dfrac{R - j \omega R^2 C}{1 + \omega^2 R^2 C^2}$ $= \dfrac{R}{1 + \omega^2 R^2 C^2} - j \dfrac{\omega R^2 C}{1 + \omega^2 R^2 C^2}$

 

したがって、RC並列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ は、

 

$\therefore \dot{Z} = \dfrac{R}{1 + \omega^2 R^2 C^2} - j \dfrac{\omega R^2 C}{1 + \omega^2 R^2 C^2}$ [$ \mathrm{\Omega} $] …C

 

となります。

 

RC並列回路の合成インピーダンスの大きさ

RC並列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ の大きさは、C式の絶対値を求めればいいので、

 

$| \dot{Z} |$ $= \sqrt{\left( \dfrac{R}{1 + \omega^2 R^2 C^2} \right)^2 + \left( \dfrac{\omega R^2 C}{1 + \omega^2 R^2 C^2} \right)^2}$ $= \sqrt{\dfrac{R^2 + \omega^2 R^4 C^2}{\left( 1 + \omega^2 R^2 C^2 \right)^2}}$

 

$= \sqrt{\dfrac{R^2 \left( 1 + \omega^2 R^2 C^2 \right)}{\left( 1+ \omega^2 R^2 C^2 \right)^2}}$ $= \sqrt{\dfrac{R^2}{1 + \omega^2 R^2 C^2}}$ $= \dfrac{R}{\sqrt{1 + \omega^2 R^2 C^2}}$

 

$\therefore | \dot{Z} | = \dfrac{R}{\sqrt{1 + \omega^2 R^2 C^2}}$ [$ \mathrm{\Omega} $]

 

となります。

 

RC並列回路の合成インピーダンスのベクトル図

RC並列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトル図は、合成インピーダンスが $\dot{Z} = \dfrac{R}{1 + \omega^2 R^2 C^2} - j \dfrac{\omega R^2 C}{1 + \omega^2 R^2 C^2}$ なので、次のようになります。

 

抵抗RとコンデンサCが並列接続の回路の合成インピーダンスのベクトル図

 

$\omega \gt 0$、$R \gt 0$、$C \gt 0$ なので、$\dot{Z} \text{の実部} = \dfrac{R}{1 + \omega^2 R^2 C^2} \gt 0$、$\dot{Z} \text{の虚部} = -\dfrac{\omega R^2 C}{1 + \omega^2 R^2 C^2} \lt 0$ となり、合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトル(上図の赤色のベクトル)の向きは必ず右下向きになります。

 

RC並列回路の合成インピーダンスのベクトルの範囲

 

コイルLとコンデンサCの並列回路の合成インピーダンス(LC並列回路)

LC並列回路の合成インピーダンス

LC並列回路は、コイル $L$ とコンデンサ $C$ が並列に接続された回路で、次のような回路になります。

 

コイルLとコンデンサCが並列接続の回路

 

並列接続なので、この回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ も、それぞれのインピーダンスの逆数を足して、それの逆数をとれば 求められます。(※インピーダンスの逆数をアドミタンスといいます。)

 

したがって、コイル $L$ のインピーダンスの逆数は $\dfrac{1}{j \omega L}$、コンデンサ $C$ のインピーダンスの逆数は $j \omega C$ なので、LC並列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ は次の式で与えられます。

 

$\dfrac{1}{\dot{Z}} = \dfrac{1}{j \omega L} + j \omega C$

 

あとはこの式を整理して、$\dot{Z} = \cdots$ にすれば合成インピーダンスを求めることができます。

 

$\dfrac{1}{\dot{Z}} = \dfrac{1}{j \omega L} + j \omega C$ $= \dfrac{1 + j \omega C \cdot j \omega L}{j \omega L}$ $= \dfrac{1 + j^2 \omega^2 L C}{j \omega L}$ $= \dfrac{1 - \omega^2 L C}{j \omega L}$

 

分母と分子をひっくり返して、 $\dot{Z} = \dfrac{j \omega L}{1 - \omega^2 L C} = j \dfrac{\omega L}{1 - \omega^2 L C}$

 

したがって、LC並列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ は、

 

$\therefore \dot{Z} = j \dfrac{\omega L}{1 - \omega^2 L C}$ [$ \mathrm{\Omega} $] …D

 

となります。

 

LC並列回路の合成インピーダンスの大きさ

LC並列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ の大きさは、D式の絶対値を求めればいいので、

 

$| \dot{Z} | = \sqrt{\left( \dfrac{\omega L}{1 - \omega^2 L C} \right)^2}$ $= \left| \dfrac{\omega L}{1 - \omega^2 L C} \right|$

 

$\therefore | \dot{Z} | = \left| \dfrac{\omega L}{1 - \omega^2 L C} \right|$ [$ \mathrm{\Omega} $]

 

となります。

 

LC並列回路の合成インピーダンスのベクトル図

LC並列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトル図を書くときは、D式の分母が正になるか?負になるか?またはゼロになるか?によって合成インピーダンス $\dot{Z}$ の ベクトルの向きが変わる ので、ちょっと注意が必要ですよ。($\omega \gt 0$、$L \gt 0$ なので、分子の $\omega L$ は常に正になるので分子については考えなくていいです。)

 

つまり、$1 - \omega^2 L C \gt 0$ のとき、$1 - \omega^2 L C \lt 0$ のとき、$1 - \omega^2 L C = 0$ のときで、場合分けして考えなければならないということです。ちょっとめんどくさいですね。

 

($\mathrm{A}$)$1 - \omega^2 L C \gt 0$ のとき

$1 - \omega^2 L C \gt 0$ のときはD式の $j$ にかかる値が ということになるので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトルは、次のように上向きになります。

 

1−ω2LC>0 のときのLC並列回路の合成インピーダンスのベクトル図

 

($\mathrm{B}$)$1 - \omega^2 L C \lt 0$ のとき

$1 - \omega^2 L C \lt 0$ のときはD式の $j$ にかかる値が ということになるので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトルは、次のように下向きになります。

 

1−ω2LC<0 のときのLC並列回路の合成インピーダンスのベクトル図

 

($\mathrm{C}$)$1 - \omega^2 L C = 0$ のとき

$1 - \omega^2 L C = 0$ のときはD式の $j$ にかかる値が 無限大 になるので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ は無限大になってしまいます。(ある値をゼロで割ると無限大になります。)

 

1−ω2LC=0 のときのLC並列回路の合成インピーダンスのベクトル図

 

インピーダンスが無限大ということは、その回路は開放状態と同じになります。

 

ちなみに、$1 - \omega^2 L C = 0$ すなわち、$\omega = \dfrac{1}{\sqrt{L C}}$ は、回路の共振条件になります。共振については、こちらのRLC並列共振回路のページを参考にしてみてください。

 

 

 

以上が素子2個を並列接続した場合の合成インピーダンスになります。

 

R、L、Cのインピーダンスはこちら
RL直列回路、RC直列回路、LC直列回路の合成インピーダンスはこちら
RLC直列回路の合成インピーダンスはこちら
RLC並列回路の合成インピーダンスはこちら

 

抵抗の合成抵抗については、こちらの合成抵抗の求め方(計算方法)のページを参考にしてみてください。

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