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交流回路の合成インピーダンスの計算(素子が2個並列接続の場合)

回路の素子(抵抗R、コイルL、コンデンサC)が2個並列接続されている場合の合成インピーダンスを計算してみます。

 

抵抗RとコイルLの並列回路の合成インピーダンス(RL並列回路)

RL並列回路の合成インピーダンス

抵抗RとコイルLが並列接続なので回路は次のようになります。

 

抵抗RとコイルLが並列接続の回路

 

並列接続なので合成インピーダンスを求めるためには、それぞれのアドミタンス(=インピーダンスの逆数)を足して、その逆数をとればいいですね。

 

これはいいですか?

 

今考えているのは交流回路の合成インピーダンスですが、直流回路で合成抵抗を求めるときの計算方法と同じなんですよね、これ。

 

ちょっと話はそれますが、次のように2つの抵抗が並列に接続された回路があるとします。

 

抵抗が2つ並列接続された回路

 

すると、この回路の合成抵抗って次のように求めますよね?

 

抵抗が2つ並列接続された回路の合成抵抗の計算

 

抵抗が2つの回路の合成抵抗なので、和分の積でズド〜ンと、

 

抵抗が2つ並列接続された回路の和分の積

 

それで、交流回路で合成インピーダンスを求める場合も@のやり方と同じようにしていいんです。

 

そうすると、求めたいRL並列回路の合成インピーダンスの式は次のように与えられます。

 

RL並列回路の合成インピーダンスを与える式

 

あとはこの式を整理してZ=・・・にしてあげればいいだけです。

 

合成インピーダンスの計算過程

 

ひっくり返して、

 

RL並列回路の合成インピーダンスの式

 

虚数「j」で整理しましょう。 分母の「j」をなくしたいので分母子に(R−jωL)をかけます。

 

RL並列回路の合成インピーダンスの計算過程@

 

RL並列回路の合成インピーダンスの計算過程A

 

したがって、求めたいRL並列回路の合成インピーダンスは、

 

RL並列回路の合成インピーダンス・・・A

 

となります。(ちょっとややこしい式になりましたね。)

 

RL並列回路の合成インピーダンスの大きさ

RL並列回路の合成インピーダンスの大きさは、A式の絶対値を求めればいいですね。

 

RL並列回路の合成インピーダンスの大きさの式の展開@

 

RL並列回路の合成インピーダンスの大きさの式の展開A

 

したがって、RL並列回路の合成インピーダンスの大きさは、

 

RL並列回路の合成インピーダンスの大きさ

 

となります。

 

RL並列回路の合成インピーダンスのベクトル図

RL並列回路の合成インピーダンスのベクトル図を書くと次のようになります。

 

抵抗RとコイルLが並列接続の回路のインピーダンスのベクトル図

 

ω>0、R>0、L>0 なので、この場合の合成インピーダンスのベクトルの向きは必ず右上向きになります。

 

RL並列回路の合成インピーダンスのベクトルの範囲

 

補足(和分の積で合成インピーダンス?)

直流回路の計算で2つの並列抵抗の合成抵抗を求めるときに、よく和分の積の公式が使われますが、RL並列回路は素子が2つなので、この合成インピーダンスを求めるときにも和分の積が使えます。(素子が3つ以上のときは和分の積しちゃダメですよ!)

 

抵抗RとコイルLのインピーダンスはそれぞれ、

 

抵抗Rのインピーダンス、R[Ω]
コイルLのインピーダンス、jωL[Ω]

 

ですよね?

 

これを和分の積してみると、

 

RL並列回路の合成インピーダンスの和分の積の計算

 

となります。

 

ね? AとBは等しくなっていますよね。

 

 


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抵抗RとコンデンサCの並列回路の合成インピーダンス(RC並列回路)

RC並列回路の合成インピーダンス

抵抗RとコンデンサCが並列接続なので回路は次のようになります。

 

抵抗RとコンデンサCが並列接続の回路

 

並列接続なので合成インピーダンスを求めるためには、それぞれのアドミタンス(=インピーダンスの逆数)を足して、その逆数をとればいいですね。

 

すると、求めたいRC並列回路の合成インピーダンスの式は次のように与えられます。

 

RC並列回路の合成インピーダンスを与える式

 

あとはこの式を整理してZ=・・・にしてあげればいいです。

 

RC並列回路の合成インピーダンスの式の展開

 

ひっくり返して、

 

RC並列回路の合成インピーダンスの式

 

虚数「j」で整理しましょう。 分母の「j」をなくしたいので分母子に(1−jωRC)をかけます。

 

RC並列回路の合成インピーダンスの式の展開@

 

RC並列回路の合成インピーダンスの式の展開A

 

したがって、求めたいRC並列回路の合成インピーダンスは、

 

RC並列回路の合成インピーダンス

 

となります。

 

RC並列回路の合成インピーダンスの大きさ

RC並列回路の合成インピーダンスの大きさは、C式の絶対値を求めればいいですね。

 

RC並列回路の合成インピーダンスの大きさの式の展開@

 

RC並列回路の合成インピーダンスの大きさの式の展開A

 

したがって、RC並列回路の合成インピーダンスの大きさは、

 

RC並列回路の合成インピーダンスの大きさ

 

となります。

 

RC並列回路の合成インピーダンスのベクトル図

RC並列回路の合成インピーダンスのベクトル図を書くと次のようになりますよ。

 

抵抗RとコンデンサCが並列接続の回路の合成インピーダンスのベクトル図

 

ω>0、R>0、C>0 なので、この場合の合成インピーダンスのベクトルの向きは必ず右下向きになります。

 

RC並列回路の合成インピーダンスのベクトルの範囲

 

コイルLとコンデンサCの並列回路の合成インピーダンス(LC並列回路)

LC並列回路の合成インピーダンス

コイルLとコンデンサCが並列接続なので回路は次のようになります。

 

コイルLとコンデンサCが並列接続の回路

 

並列接続なので合成インピーダンスを求めるためには、それぞれのアドミタンス(=インピーダンスの逆数)を足して、その逆数をとればいいですね。

 

すると、求めたいLC並列回路の合成インピーダンスの式は次のように与えられます。

 

LC並列回路の合成インピーダンスを与える式

 

あとはこの式を整理してZ=・・・にしてあげればいいです。

 

LC並列回路の合成インピーダンスの式の計算@

 

ひっくり返して、

 

LC並列回路の合成インピーダンスの式の計算A

 

したがって、求めたいLC並列回路の合成インピーダンスは、

 

LC並列回路の合成インピーダンス

 

となります。

 

LC並列回路の合成インピーダンスの大きさ

LC並列回路の合成インピーダンスの大きさは、D式の絶対値を求めればいいですね。

 

LC並列回路の合成インピーダンスの大きさの計算

 

したがって、LC並列回路の合成インピーダンスの大きさは、

 

LC並列回路の合成インピーダンスの大きさ

 

となります。

 

LC並列回路の合成インピーダンスのベクトル図

LC並列回路の合成インピーダンスのベクトル図を書くときは、D式の分母の符号、値によって合成インピーダンスのベクトルの向きが変わるので、ちょっと注意が必要ですよ。
(ω>0、L>0 なので、分子のωLは常に正になるので分子については考えなくていいです。)
1−ω2LC>0 のときと、1−ω2LC<0 のときと、1−ω2LC=0 のときで場合分けして考えなければならないということです。

 

(A)1−ω2LC>0 のとき

 

1−ω2LC>0 のときは「j」にかかる値が正になるので、合成インピーダンスのベクトルは上向きになります。

 

1−ω2LC>0 のときのLC並列回路の合成インピーダンスのベクトル図

 

(B)1−ω2LC<0 のとき
1−ω2LC<0 のときは「j」にかかる値が負になるので、合成インピーダンスのベクトルは下向きになります。

 

1−ω2LC<0 のときのLC並列回路の合成インピーダンスのベクトル図

 

(C)1−ω2LC=0 のとき
1−ω2LC=0 のときは「j」にかかる値が無限大になるので、合成インピーダンスは無限大になってしまいます。(ある値をゼロで割ると無限大になります。)

 

1−ω2LC=0 のときのLC並列回路の合成インピーダンスのベクトル図

 

インピーダンスが無限大ということは、その回路は開放状態と同じになります。

 

 

 

R、L、Cのインピーダンスはこちら
RL直列回路、RC直列回路、LC直列回路の合成インピーダンスはこちら
RLC直列回路の合成インピーダンスはこちら
RLC並列回路の合成インピーダンスはこちら

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