このエントリーをはてなブックマークに追加   

正弦波交流波形の実効値はなぜ最大値÷√2か?

正弦波交流波形の実効値と最大値の関係はよく知られているように、

 

実効値=最大値÷$\sqrt{2}$

 

という関係になります。

 

これはみなさんもよく知っていることかと思いますが、では、

 

なぜ、最大値を $\sqrt{2}$ で割れば実効値になるのでしょうか?

 

これは、次の実効値の定義式を使って、正弦波交流波形の実効値の計算をしてみると分かります。

 

実効値の定義式

ある周期 $T$ の関数 $f \left( t \right)$ の実効値は、次式で与えられる。

 

$f \left( t \right) \text{の実効値} = \sqrt{\dfrac{1}{T} \displaystyle\int_0^T f \left( t \right)^2 \, dt}$ …@

 

@の実効値の定義式は、関数 $f \left( t \right)$ を2乗して $0 \sim T$ の範囲で積分し、それを周期 $T$ で割って、さらにルートをとると、それが関数 $f \left( t \right)$ の実効値になりますよ、という式です。

 

なので、@式の $f \left( t \right)$ のところに正弦波交流波形の式を入れて計算すれば、正弦波交流波形の実効値を求めることができます。

 

では、@式に正弦波交流波形の式を入れて実効値の計算をしてみます。

 

正弦波交流波形の実効値

正弦波交流波形の最大値を $V_m$ とすると、正弦波交流波形の式(瞬時値の式)は次のように表わせます。

 

$v \left( t \right) = V_m \sin \omega t$ …A (←この $v \left( t \right)$ が先ほどの実効値の定義式@の $f \left( t \right)$ に相当します。)

 

正弦波交流波形のグラフ

 

すると@式より、$v \left( t \right)$ の実効値 $V_{rms}$ は、次の式で与えられます。($T$ は周期です。)

 

$V_{rms} = \sqrt{\dfrac{1}{T} \displaystyle\int_0^T v \left( t \right)^2 \, dt}$ …B

 

このB式を計算すると、正弦波交流波形の実効値が求められます。

 

$V_{rms} = \sqrt{\dfrac{1}{T} \displaystyle\int_0^T v \left( t \right)^2 \, dt}$ $= \sqrt{\dfrac{1}{T} \displaystyle\int_0^T \left( V_m \sin \omega t \right)^2 \, dt}$ $= \sqrt{\dfrac{1}{T} \displaystyle\int_0^T {V_m}^2 \sin^2 \omega t \, dt}$

 

${V_m}^2$ は定数なので、積分の外に出します。

 

$V_{rms} = \sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{T} \displaystyle\int_0^T \sin^2 \omega t \, dt}$ …C

 

三角関数の倍角の公式より $\sin^2 \omega t = \dfrac{1 - \cos 2 \omega t}{2}$ なので、これをC式に代入します。

 

$V_{rms} = \sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{T} \displaystyle\int_0^T \dfrac{1 - \cos 2 \omega t}{2} \, dt}$ $= \sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{2T} \displaystyle\int_0^T \left( 1 - \cos 2 \omega t \right) \, dt}$

 

$= \sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{2T} \left[ t - \dfrac{\sin 2 \omega t}{2 \omega} \right]_0^T}$ $= \sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{2T} \left\{ \left( T - \dfrac{\sin 2 \omega T}{2 \omega} \right) - \left( 0 - \dfrac{\sin 2 \omega \cdot 0}{2 \omega} \right) \right\}}$

 

$= \sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{2T} \left( T - \dfrac{\sin 2 \omega T}{2 \omega} \right)}$

 

ここで、$\omega T = 2 \pi$ なので、($\because \omega = 2 \pi f$、$\omega = 2 \pi \cdot \dfrac{1}{T}$ $\therefore \omega T = 2 \pi$)

 

$V_{rms} = \sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{2T} \left( T - \dfrac{\sin 4 \pi}{2 \omega} \right)}$

 

また、$\sin 4 \pi = 0$ なので、

 

$V_{rms} = \sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{2T} \left( T - 0 \right)}$ $= \sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{2T} \cdot T}$ $= \sqrt{\dfrac{{V_m}^2}{2}}$ $= \dfrac{V_m}{\sqrt{2}}$

 

$\therefore V_{rms} = \dfrac{V_m}{\sqrt{2}}$ …D

 

したがってD式より、

 

最大値を $\sqrt{2}$ で割ると実効値

 

になることが分かりました。

 

補足|実効値の添え字(rms)について

実効値の添え字にはよく「rms」が使われますが、これはRoot Mean Square value(二乗平均平方根値)の略で、それぞれRoot=ルート(平方根)、Mean=平均、Square=2乗、value=値という意味です。

 

 

 

三角関数の公式については、こちらの三角関数の公式・定理のページを参考にしてみてください。

スポンサーリンク




 


 おすすめ記事



 


このエントリーをはてなブックマークに追加   

正弦波交流波形の実効値はなぜ最大値÷√2か? 関連ページ

交流回路のインピーダンスの計算(素子が1個の場合)
素子(抵抗R、コイルL、コンデンサC)が1個の場合のインピーダンスについて解説しています。素子(R、L、C)が1個なので、計算というほどの計算もなく求められますが、とりあえずインピーダンスの計算の基礎なので・・・。
交流回路の合成インピーダンスの計算(素子が2個直列接続の場合)
素子(抵抗R、コイルL、コンデンサC)が2個直列接続された場合(RL直列回路、RC直列回路,LC直列回路)の合成インピーダンスを計算しています。LC直列回路の場合には、コイルLとコンデンサCのリアクタンスの大きさによって合成インピーダンスのベクトルの向きが変わるので気を付けましょう。
交流回路の合成インピーダンスの計算(素子が2個並列接続の場合)
素子(抵抗R、コイルL、コンデンサC)が2個並列接続された場合(RL並列回路、RC並列回路,LC並列回路)の合成インピーダンスを計算しています。LC並列回路の場合は、条件によって合成インピーダンスのベクトルの向きが変わるので気を付けましょう。各合成インピーダンスのベクトル図も書いていますので、参考にしてみてください。
交流回路の合成インピーダンスの計算(RLC直列回路)
素子(抵抗R、コイルL、コンデンサC)が3個直列接続された場合(RLC直列回路)の合成インピーダンスを計算しています。RLC直列回路の場合、コイルLとコンデンサCのリアクタンスの大きさが同じときには合成インピーダンスは抵抗Rだけになります。これはすごく大事なことなのでおぼえておきましょう!
交流回路の合成インピーダンスの計算(RLC並列回路)
素子(抵抗R、コイルL、コンデンサC)が3個並列接続された場合(RLC並列回路)の合成インピーダンスを計算しています。RLC並列回路の場合、周波数が反共振周波数のときコイルLとコンデンサCの並列回路部分が解放状態と同じになるため、合成インピーダンスは抵抗Rだけになります。
RLC直列共振回路
RLC直列共振回路について解説しています。RLC直列共振回路はフィルタ回路など電気で幅広く応用されている回路ですので、共振周波数など基本的なことだけでもおぼえておくようにしましょう。
RLC並列共振回路
RLC並列共振回路について解説しています。RLC並列共振回路などの共振回路は電気で幅広く応用されている回路ですので、共振周波数など基本的なことだけでもおぼえておくようにしましょう。
なぜコイルに流れる電流の位相は電圧より90°遅れるのか?
コイルに流れる電流の位相は電圧よりも90°遅れますが、コイルの場合、なぜ電流が電圧よりも90°遅れ位相になるのかを計算で導いています。
なぜコンデンサに流れる電流の位相は電圧より90°進むのか?
コンデンサに流れる電流の位相は電圧よりも90°進みますが、コンデンサの場合、なぜ電流が電圧よりも90°進み位相になるのかを計算で導いています。
有効・無効・皮相電力
交流回路には「有効電力」「無効電力」「皮相電力」の3種類の電力があります。それぞれの電力の求め方と、3つの電力の関係について解説しています。
力率とは?(力率と電力の関係)
交流回路の勉強をしていると「力率」がでてきますが、力率って何でしょうか?力率の式の表し方には色々ありますが、ここでは、力率と皮相電力、有効電力、無効電力の関係とその関係式などについて解説します。
力率とは?(力率と位相の関係)
交流回路の勉強をしていると「力率(cosΘ)」がでてきますが、力率って何でしょうか?力率の式の表し方には色々ありますが、ここでは、位相と力率の関係について抵抗、コイル、コンデンサの回路を例に解説しています。
波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の求め方
波形は色々ありますが、その波形の特性を表わす値として実効値、平均値、最大値、波形率、波高率などがあります。ここでは、波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の定義式、求め方について解説しています。
正弦波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法
波形は色々ありますが、その波形の特性を表わす値として実効値、平均値、最大値、波形率、波高率などがあります。ここでは、正弦波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法、求め方について解説しています。
全波整流波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法
波形は色々ありますが、その波形の特性を表わす値として実効値、平均値、最大値、波形率、波高率などがあります。ここでは、全波整流波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法、求め方について解説しています。
半波整流波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法
半波整流波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法、求め方について解説しています。波形の特性を表わす値として実効値、平均値、最大値、波形率、波高率などがありますが、これらは大事な値ですので、求め方、計算方法をおぼえておきましょう。
方形波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法
方形波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法、求め方について解説しています。方形波波形の場合、実効値と平均値と最大値が同じ値、波形率と波高率が同じ値になります。ちなみに、方形波と矩形波は同じです。
のこぎり波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法
のこぎり波波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法、求め方について解説しています。のこぎり波波形の実効値と平均値を求めるためには、のこぎり波波形の式から考えないといけないので、他の波形よりも計算がちょっと大変です。
三相電力の公式はなぜ√3倍なのか?(三相電力の公式の導出)
三相電力の公式はP=√3VIcosφで表わされますが、なぜ√3倍になるのか?スター結線の場合とデルタ結線の場合それぞれについて、三相電力の公式を導出してみました。この三相電力の公式は電験三種の「理論」「電力」科目の問題を解くときに度々使われる基本的な公式ですのでおぼえておくようにしましょう。
スター結線(Y結線)の線間電圧はなぜ相電圧の√3倍になるのか?
スター結線(Y結線)されている三相交流回路の線間電圧は相電圧の√3倍になりますが、なぜ√3倍になるのか?スター結線のときの線間電圧と相電圧のベクトル図を求め、求めたベクトル図から√3倍になる理由について解説しています。