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正弦波交流波形の実効値はなぜ最大値÷√2か?

正弦波交流波形の実効値と最大値の関係はよく知られているように、

 

実効値=最大値÷√2

 

という関係になります。

 

これはみなさんもよく知っていることかと思いますが、では、

 

なぜ、最大値を√2で割れば実効値になるのでしょうか?

 

これは、実効値の定義式を使って計算すると導くことができます。

 

実効値の定義式

ある周期Tの関数f(t)の実効値は次式で与えられます。
実効値の定義式

 

この@式が実効値の定義式で、@式をみると分かるように実効値は、関数を二乗して周期Tで積分して、それを周期Tで割って、さらにルートをとると求めることができます。

 

ちなみに、実効値の添え字にはよく「rms」が使われますが、これはRoot Mean Square value(二乗平均平方根値)の略で、それぞれRoot=ルート(平方根)、Mean=平均、Square=二乗、value=値という意味です。

 

正弦波交流波形の実効値

それでは、正弦波交流波形の実効値を計算してみます。

 

まず、正弦波交流波形の瞬時値の式を次の式で与えます。
正弦波交流波形の瞬時値の式
(このA式が上の定義式の@のf(t)に相当します。)

 

正弦波交流波形のグラフ

 

すると、A式と@式より、v(t)の実効値Vrmsは周期をTとすると次式となります。

 

実効値の式の展開@

 

Vm2は定数なので積分の外に出します。

 

実効値のB式

 

三角関数の倍角の公式より

 

実効値の式の展開A

 

実効値の式の展開B

 

実効値の式の展開C

 

ここで、ωT=2πなので、

 

実効値の式の展開D

 

さらに、sin4π=0なので、

 

実効値の式の展開E

 

∴Vrms=Vm/√2・・・C式

 

したがってC式より、

 

最大値を√2で割ると実効値

 

になることが分かりました。

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