電気のお勉強｜交流回路｜RLC並列共振回路

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RLC並列共振回路って何？

交流回路でRLC並列共振回路というのがあります。このRLC並列共振回路とはどんな回路なのでしょうか？

 

RLC並列共振回路の回路図を書いてみると、次のような回路になります。

 

 

あれ？　抵抗 $R$ 、コイル $L$ 、コンデンサ $C$ を並列にただ接続しただけのRLC並列回路と同じですね？

 

RLC並列共振回路を回路図で書くと、このようにただのRLC並列回路なのですが、RLC並列回路とRLC並列共振回路では、もちろん「意味」が違います。ここでいう「意味」とは、「回路の特性が違う」ということです。（どちらもRLC並列回路であることには変わりありませんが…。）

 

 

では、2つの回路の特性は何が違うのでしょうか？

 

2つの回路の名称を見比べてみると、「共振」という言葉があるか？ないか？が違いますよね？

 

RLC並列回路　←　「共振」って書いてない
RLC並列共振回路　←　「共振」って書いてる

 

つまり、共振するRLC並列回路をRLC並列共振回路と呼んで区別しているんですね。

 

ところで、共振とは何なのでしょうか？　並列共振すると、どういう状態になるのでしょうか？

 

完全に並列共振すると、先ほどのRLC並列回路が次のようになります。

 

 

コイルとコンデンサがなくなってんじゃん！

 

あ、当たり前ですが、コイル $L$ とコンデンサ $C$ のモノがなくなってしまった、という訳ではありませんよ。RLC並列共振回路を電気的に考えると、コイル $L$ とコンデンサ $C$ がないのと同じ状態（コイルとコンデンサを開放したのと同じ状態）になるということです。（上の図はイメージです。）

 

つまり、RLC並列回路が完全に共振状態の場合、その回路のインピーダンスは電気的に抵抗 $R$ だけになるということです。

 

へー、そうなんだ？　そうなんですよ！

 

でも、本当に回路がそんなことになっちゃったりするの？　と思ったりしますよね、たぶん…。

 

では次に、

 

本当に回路がそんなことになっちゃったりすることができるのか？

 

RLC並列回路のインピーダンスの式から考えてみましょう。

 

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RLC並列回路のインピーダンスの式と共振条件

RLC並列回路のインピーダンス $\dot{Z}$ を与える式は、次のようになりますね。（並列回路なのでアドミタンス（インピーダンスの逆数）を足しています。$ \omega$ は角周波数（ $\omega = 2 \pi f$ ）です。）

 

$\dfrac{1}{\dot{Z}} = \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{j \omega L} + j \omega C$

 

このままだとなんなので、この式を整理すると、

 

$\dfrac{1}{\dot{Z}} = \dfrac{j \omega L + R + j \omega C \cdot R \cdot j \omega L}{R \cdot j \omega L}$ $= \dfrac{R + j \omega L - \omega^2 R L C}{j \omega R L}$ $= \dfrac{R - \omega^2 R L C + j \omega L}{j \omega R L}$

 

$\dot{Z} = \dfrac{j \omega R L}{R - \omega^2 R L C + j \omega L}$ $= \dfrac{j \omega R L \left\{ \left( R - \omega^2 R L C \right) - j \omega L \right\}}{\left\{ \left( R - \omega^2 R L C \right) + j \omega L \right\} \left\{ \left( R - \omega^2 R L C \right) - j \omega L \right\}}$

 

$= \dfrac{j \omega R L \left( R - \omega^2 R L C \right) + \omega^2 R L^2}{\left( R - \omega^2 R L C \right)^2 + \omega^2 L^2}$ $= \dfrac{j \omega R^2 L \left( 1 - \omega^2 L C \right) + \omega^2 R L^2}{\left( R - \omega^2 R L C \right)^2 + \omega^2 L^2}$

 

$= \dfrac{\omega^2 R L^2}{\left( R - \omega^2 R L C \right)^2 + \omega^2 L^2}$ $+ j \dfrac{\omega R^2 L \left( 1 - \omega^2 L C \right)}{\left( R - \omega^2 R L C \right)^2 + \omega^2 L^2}$

 

$\therefore \dot{Z} = \dfrac{\omega^2 R L^2}{\left( R - \omega^2 R L C \right)^2 + \omega^2 L^2}$ $+ j \dfrac{\omega R^2 L \left( 1 - \omega^2 L C \right)}{\left( R - \omega^2 R L C \right)^2 + \omega^2 L^2}$　…①

 

あー、なんだか複雑な式になってしまいました。この式からどう考えていきましょう？

 

先ほど、RLC並列回路が共振すると、そのインピーダンスは抵抗 $R$ だけになるということでしたよね？

 

ということは、RLC並列回路が共振するときは①式の虚部は必ずゼロになるはずです。（抵抗だけの回路の場合、その回路のインピーダンスに虚数単位 $j$ は付かないですよね、そういう意味です。）

 

では、①式の虚部をゼロとしてみましょう。すると、

 

①式の虚部 $= \dfrac{\omega R^2 L \left( 1 - \omega^2 L C \right)}{\left( R - \omega^2 R L C \right)^2 + \omega^2 L^2}$ $= 0$　より、

 

$\omega R^2 L \left( 1 - \omega^2 L C \right) = 0$　…②　となります。

 

この②式を $\omega$ について解いてみましょう。

 

②式を $\omega$ についてそのまま解くと $\omega = 0$ も解になりますが、$\omega$ は角周波数で、ここでは交流回路を考えているので $\omega$ はゼロより大きくなります。なので、$\omega =0$ は求める解から外します。すると②式は、

 

$1 - \omega^2 L C = 0$　となります。計算を続けると、

 

$\omega^2 L C = 1$　、　$\omega^2 = \dfrac{1}{L C}$　、　$\omega \gt 0$ なので、

 

$\therefore \omega = \dfrac{1}{\sqrt{L C}}$　となり、①式の虚部がゼロになるときの $\omega$ が求められました。

 

この $\omega$ を①式に入れてみるとどうなるでしょうか？　$\omega$ を①式に代入してみましょう。

 

$\dot{Z} = \dfrac{\omega^2 R L^2}{\left( R - \omega^2 R L C \right)^2 + \omega^2 L^2}$ $+ j \dfrac{\omega R^2 L \left( 1 - \omega^2 L C \right)}{\left( R - \omega^2 R L C \right)^2 + \omega^2 L^2}$

 

$= \dfrac{\dfrac{1}{L C} \cdot R L^2}{\left( R - \dfrac{1}{L C} \cdot R L C \right)^2 + \dfrac{1}{L C} \cdot L^2}$ $+ j \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{L C}} \cdot R^2 L \left( 1 - \dfrac{1}{L C} \cdot L C \right)}{\left( R - \dfrac{1}{L C} \cdot R L C \right)^2 + \dfrac{1}{L C} \cdot L^2}$

 

$= \dfrac{\dfrac{R L}{C}}{\left( R - R \right)^2 + \dfrac{L}{C}}$ $+ j \dfrac{\dfrac{R^2 L}{\sqrt{L C}} \cdot \left( 1 - 1 \right)}{\left( R - R \right)^2 + \dfrac{L}{C}}$

 

$= \dfrac{\dfrac{R L}{C}}{\dfrac{L}{C}} + j \dfrac{\dfrac{R^2 L}{\sqrt{L C}} \times 0}{\dfrac{L}{C}}$ $= R + j \times 0$ $= R$

 

 

あれ？　インピーダンスが抵抗 $R$ だけになってしまいました。

 

つまり、RLC並列回路で $\omega = \dfrac{1}{\sqrt{L C}}$ とすると、コイル $L$ とコンデンサ $C$ がなくなって、インピーダンス $\dot{Z}$ は抵抗 $R$ だけになるということです。

 

実は、ここの計算途中ででてきた $\omega = \dfrac{1}{\sqrt{L C}}$ がRLC並列共振回路の共振条件で、$\omega = \dfrac{1}{\sqrt{L C}}$ を代入して得られた $\dot{Z} = R$ がRLC並列共振回路のインピーダンスになるんですね。

 

 

RLC並列共振回路の共振周波数

ついでに、共振周波数についても説明しておきます。

 

共振周波数とは回路が共振するときの周波数のことで、RLC並列共振回路の場合、並列共振周波数とか反共振周波数と言ったりもします。この並列共振周波数は、回路の共振条件から求められます。

 

RLC並列回路が並列共振するための条件は、先ほど計算した条件より、$\omega = \dfrac{1}{\sqrt{L C}}$　…③　になります。

 

角周波数 $\omega$ は周波数を $f$ とすると $\omega = 2 \pi f$ と表わされるので、$f$ を $f_0$ として③式に代入します。すると、

 

$2 \pi f_0 = \dfrac{1}{\sqrt{L C}}$　となります。これを $f_0$ について解くと、$f_0 = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{L C}}$

 

 

となり、これがRLC並列共振回路の共振周波数になります。

 

式をみると分かるように、共振周波数は、コイルのインダクタンス $L$ とコンデンサの静電容量 $C$ の値で決まります。

 

つまり、コイルのインダクタンス $L$ とコンデンサの静電容量 $C$ に適当な値を選ぶことで共振周波数を調整することができるということになります。これ大事！

 

RLC並列回路の共振周波数とインピーダンスの大きさの関係

RLC並列回路の共振周波数とインピーダンスの大きさの関係をグラフ（概形）で書いてみると、次のようになります。

 

 

グラフをみると分かるように、RLC並列回路のインピーダンスの大きさは、共振周波数のときに最も大きくなり（ $| \dot{Z} | = R$ ）、共振周波数から外れるほど小さくなります。（ちなみに、RLC直列共振回路の場合にはこれとは反対で、共振周波数のときにインピーダンスが最も小さくなります。）

 

なので、共振周波数のときは、インピーダンスが最も大きくなるので回路に流れる電流は最も小さくなります。

 

RLC並列共振回路のまとめ

RLC並列共振回路についてまとめると次のようになります。

 

 

共振回路は電気で色々幅広く使われているので、基本的なことだけでもおぼえておくようにしましょう！

 

 

RLC直列共振回路については、こちらのRLC直列共振回路のページを参考にしてみてください。

 

RLC並列回路の合成インピーダンスについてはこちら
⇒　交流回路の合成インピーダンスの計算（RLC並列回路）
RLC並列回路の電圧と電流の計算とベクトル図についてはこちら
⇒　交流回路の電圧と電流の計算とベクトル図（RLC並列回路）
を参考にしてみてください。

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