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半波整流波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率の計算方法

半波整流波形の実効値、平均値、最大値、波形率、波高率を求めてみます。

 

半波整流波形は図1のような波形ですので、この波形を与える式(1周期分)を、

 

半波整流波形の式@式

 

とします。周期はTですよ。

 

図1半波整流波形のグラフ

 

@式をみるとちょっとめんどくさそうな雰囲気がありますが、半波整流波形は0〜T/2の範囲は v(t)=Vmsinωt、T/2〜Tの範囲はゼロなので、式で書くとこんな感じになります。
(めんどくさそうなのは見た目だけなので大丈夫ですよ。)

 

図1をみると分かるように、半波整流波形は、波形の半分はサイン波形で、半分はゼロなんですよね。

 

それでは、以下順番に計算して求めてみます。

 

半波整流波形の実効値の計算

実効値Vrmsは定義式より、

 

実効値の定義式

 

で求められます。

 

この定義式のv(t)に波形の式を代入すれば実効値を求められるのですが、半波整流波形は@式で表わされるように式が二つに分かれていますよね?

 

で、どうやって計算すればいいの?

 

これは、定義式の中の積分についてちょっと考えてみる必要があります。

 

定義式中の積分は波形を二乗して1周期の0〜Tで積分した値という意味

 

になりますが、半波整流波形の半分はゼロ(T/2〜Tの区間)になりますよね?

 

なので、半波整流波形の実効値を計算するときは、定義式中の

 

積分区間を0〜T/2として計算します

 

それで定義式のルートの中の1/Tについては、積分値を波形の1周期で割ります

 

(1周期Tで平均する)という意味なので、半波整流波形の1周期はTなので、ここは

 

そのまま1/Tとします。

 

すると、半波整流波形の実効値を求める式は次のように表わせます。

 

半波整流波形の実効値の式A式

 

半波整流波形の実効値を求める式が分かったので、あとはA式を計算するだけです。

 

A式より、

 

半波整流波形の実効値の式の展開(1)

 

Vm2は定数なので積分の外に出して、

 

半波整流波形の実効値の式の展開(2)

 

三角関数の倍角の公式をB式に代入します

 

半波整流波形の実効値の式の展開(3)

 

半波整流波形の実効値の式の展開(4)

 

半波整流波形の実効値の式の展開(5)

 

ここで、ωT=2πなので

 

半波整流波形の実効値の式の展開(6)

 

半波整流波形の実効値

 

半波整流波形の実効値は最大値の半分になります。

 

半波整流波形の平均値の計算

平均値Vavの定義式は、

 

平均値の定義式

 

ですが、実効値を求めたときの考え方と同じように考えると、半波整流波形の平均値の式は次のように表わされます。

 

半波整流波形の平均値の式C式

 

この式は絶対値が付いていますが積分区間が0〜T/2なので、絶対値をそのまま外せます。
(0〜T/2の範囲ではsinωtは常にプラスなので。)

 

したがってC式は、

 

半波整流波形の平均値の式

 

あとは、これをふつうに計算すればいいですね。

 

半波整流波形の平均値の式の展開(1)

 

半波整流波形の平均値の式の展開(2)

 

ωT=2π なので、これを代入すると、

 

半波整流波形の平均値の式の展開(3)

 

またまた ωT=2π を代入すると、

 

半波整流波形の平均値の式の展開(4)

 

半波整流波形の平均値

 

 


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半波整流波形の最大値の計算

半波整流波形の最大値は、ここでは波形の式を v(t)=Vmsinωt (0≦t<T/2) で与えているので、 Vm になります。

 

計算する必要はないですね。

 

半波整流波形の最大値

 

∴半波整流波形の最大値=Vm

 

半波整流波形の波形率の計算

波形率は定義式に入れるだけです。

 

波形率の定義式は、

 

波形率の定義式

 

ですので、これに求めた実効値と平均値を代入します。

 

半波整流波形の波形率の計算

 

半波整流波形の波形率

 

半波整流波形の波高率の計算

波高率も定義式に入れるだけです。

 

波高率の定義式は、

 

波高率の定義式

 

ですので、これに求めた実効値と最大値を代入します。

 

半波整流波形の波高率の計算

 

∴波高率=2

 

半波整流波形についてまとめると

以上より、全波整流波形について、実効値、平均値、最大値、波形率、波高率をまとめると次のようになります。

 

半波整流波形の実効値

 

半波整流波形の平均値

 

半波整流波形の最大値

 

半波整流波形の波形率

 

半波整流波形の波高率

 

 

 

波形率と波高率は定義式に代入するだけ、最大値はグラフからそのまま求めるだけなので簡単ですが、実効値と平均値は積分の計算をしないといけないので、ちょっと大変ですね。

 

他の波形についても実効値、平均値、最大値、波形率、波高率を計算していますので参考にしてみてください。
正弦波波形はこちら  全波整流波形はこちら
方形波波形はこちら  のこぎり波波形はこちら

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