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交流回路の合成インピーダンスの計算(素子が2個直列接続の場合)

回路の素子(抵抗 $R$、コイル $L$、コンデンサ $C$)が2個直列接続されている場合の合成インピーダンスを計算してみます。

 

抵抗RとコイルLの直列回路の合成インピーダンス(RL直列回路)

RL直列回路の合成インピーダンス

RL直列回路は、抵抗 $R$ とコイル $L$ が直列に接続された回路で、次のような回路になります。

 

抵抗RとコイルLが直列接続の回路

 

直列接続なので、この回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ は それぞれのインピーダンスを足すだけ で求められ、抵抗 $R$ のインピーダンスは $R$[$ \mathrm{\Omega} $]、コイル $L$ のインピーダンスは $j \omega L$[$ \mathrm{\Omega} $]なので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ は2つのインピーダンスを足して、

 

$\dot{Z} = R + j \omega L$ [$ \mathrm{\Omega} $] …@

 

となります。($\omega$ は角周波数($\omega = 2 \pi f$)です。)

 

RL直列回路の合成インピーダンスの大きさ

RL直列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ の大きさは、@式の絶対値を求めればいいので、

 

$| \dot{Z} | = \sqrt{R^2 + \left( \omega L \right)^2} = \sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}$

 

$\therefore | \dot{Z} | = \sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}$ [$ \mathrm{\Omega} $]

 

となります。

 

RL直列回路の合成インピーダンスのベクトル図

RL直列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトル図は、合成インピーダンスが $\dot{Z} = R + j \omega L$ なので、次のようになります。

 

抵抗RとコイルLが直列接続の回路のインピーダンスのベクトル図

 

$R$ は右向き、$j \omega L$ は上向きのベクトルなので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトルは2つのベクトルを合成した右上向きのベクトル(図中の赤色のベクトル)になります。

 

補足|グラフの横軸と縦軸について

グラフの横軸と縦軸に書いてある[$\mathrm{Re}$]と[$\mathrm{Im}$]は、複素平面の実軸と虚軸という意味です。複素平面の実軸には複素数の実部が対応し、虚軸には複素数の虚部が対応します。

 

グラフ(複素平面)の縦軸と横軸の説明図(実軸と虚軸)

 

ちなみに、複素平面は、ガウス平面とか複素数平面ともいいます。

 

抵抗RとコンデンサCの直列回路の合成インピーダンス(RC直列回路)

RC直列回路の合成インピーダンス

RC直列回路は、抵抗 $R$ とコンデンサ $C$ が直列に接続された回路で、次のような回路になります。

 

抵抗RとコンデンサCが直列接続の回路

 

直列接続なので、この回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ も それぞれのインピーダンスを足すだけ で求められ、抵抗 $R$ のインピーダンスは $R$[$ \mathrm{\Omega} $]、コンデンサ $C$ のインピーダンスは $\dfrac{1}{j \omega C}$[$ \mathrm{\Omega} $]なので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ は2つのインピーダンスを足して、

 

$\dot{Z} = R + \dfrac{1}{j \omega C}$ [$ \mathrm{\Omega} $]

 

となります。

 

虚数単位 $j$ が分母にあるので、$j$ を分子に持ってきてもいいですよ。$j$ を分子に持ってくると、

 

$\dot{Z} = R + \dfrac{j \times 1}{j \times j \omega C}$ $= R + \dfrac{j}{-1 \cdot \omega C}$ $= R - \dfrac{j}{\omega C}$ $= R - j \dfrac{1}{\omega C}$

 

$\therefore \dot{Z} = R - j \dfrac{1}{\omega C}$ [$ \mathrm{\Omega} $] …A

 

となります。

 

RC直列回路の合成インピーダンスの大きさ

RC直列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ の大きさは、A式の絶対値を求めればいいので、

 

$| \dot{Z} | = \sqrt{R^2 + \left( -\dfrac{1}{\omega C} \right)^2}$ $= \sqrt{R^2 + \left( \dfrac{1}{\omega C} \right)^2}$ $= \sqrt{R^2 + \dfrac{1}{\omega^2 C^2}}$

 

$\therefore | \dot{Z} | = \sqrt{R^2 + \dfrac{1}{\omega^2 C^2}}$ [$ \mathrm{\Omega} $]

 

となります。

 

RC直列回路の合成インピーダンスのベクトル図

RC直列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトル図は、合成インピーダンスが $\dot{Z} = R - j \dfrac{1}{\omega C}$ なので、次のようになります。

 

抵抗RとコンデンサCが直列接続の回路のインピーダンスのベクトル図

 

$R$ は右向き、$-j \dfrac{1}{\omega C}$ は下向きのベクトルなので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトルは2つのベクトルを合成した右下向きのベクトル(図中の赤色のベクトル)になります。

 

 


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コイルLとコンデンサCの直列回路の合成インピーダンス(LC直列回路)

LC直列回路の合成インピーダンス

LC直列回路は、コイル $L$ とコンデンサ $C$ が直列に接続された回路で、次のような回路になります。

 

コイルLとコンデンサCが直列接続の回路

 

直列接続なので、この回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ も それぞれのインピーダンスを足すだけ で求められ、コイル $L$ のインピーダンスは $j \omega L$[$ \mathrm{\Omega} $]、コンデンサ $C$ のインピーダンスは $\dfrac{1}{j \omega C}$[$ \mathrm{\Omega} $]なので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ は2つのインピーダンスを足して、

 

$\dot{Z} = j \omega L + \dfrac{1}{j \omega C}$

 

となります。この式を虚数単位 $j$ で整理すると、

 

$\dot{Z} = j \omega L + \dfrac{j \times1}{j \times j \omega C}$ $= j \omega L + \dfrac{j}{-1 \cdot \omega C}$ $= j \omega L - j \dfrac{1}{\omega C}$ $= j \left( \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right)$

 

$\therefore \dot{Z} = j \left( \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right)$ …B

 

となります。

 

LC直列回路の合成インピーダンスの大きさ

LC直列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ の大きさは、B式の絶対値を求めればいいので、

 

$| \dot{Z} | = \sqrt{\left( \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right)^2}$ $= \left| \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right|$

 

$\therefore | \dot{Z} | = \left| \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right|$

 

となります。

 

LC直列回路の合成インピーダンスのベクトル図

LC直列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトル図を書くときは、B式の( )の中が正になるか?負になるか?またはゼロになるか?によって合成インピーダンス $\dot{Z}$ の ベクトルの向きが変わる ので、ちょっと注意が必要ですよ。

 

つまり、$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \gt 0$ のとき、$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \lt 0$ のとき、$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} = 0$ のときで、場合分けして考えなければならないということです。ちょっとめんどくさいですね。

 

($\mathrm{A}$)$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \gt 0$ のとき

$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \gt 0$ のときはB式の $j$ にかかる値が ということになるので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトルは、次のように上向きになります。

 

ωL−1/ωC>0のときのコイルLとコンデンサCが直列接続の回路のインピーダンスのベクトル図

 

ちなみに、$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \gt 0$ というのは $\omega L \gt \dfrac{1}{\omega C}$ ということになるので、物理的な意味は、コイル $L$ のリアクタンスがコンデンサ $C$ のリアクタンスよりも大きい場合ということになります。

 

($\mathrm{B}$)$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \lt 0$ のとき

$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \lt 0$ のときはB式の $j$ にかかる値が ということになるので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトルは、次のように下向きになります。

 

ωL−1/ωC<0のときのコイルLとコンデンサCが直列接続の回路のインピーダンスのベクトル図

 

ちなみにこの場合は、$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \lt 0$ より $\omega L \lt \dfrac{1}{\omega C}$ ということになるので、物理的な意味は、コイル $L$ のリアクタンスがコンデンサ $C$ のリアクタンスよりも小さい場合ということになります。

 

($\mathrm{C}$)$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} = 0$ のとき

$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} = 0$ のときはB式の $j$ にかかる値が ゼロ になるので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ はゼロになってしまいます。

 

ωL−1/ωC=0のときのコイルLとコンデンサCが直列接続の回路のインピーダンスのベクトル図

 

この場合は、$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} = 0$ より $\omega L = \dfrac{1}{\omega C}$ ということになるので、物理的な意味は、コイル $L$ のリアクタンスとコンデンサ $C$ のリアクタンスが同じ値の場合ということになります。なので、コイル $L$ のリアクタンスとコンデンサ $C$ のリアクタンスが同じ値のときは、合成インピーダンスはゼロになっちゃいますよ、ということなんですね。
(でも実際のモノで考えた場合、$LC$ の直列に小さい抵抗が直列に入るので、ぴったりゼロってことにはならないんですけどね。(電線の抵抗を無視すればゼロになりますが、電線には抵抗があるという意味です。))

 

ちなみに、$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} = 0$ すなわち、$\omega = \dfrac{1}{\sqrt{L C}}$ は、回路の共振条件になります。共振については、こちらのRLC直列共振回路のページを参考にしてみてください。

 

 

 

以上が素子2個を直列接続した場合の合成インピーダンスになります。

 

コイル $L$ とコンデンサ $C$ が直列接続されている場合は、それぞれのリアクタンスの大きさで合成インピーダンスのベクトルの向きが変わることをおぼえておきましょう。

 

R、L、Cのインピーダンスはこちら
RL並列回路、RC並列回路、LC並列回路の合成インピーダンスはこちら
RLC直列回路の合成インピーダンスはこちら
RLC並列回路の合成インピーダンスはこちら

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