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交流回路の合成インピーダンスの計算(素子が2個直列接続の場合)

回路の素子(抵抗R、コイルL、コンデンサC)が2個直列接続されている場合の合成インピーダンスを計算してみます。

 

抵抗RとコイルLの直列回路の合成インピーダンス(RL直列回路)

RL直列回路の合成インピーダンス

抵抗RとコイルLが直列接続なので回路は次のようになります。

 

抵抗RとコイルLが直列接続の回路

 

すると、直列接続なので合成インピーダンスを求めるためには、それぞれのインピーダンスを足すだけでいいですね。

 

抵抗Rのインピーダンスは、R[Ω]
コイルLのインピーダンスは、jωL[Ω]

 

なので、求めるRL直列回路の合成インピーダンスは、

 

Z=R+jωL[Ω](RL直列回路の合成インピーダンスの式)・・・@

 

となります。

 

RL直列回路の合成インピーダンスの大きさ

RL直列回路の合成インピーダンスの大きさは、@式の絶対値を求めればいいですね。

 

RL直列回路の合成インピーダンスの大きさの式の展開

 

したがって、RL直列回路の合成インピーダンスの大きさは、

 

RL直列回路の合成インピーダンスの大きさ

 

となります。

 

RL直列回路の合成インピーダンスのベクトル図

RL直列回路の合成インピーダンスのベクトル図は次のようになります。

 

抵抗RとコイルLが直列接続の回路のインピーダンスのベクトル図

 

Rは右向き、jωLは上向きのベクトルなので、合成インピーダンスは2つのベクトルが合成されて右上向きのベクトルになります。

 

抵抗RとコンデンサCの直列回路の合成インピーダンス(RC直列回路)

RC直列回路の合成インピーダンス

抵抗RとコンデンサCが直列接続なので回路は次のようになります。

 

抵抗RとコンデンサCが直列接続の回路

 

すると、直列接続なので、RL直列回路と同じように合成インピーダンスはそれぞれのインピーダンスを足すだけです。

 

抵抗Rのインピーダンスは、R[Ω]
コンデンサCのインピーダンスは、1/jωC[Ω]

 

なので、求めるRC直列回路の合成インピーダンスは、

 

RC直列回路の合成インピーダンス

 

となります。

 

虚数「j」が分母にあるので分子に持ってきてもいいですよ。 「j」を分子に持ってくると、

 

Z=R−j/ωC

 

となります。

 

RC直列回路の合成インピーダンスの大きさ

RC直列回路の合成インピーダンスの大きさは、A式の絶対値を求めればいいですね。

 

RC直列回路の合成インピーダンスの大きさの式の展開

 

したがって、RC直列回路の合成インピーダンスの大きさは、

 

RC直列回路の合成インピーダンスの大きさ

 

となります。

 

RC直列回路の合成インピーダンスのベクトル図

RC直列回路の合成インピーダンスのベクトル図は次のようになりますよ。

 

抵抗RとコンデンサCが直列接続の回路のインピーダンスのベクトル図

 

Rは右向き、-j/ωCは下向きのベクトルなので2つのベクトルが合成されて
合成インピーダンスは右下向きのベクトルになります。

 

 


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コイルLとコンデンサCの直列回路の合成インピーダンス(LC直列回路)

LC直列回路の合成インピーダンス

コイルLとコンデンサCが直列接続なので回路は次のようになります。

 

コイルLとコンデンサCが直列接続の回路

 

このLC直列回路の合成インピーダンスも、それぞれのインピーダンスを足すだけです。

 

コイルLのインピーダンスは、jωL[Ω]
コンデンサCのインピーダンスは、1/jωC[Ω]

 

なので、求めるLC直列回路の合成インピーダンスは、

 

Z=jωL+1/jωC[Ω](LC直列回路の合成インピーダンスの式)

 

となります。 

 

この式を虚数「j」で整理しましょう。 すると、

 

Z=j(ωL−1/ωC)

 

LC直列回路の合成インピーダンス・・・B

 

となります。

 

LC直列回路の合成インピーダンスの大きさ

LC直列回路の合成インピーダンスの大きさは、B式の絶対値を求めればいいですね。

 

LC直列回路の合成インピーダンスの大きさの式の展開

 

したがって、LC直列回路の合成インピーダンスの大きさは、

 

LC直列回路の合成インピーダンスの大きさ

 

となります。

 

LC直列回路の合成インピーダンスのベクトル図

LC直列回路の合成インピーダンスのベクトル図を書くときは、B式の( )の中の符号、値によって合成インピーダンスのベクトルの向きが変わるので、ちょっと注意が必要ですよ。
ωL−1/ωC>0のときと、ωL−1/ωC<0のときと、ωL−1/ωC=0のときで
場合分けして考えなければならないということです。 ちょっとめんどくさいですね。

 

(A)ωL−1/ωC>0のとき
ωL−1/ωC>0のときは「j」にかかる値が正ということになるので
合成インピーダンスのベクトルは上向きになります。

 

ωL−1/ωC>0のときのコイルLとコンデンサCが直列接続の回路のインピーダンスのベクトル図

 

ちなみに、ωL−1/ωC>0というのはωL>1/ωCということになるので、
物理的な意味は、コイルLのリアクタンスがコンデンサCのリアクタンスよりも大きい場合ということになります。

 

(B)ωL−1/ωC<0のとき
ωL−1/ωC<0のときは「j」にかかる値が負ということになるので
合成インピーダンスのベクトルは下向きになります。

 

ωL−1/ωC<0のときのコイルLとコンデンサCが直列接続の回路のインピーダンスのベクトル図

 

この場合は、ωL−1/ωC<よりωL<1/ωCということになるので、
これは、コイルLのリアクタンスがコンデンサCのリアクタンスよりも小さい場合ということになります。

 

(C)ωL−1/ωC=0のとき
ωL−1/ωC=0のときは「j」にかかる値がゼロになるので
合成インピーダンスはゼロになってしまいます。

 

ωL−1/ωC=0のときのコイルLとコンデンサCが直列接続の回路のインピーダンスのベクトル図

 

この場合は、ωL−1/ωC=よりωL=1/ωCということになるので、
コイルLのリアクタンスとコンデンサCのリアクタンスが同じ値の場合で、このときは合成インピーダンスはゼロになっちゃいますよ。ということなんですね。
でも現実としては、LCの直列に小さい抵抗が直列に入るので、ゼロってことにはならないんですけどね。(電線には抵抗があるという意味です。)

 

 

 

以上が素子2個を直列接続した場合の合成インピーダンスになります。

 

コイルLとコンデンサCが直列接続されている場合は、それぞれのリアクタンスの大きさで合成インピーダンスのベクトルの向きが変わることをおぼえておきましょう。

 

R、L、Cのインピーダンスはこちら
RL並列回路、RC並列回路、LC並列回路の合成インピーダンスはこちら
RLC直列回路の合成インピーダンスはこちら
RLC並列回路の合成インピーダンスはこちら

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