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交流回路の合成インピーダンスの計算(RLC直列回路)

回路の素子が3個(抵抗 $R$、コイル $L$、コンデンサ $C$)直列接続されたRLC直列回路の合成インピーダンスを計算してみます。

 

抵抗RとコイルLとコンデンサCの直列回路の合成インピーダンス(RLC直列回路)

RLC直列回路の合成インピーダンス

RLC直列回路は、抵抗 $R$ とコイル $L$ とコンデンサ $C$ が直列に接続された回路で、次のような回路になります。

 

抵抗RとコイルLとコンデンサCが直列接続の回路

 

直列接続なので、この回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ は それぞれのインピーダンスを足すだけ で求められ、抵抗 $R$ のインピーダンスは $R$[$ \mathrm{\Omega} $]、コイル $L$ のインピーダンスは $j \omega L$[$ \mathrm{\Omega} $]、コンデンサ $C$ のインピーダンスは $\dfrac{1}{j \omega C}$[$ \mathrm{\Omega} $]なので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ は3つのインピーダンスを足して、

 

$\dot{Z} = R + j \omega L + \dfrac{1}{j \omega C}$ となります。($\omega$ は角周波数($\omega = 2 \pi f$)です。)

 

この式を虚数単位 $j$ で整理したいので、$\dfrac{1}{j \omega C}$ の分母と分子に $j$ をかけると、

 

$\dot{Z} = R + j \omega L + \dfrac{j \times 1}{j \times j \omega C}$ $= R + j \omega L + \dfrac{j}{-1 \cdot \omega C}$ $= R + j \omega L - j \dfrac{1}{\omega C}$ $= R + j \left( \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right)$

 

したがって、RLC直列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ は、

 

$\therefore \dot{Z} = R + j \left( \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right)$ [$ \mathrm{\Omega} $] …@

 

となります。

 

RLC直列回路の合成インピーダンスの大きさ

RLC直列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ の大きさは、@式の絶対値を求めればいいので、

 

$\therefore | \dot{Z} | = \sqrt{R^2 + \left( \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right)^2}$ [$ \mathrm{\Omega} $]

 

となります。

 

RLC直列回路の合成インピーダンスのベクトル図

RLC直列回路の合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトル図を書くときは、@式の( )の中が正になるか?負になるか?またはゼロになるか?によって合成インピーダンス $\dot{Z}$ の ベクトルの向きが変わる ので、ちょっと注意が必要ですよ。

 

つまり、$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \gt 0$ のとき、$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \lt 0$ のとき、$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} = 0$ のときで、場合分けして考えなければならないということです。ちょっとめんどくさいですね。

 

($\mathrm{A}$)$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \gt 0$ のとき

$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \gt 0$ のときは@式の $j$ にかかる値が ということになるので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトルは、次のように右上向きになります。

 

ωL−1/ωC>0のときのRLC直列回路の合成インピーダンスのベクトル図

 

ちなみに、$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \gt 0$ というのは $\omega L \gt \dfrac{1}{\omega C}$ ということになるので、物理的な意味は、コイル $L$ のリアクタンスがコンデンサ $C$ のリアクタンスよりも大きい場合ということになります。

 

($\mathrm{B}$)$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \lt 0$ のとき

$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \lt 0$ のときは@式の $j$ にかかる値が ということになるので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ のベクトルは、次のように右下向きになります。

 

ωL−1/ωC<0のときのRLC直列回路のインピーダンスのベクトル図

 

ちなみにこの場合は、$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} \lt 0$ より $\omega L \lt \dfrac{1}{\omega C}$ ということになるので、物理的な意味は、コイル $L$ のリアクタンスがコンデンサ $C$ のリアクタンスよりも小さい場合ということになります。

 

($\mathrm{C}$)$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} = 0$ のとき

$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} = 0$ のときは@式の $j$ にかかる値が ゼロ になるので、合成インピーダンス $\dot{Z}$ は抵抗 $R$ だけ($\dot{Z} = R$)になってしまいます。

 

ωL−1/ωC=0のときのRLC直列回路のインピーダンスのベクトル図

 

この場合は、$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} = 0$ より $\omega L = \dfrac{1}{\omega C}$ ということになるので、物理的な意味は、コイル $L$ のリアクタンスとコンデンサ $C$ のリアクタンスが同じ値の場合ということになります。なので、コイル $L$ のリアクタンスとコンデンサ $C$ のリアクタンスが同じ値のときは、合成インピーダンスは抵抗Rだけになっちゃいますよ、ということなんですね。

 

ちなみに、$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} = 0$ すなわち、$\omega = \dfrac{1}{\sqrt{L C}}$ は、回路の共振条件になります。共振については、こちらのRLC直列共振回路のページを参考にしてみてください。

 

補足|グラフの横軸と縦軸について

グラフの横軸と縦軸に書いてある[$\mathrm{Re}$]と[$\mathrm{Im}$]は、複素平面の実軸と虚軸という意味です。複素平面の実軸には複素数の実部が対応し、虚軸には複素数の虚部が対応します。

 

グラフ(複素平面)の縦軸と横軸の説明図(実軸と虚軸)

 

ちなみに、複素平面は、ガウス平面とか複素数平面ともいいます。

 

 

 

以上が素子3個を直列接続したRLC直列回路の合成インピーダンスになります。

 

抵抗 $R$ とコイル $L$ とコンデンサ $C$ が直列接続されている場合は、コイル $L$ とコンデンサ $C$ のリアクタンスの大きさで合成インピーダンスのベクトルの向きが変わること(右上向きか?右下向きか?右向きか?)をおぼえておきましょう。

 

それから、$\omega L - \dfrac{1}{\omega C} = 0$ $\left( \omega L = \dfrac{1}{\omega C} \right)$ のときのRLC直列回路の合成インピーダンスは、抵抗 $R$ だけになることもおぼえておきましょう。これってものすご〜く大事ですよ!

 

R、L、Cのインピーダンスはこちら
RL直列回路、RC直列回路、LC直列回路の合成インピーダンスはこちら
RL並列回路、RC並列回路、LC並列回路の合成インピーダンスはこちら
RLC並列回路の合成インピーダンスはこちら
RLC直列共振回路はこちら

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