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交流回路の合成インピーダンスの計算(RLC直列回路)

回路の素子(抵抗R、コイルL、コンデンサC)が3個直列接続されたRLC直列回路の合成インピーダンスを計算してみます。

 

抵抗RとコイルLとコンデンサCの直列回路の合成インピーダンス(RLC直列回路)

RLC直列回路の合成インピーダンス

抵抗RとコイルLとコンデンサCが直列接続なので回路は次のようになります。

 

抵抗RとコイルLとコンデンサCが直列接続の回路

 

直列接続なので合成インピーダンスを求めるためには、それぞれのインピーダンスを足すだけでいいですね。

 

抵抗RのインピーダンスはR[Ω]
コイルLのインピーダンスはjωL[Ω]
コンデンサCのインピーダンスは1/jωC[Ω]

 

なので、求めるRLC直列回路の合成インピーダンスは、

 

RLC直列回路の合成インピーダンスの式

 

となります。 これを虚数「j」で整理しましょう。

 

分母の「j」をなくしたいので、1/jωCの分母子に「j」をかけてから計算します。

 

RLC直列回路の合成インピーダンスの式の展開

 

したがって「j」で整理すると、

 

RLC直列回路の合成インピーダンス・・・@

 

となります。

 

RLC直列回路の合成インピーダンスの大きさ

RLC直列回路の合成インピーダンスの大きさは、@式の絶対値を求めればいいですね。

 

RLC直列回路の合成インピーダンスの大きさの式

 

したがって、RLC直列回路の合成インピーダンスの大きさは、

 

RLC直列回路の合成インピーダンスの大きさ

 

となります。(あ、そのままですね。)

 

RLC直列回路の合成インピーダンスのベクトル図

RLC直列回路の合成インピーダンスのベクトル図を書くときは、@式の( )の中の符号、値によって合成インピーダンスのベクトルの向きが変わるので、ちょっと注意が必要ですよ。
ωL−1/ωC>0のときと、ωL−1/ωC<0のときと、ωL−1/ωC=0のときで場合分けして
考えなければならないということです。 ちょっとめんどくさいですよ。

 

(A)ωL−1/ωC>0のとき
ωL−1/ωC>0のときは「j」にかかる値が正になるので
合成インピーダンスのベクトルは右上向きになります。

 

ωL−1/ωC>0のときのRLC直列回路の合成インピーダンスのベクトル図

 

ちなみに、ωL−1/ωC>0というのはωL>1/ωCということになるので、
物理的な意味は、コイルLのリアクタンスがコンデンサCのリアクタンスよりも大きい場合ということになります。

 

(B)ωL−1/ωC<0のとき
ωL−1/ωC<0のときは「j」にかかる値が負になるので
合成インピーダンスのベクトルは右下向きになります。

 

ωL−1/ωC<0のときのRLC直列回路のインピーダンスのベクトル図

 

この場合は、ωL−1/ωC<よりωL<1/ωCということになるので、
これは、コイルLのリアクタンスがコンデンサCのリアクタンスよりも小さい場合ということになります。

 

(C)ωL−1/ωC=0のとき
ωL−1/ωC=0のときは「j」にかかる値がゼロになるので
合成インピーダンスは抵抗Rだけになってしまいます。

 

ωL−1/ωC=0のときのRLC直列回路のインピーダンスのベクトル図

 

この場合は、ωL−1/ωC=よりωL=1/ωCということになるので、
コイルLのリアクタンスとコンデンサCのリアクタンスが同じ値の場合で、このときは合成インピーダンスは抵抗Rだけになっちゃいますよ。ということなんですね。

 

 


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以上が素子3個を直列接続した場合の合成インピーダンスになります。

 

抵抗RとコイルLとコンデンサCが直列接続されている場合は、コイルLとコンデンサCのリアクタンスの大きさで合成インピーダンスのベクトルの向きが変わること(右上向きか?右下向きか?)をおぼえておきましょう。

 

それから、ωL−1/ωC=0のときの合成インピーダンスは抵抗Rだけになる
こともおぼえておきましょう。 これってものすご〜く大事ですよ!

 

R、L、Cのインピーダンスはこちら
RL直列回路、RC直列回路、LC直列回路の合成インピーダンスはこちら
RL並列回路、RC並列回路、LC並列回路の合成インピーダンスはこちら
RLC並列回路の合成インピーダンスはこちら
RLC直列共振回路はこちら

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