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スター結線(Y結線)の線間電圧はなぜ相電圧の√3倍になるのか?

スター結線(Y結線)の線間電圧と相電圧の関係式

スター結線(Y結線)されている三相交流回路の線間電圧と相電圧の関係は、

 

線間電圧=√3×相電圧  ・・・@

 

となり、この関係式はスター結線の三相交流回路を考えるときによく使われていて、ほぼ公式みたいなものです。(てか、公式か?)

 

それで、この関係式(@式)は三相交流の問題を解くときなどに使ったことがある人が多いと思いますが、

 

なぜ、線間電圧は相電圧の√3倍になるの?

 

って、思ったりしますよね? (ない?)

 

ここでは、スター結線のときに線間電圧が相電圧の√3倍になる理由について解説します。

 

スター結線で線間電圧が相電圧の√3倍になる理由

次の図のようなスター結線された三相交流回路について考えます。

 

図1 スター結線の三相交流回路

 

この回路図を見て、あれ?線間電圧と相電圧ってどこの電圧だったっけ?

 

なんて、思っちゃったりしていないですか?

 

線間電圧と相電圧はここですよ!

 

図2 スター結線の線間電圧と相電圧

 

A相、B相、C相の電源の電圧をそれぞれVa、Vb、Vcとすると、
Va、Vb、Vcそれぞれがそのまんま各相の相電圧になって、
A相の電圧線とB相の電圧線の間にかかる電圧がA相とB相間の線間電圧Vab、
B相の電圧線とC相の電圧線の間にかかる電圧がB相とC相間の線間電圧Vbc、
C相の電圧線とA相の電圧線の間にかかる電圧がC相とA相間の線間電圧Vca、
になります。

 

それで、ここでは線間電圧と相電圧の関係を求めたいので、まず初めに図2の回路図の
相電圧Va、Vb、Vcのベクトル図を書いてみると次のようになります。

 

図3 スター結線の相電圧のベクトル図

 

大きさが同じでA相、B相、C相の位相が120°ずつズレたベクトルになります。
(三相電源を対称三相交流電源で考えています。)

 

相電圧のベクトルが書けたので、あとは線間電圧のベクトルが書ければ相電圧と線間電圧の関係が分かりますね。

 

線間電圧は、例えばA相とB相間の線間電圧Vabを考える場合、
A相の相電圧とB相の相電圧の電位差になるので、2つの相電圧を引き算すると求められます。

 

直流回路で電位差を求めるときも、ある電圧とある電圧を引き算して電位差を求めますよね? それと同じ考え方です。

 

ただしこの場合は、引き算といっても交流なのでベクトルで引き算しないとダメです。
すると線間電圧Vabは、
Vab=Va-Vb ・・・A となります。
あとはAのベクトル図を書いてみればいいですね。
図3より、ベクトルVa、Vbだけ書くと次のようになります。

 

図4 Va、Vbのベクトル図

 

書きたいベクトルはVab=Va−Vb・・・Aですよね。
ベクトルの引き算を分かりやすくするために、A式をちょっと変形すると、
Vab=Va+(−Vb) となります。
この式は、ベクトルVaと(−Vb)を足すとベクトルVabになります、という意味ですね。
まず図4にベクトル(−Vb)を書き加えてみましょう。−VbはVbと同じ大きさで反対向きの
ベクトルなので、図5の赤色のベクトルになります。

 

図5 -Vbのベクトル図

 

あとはVaと-Vbを足せばVabになります。

 

図6 Vabのベクトル図

 

これが線間電圧Vabのベクトル図になります。
線間電圧Vbc、Vcaについても同じように計算すると求められるので、計算は省略して
ベクトル図を書いてみると次のようになります。

 

図7 スター結線の相電圧と線間電圧のベクトル図

 

なんだか急に難しそうになりましたが、線間電圧Vab、Vbc、Vcaそれぞれ分けて考えて、
それを一つの図に書いているだけなので、実はそんなに難しくはなかったりします。

 

ムズイっと思った人は一つ一つ分けて考えてみましょう。

 

ここまでで相電圧と線間電圧のベクトル図が書けました。それで、ここでの話は、

 

スター結線の線間電圧はなぜ相電圧の√3倍になるのか?

 

でしたね。

 

図7のベクトル図で解説していくと図がゴチャゴチャになって分かりにくいので

 

VaとVabのところだけにして角度も書くと次のようになります。

 

図8 VaとVabのベクトル図

 

ベクトルVaと(-Vb)の大きさは等しく、2つのベクトルのなす角が60°なので、
VaとVabのなす角は60°の半分の30°になります。
図8をVaとVabだけにして、ちょっと回転します。

 

図9 VaとVabのベクトル図

 

図9の右側の図は元々ひし形の半分なので正三角形になっています。

 

図10 VaとVabのベクトル図

 

なので、Vabの大きさ(長さ)はVaの大きさ(長さ)にcos30°をかけて2倍すると
求められます。式で書けば次のようになります。
Vab=Va×cos30°×2
cos30°=√3÷2なので、これを代入すると、
式の展開
Vabは線間電圧の大きさ、Vaは相電圧の大きさなので、これを言葉で書くと、

 

線間電圧=√3×相電圧

 

となり、したがって、スター結線の場合、

 

線間電圧は相電圧の√3倍

 

になる。ということになります。

 

もちろん、他の相についても同じですよ。

 

図11 スター結線の相電圧と線間電圧のベクトル図

 

 

 

スター結線の相電圧と線間電圧の関係は、電験三種の「理論」「電力」科目でもよく使われる基本的な公式なので、受験する方は必ずおぼえておくようにしましょう。

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