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直流発電機の誘導起電力の公式

直流発電機の誘導起電力 $E$ を与える式は、

 

$E$ ：直流発電機の誘導起電力 ［$ \mathrm{V} $］
$a$ ：並列回路数（重ね巻の場合 $a=p$、波巻の場合 $a=2$）
$p$ ：磁極数
$Z$ ：電機子の導体総数
$N$ ：電機子の回転速度 ［$ \mathrm{min^{-1}} $］

 

とすると、次式で与えられます。

 

 

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直流発電機の誘導起電力の式の導出

直流発電機の誘導起電力の式は、次のようにすると導出できます。

 

ある $n$［本］の導体が時間 $\varDelta t$［$ \mathrm{s} $］の間に $\varDelta \phi$［$ \mathrm{Wb} $］の磁束を切るとき、このときに発生する誘導起電力 $e$ の大きさは次式で与えられます。

 

$e=n \dfrac{\varDelta \phi}{\varDelta t}$　［$ \mathrm{V} $］　…①

 

ここで、①式の $\dfrac{\varDelta \phi}{\varDelta t}$ は、$\varDelta t = 1$［$ \mathrm{s} $］とすれば $\dfrac{\varDelta \phi}{\varDelta t}$ は1秒間の磁束 $\phi$ の変化量ということになるので、例えば次のように磁束密度 $B$［$ \mathrm{T} $］の中で、長さ $l$［$ \mathrm{m} $］の導体が速度 $v$［$ \mathrm{m / s} $］で移動している場合、$\dfrac{\varDelta \phi}{\varDelta t}$ は、$\dfrac{\varDelta \phi}{\varDelta t} = B \cdot vl = Blv$ と表わされます。

 

 

 

したがって、 $n$［本］の導体が磁束を切る場合の誘導起電力 $e$ の大きさは、次のようになります。

 

$e=nBlv$　［$ \mathrm{V} $］　…②

 

次に、②式の $n$、$B$、$v$ について、直流発電機と対応させて考えてみます。

 

直流発電機の電機子巻線の導体総数を $Z$、並列回路数を $a$ とすると、直列導体数 $n$ は、

 

$n = \dfrac{Z}{a}$　…③　となります。

 

また、電機子の直径を $D$［$ \mathrm{m} $］、長さを $l$［$ \mathrm{m} $］、磁極数を $p$、毎極の有効磁束を $ \phi $［$ \mathrm{Wb} $］とすれば、電機子の周辺の平均磁束密度 $B$ は、

 

$B = \dfrac{\text{全磁束}}{\text{電機子の周辺の面積}} = \dfrac{p \cdot \phi}{\pi D \cdot l}$

 

$\therefore B = \dfrac{p \phi}{\pi D l}$　［$ \mathrm{T} $］　…④　となります。（ $\pi D$ は円周で、半径を $r$ とすると $\pi D = 2 \pi r$ です。）

 

速度 $v$ については、電機子の半径を $r$［$ \mathrm{m} $］、電機子の回転角速度を $\omega$［$ \mathrm{rad / s} $］とすれば、$v=r \omega$ なので、これを電機子の直径 $D$、電機子の回転速度 $N$［$ \mathrm{min^{-1}} $］で表わすと次のようになります。（ $f$ は周波数で、$\omega = 2 \pi f$ です。）

 

$v = r \omega = r \cdot 2 \pi f = 2 \pi r \cdot f$ $= \pi \cdot 2r \cdot \dfrac{N}{60}$ $= \pi D \dfrac{N}{60}$

 

$\therefore v = \pi D \dfrac{N}{60}$　［$ \mathrm{m / s} $］　…⑤

 

以上より、③、④、⑤式を②式に代入すると、

 

$e = nBlv = \dfrac{Z}{a} \cdot \dfrac{p \phi}{\pi D l} \cdot l \cdot \pi D \dfrac{N}{60}$ $= \dfrac{Z p \phi N}{60 a}$ $= \dfrac{p Z}{60 a} \phi N$

 

$\therefore e = \dfrac{p Z}{60 a} \phi N$

 

したがって、$e=E$ とすれば、直流発電機の誘導起電力を与える式は次式となります。

 

 

 

誘導起電力については、こちらの電磁誘導のページも参考にしてみてください。

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