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立体の体積を求める公式
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立体の体積を求める公式は、ふだんあまり使っていないと、
あれ？ どんな公式だったかなぁ？
と忘れてしまったり…、
げっ！ これは体積を求める公式じゃなくて、表面積を求める公式だった！
と、なったりします。（球の場合とかよくあるよね？ ない？）
このページでは、球や円錐などの立体の体積を求める公式についてまとめていますので、
この立体の体積はどうやって求めるの？とか、
体積を求める公式を忘れてしまった！
なんてときに、参考にしてみてください。
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立方体の体積を求める公式
● 体積 $V=a\times a\times a=a^3$
直方体の体積を求める公式
● 体積 $V=a\, b\, h$
直方体の体積は、底面積 $a\times b$ に高さ $h$ をかけると求められます。
三角柱・四角柱の体積を求める公式
● 体積 $V=S\, h$
三角柱や四角柱の体積は、底面積 $S$ に高さ $h$ をかけると求められます。
円柱の体積を求める公式
● 体積 $V=S\, h$
円柱の体積も、底面積 $S$ に高さ $h$ をかけると求められます。
底面の円の半径を $r$ とすると底面積は $\pi\, r^2$ になるので、円柱の体積の公式は次のようにも表わせます。
● 体積 $V=\pi\, r^2\, h$
三角錐・四角錐の体積を求める公式
● 体積 $V=\dfrac{1}{3}S\, h$
三角錐や四角錐の体積は、底面積 $S$ に高さ $h$ をかけて3で割ると求められます。
円錐の体積を求める公式
● 体積 $V=\dfrac{1}{3}S\, h$
円錐の体積も、底面積 $S$ に高さ $h$ をかけて3で割ると求められます。
底面の円の半径を $r$ とすると底面積は $\pi\, r^2$ になるので、円錐の体積の公式は次のようにも表わせます。
● 体積 $V=\dfrac{1}{3}\pi\, r^2\, h$
球の体積を求める公式
● 体積 $V=\dfrac{4}{3}\pi\, r^3$
ちなみに、球の表面積を求める公式は、
● 表面積 $S=4\,\pi\, r^2$
です。
中空球の体積を求める公式
● 体積 $V=\dfrac{4}{3}\pi\, \left( R^3-r^3\right)$ …①
外側の球の体積 $\dfrac{4}{3}\pi\, R^3$ から内側の球の体積 $\dfrac{4}{3}\pi\, r^3$ を引くと①式になります。
楕円体の体積を求める公式
● 体積 $V=\dfrac{4}{3}\pi\, a\, b\, c$ …②
$c$ と $b$ が等しい場合は、②式の $c$ に $b$ を代入して次のような公式になります。
● 体積 $V=\dfrac{4}{3}\pi\, a\, b^2$
立体の体積を求める公式の一覧表
以上の立体の体積を求める公式を一覧表にまとめると、次の表のようになります。
| 立体 | 体積を求める公式 |
|---|---|
| 立方体 | $V=a^3$ |
| 直方体 | $V=a\, b\, h$ |
| 三角柱 | $V=S\, h$ （$S$ は底面積） |
| 四角柱 | $V=S\, h$ （$S$ は底面積） |
| 円柱 | $V=S\, h$ （$S$ は底面積） |
| $V=\pi\, r^2\, h$ | |
| 三角錐 | $V=\dfrac{1}{3}S\, h$ （$S$ は底面積） |
| 四角錐 | $V=\dfrac{1}{3} S\, h$ （$S$ は底面積） |
| 円錐 | $V=\dfrac{1}{3} S\, h$ （$S$ は底面積） |
| $V=\dfrac{1}{3}\pi\, r^2\, h$ | |
| 球 | $V=\dfrac{4}{3}\pi\, r^3$ |
| 中空球 | $V=\dfrac{4}{3}\pi\left( R^3-r^3\right)$ |
| 楕円体 | $V=\dfrac{4}{3}\pi\, a\, b\, c$ |
| $V=\dfrac{4}{3}\pi\, a\, b^2$ （$c$ が $b$ と等しい場合） |
ふだんからよく使う公式はあまり忘れることはありませんが、たまにしか使わないような公式は忘れやすいです。
立体の体積の公式には、例えば、
- 三角柱や円柱などの柱体の場合は、底面積に高さをかける
- 三角錐や円錐などの錐体は $\dfrac{1}{3}$ をかける
など共通的なところがあります。
なので、これらの共通点に着目して公式をおぼえるようにすると、比較的おぼえやすいんじゃないかと思います。
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図形の面積を求める公式については、こちらの図形の面積を求める公式のページを参考にしてみてください。
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