ひし形の対角線の長さの求め方

ひし形の「辺の長さ」と「角度」(2つの辺がはさむ角度)が分かっている場合、

 

ひし形

 

ひし形の対角線の長さは、

 

対角線の半分の長さを求めて、それを2倍する

 

ひし形の対角線の求め方①

 

または、

 

対角線を斜辺とする直角三角形を書いて、三平方の定理を使う

 

ひし形の対角線の求め方②

 

と求められます。

 

このページでは、ひし形の「辺の長さ」と「角度」が分かっている場合の対角線の長さの求め方について解説していますので、

 

ひし形の対角線の長さを求めたい!

 

なんてときに参考にしてみてください。

 

対角線の半分の長さを求めて、それを2倍して対角線の長さを求める方法

次のように、辺の長さと角度が分かっているひし形 $\mathrm{ABCD}$ があるとします。

 

ひし形ABCD

 

このひし形の「対角線 $\mathrm{BD}$ の長さ」と「対角線 $\mathrm{AC}$ の長さ」を求めてみます。

 

対角線BDの長さの求め方

$\angle\,\mathrm{ABC}$ は $60^\circ$ なので、対角線 $\mathrm{BD}$ と対角線 $\mathrm{AC}$ の交点を $\mathrm{E}$ とすると、$\angle\,\mathrm{ABE}$ は $60^\circ$ の半分の $30^\circ$ になります。

 

∠ABEは30°になる

 

なので、対角線 $\mathrm{BD}$ の半分の長さになる $\mathrm{BE}$ の長さは、

 

$\mathrm{BE} =\mathrm{AB}\times\cos 30^\circ =2\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $=\sqrt{3}$

 

$\therefore\mathrm{BE} =\sqrt{3}$ …① となります。

 

対角線の半分の長さ(BEの長さ)は√3

 

対角線の半分の長さ( $\mathrm{BE}$ の長さ)が求められたので、あとは①を2倍するだけです。

 

対角線 $\mathrm{BD}$ の長さは、$\mathrm{BE}$ を2倍して、

 

$\mathrm{BD} =2\times\mathrm{BE} =2\times\sqrt{3} =2\sqrt{3}$

 

$\therefore\mathrm{BD} =2\sqrt{3}$

 

となります。

 

BEの長さを2倍すると対角線BDの長さ

 

対角線ACの長さの求め方

$\angle\,\mathrm{ABE}$ は $30^\circ$ なので、対角線 $\mathrm{AC}$ の半分の長さになる $\mathrm{AE}$ の長さは、

 

∠ABEは30°

 

$\mathrm{AE} =\mathrm{AB}\times\sin 30^\circ =2\times\dfrac{1}{2} =1$

 

$\therefore\mathrm{AE} =1$ …② となります。

 

対角線の半分の長さ(AEの長さ)は1

 

対角線の半分の長さ( $\mathrm{AE}$ の長さ)が求められたので、あとは②を2倍するだけです。

 

対角線 $\mathrm{AC}$ の長さは、$\mathrm{AE}$ を2倍して、

 

$\mathrm{AC} =2\times\mathrm{AE} =2\times 1=2$

 

$\therefore\mathrm{AC} =2$

 

となります。

 

AEの長さを2倍すると対角線ACの長さ

 

 


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対角線を斜辺とする直角三角形を書いて、三平方の定理を使う方法

次のように、辺の長さと角度が分かっているひし形 $\mathrm{ABCD}$ があるとします。

 

ひし形ABCD

 

このひし形の「対角線 $\mathrm{BD}$ の長さ」と「対角線 $\mathrm{AC}$ の長さ」を求めてみます。

 

対角線BDの長さの求め方

対角線 $\mathrm{BD}$ を斜辺とする直角三角形を書くと次のようになります。(直角三角形の直角になっているところの頂点は $\mathrm{E}$ とします。)

 

対角線BDと直角三角形

 

直角三角形 $\mathrm{BDE}$ の辺 $\mathrm{DE}$ の長さは、$\mathrm{DC} =2$ 、$\angle\,\mathrm{DCE} =60^\circ$ なので、

 

$\mathrm{DE} =\mathrm{DC}\times\sin 60^\circ =2\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $=\sqrt{3}$

 

$\therefore\mathrm{DE} =\sqrt{3}$ …③ となります。

 

辺DEの長さの求め方

 

また、直角三角形 $\mathrm{BDE}$ の辺 $\mathrm{BE}$ の長さは、$\mathrm{BC}$ の長さと $\mathrm{CE}$ の長さを足したものなので、$\mathrm{BE} =\mathrm{BC} +\mathrm{CE}$ となります。

 

ここで、$\mathrm{BC}$ の長さはひし形の辺の長さなので「$2$」と分かりますが、$\mathrm{CE}$ の長さは分かりません。なので、$\mathrm{CE}$ の長さを求めると、

 

$\mathrm{DC} =2$ 、$\angle\,\mathrm{DCE} =60^\circ$ より、

 

$\mathrm{CE} =\mathrm{DC}\times\cos 60^\circ =2\times\dfrac{1}{2} =1$

 

$\therefore\mathrm{CE} =1$ となります。

 

辺CEの長さの求め方

 

したがって、

 

$\mathrm{BE} =\mathrm{BC} +\mathrm{CE} =2+1=3$

 

$\therefore\mathrm{BE} =3$ …④ となるので、

 

直角三角形 $\mathrm{BDE}$ の斜辺を除く2辺( $\mathrm{DE}$ と $\mathrm{BE}$ )それぞれの長さは、③、④より、「$\sqrt{3}$」と「$3$」になります。

 

直角三角形BDEの斜辺を除く2辺の長さ

 

直角三角形 $\mathrm{BDE}$ の2辺の長さが求められたので、あとは三平方の定理で直角三角形 $\mathrm{BDE}$ の斜辺の長さを求めるだけです。

 

三平方の定理より、直角三角形 $\mathrm{BDE}$ の斜辺 $\mathrm{BD}$ の長さは、

 

$\mathrm{BD} =\sqrt{(\sqrt{3} )^2 +3^2} =\sqrt{3+9}$ $=\sqrt{12}$ $=2\sqrt{3}$

 

したがって、ひし形 $\mathrm{ABCD}$ の対角線 $\mathrm{BD}$ の長さは、

 

$\therefore\mathrm{BD} =2\sqrt{3}$

 

となります。

 

ひし形ABCDの対角線BDの長さ

 

対角線ACの長さの求め方

対角線 $\mathrm{AC}$ を斜辺とする直角三角形を書くと次のようになります。(直角三角形の直角になっているところの頂点は $\mathrm{F}$ とします。)

 

対角線ACと直角三角形

 

直角三角形 $\mathrm{ACF}$ の辺 $\mathrm{AF}$ の長さは、$\mathrm{AB} =2$ 、$\angle\,\mathrm{ABF} =60^\circ$ なので、

 

$\mathrm{AF} =\mathrm{AB}\times\sin 60^\circ =2\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $=\sqrt{3}$

 

$\therefore\mathrm{AF} =\sqrt{3}$ …⑤ となります。

 

辺AFの長さの求め方

 

また、直角三角形 $\mathrm{ACF}$ の辺 $\mathrm{CF}$ の長さは、$\mathrm{BC}$ の長さから $\mathrm{BF}$ の長さを引いたものなので、$\mathrm{CF} =\mathrm{BC} -\mathrm{BF}$ となります。

 

ここで、$\mathrm{BC}$ の長さはひし形の辺の長さなので「$2$」と分かりますが、$\mathrm{BF}$ の長さは分かりません。なので、$\mathrm{BF}$ の長さを求めると、

 

$\mathrm{AB} =2$ 、$\angle\,\mathrm{ABF} =60^\circ$ より、

 

$\mathrm{BF} =\mathrm{AB}\times\cos 60^\circ =2\times\dfrac{1}{2} =1$

 

$\therefore\mathrm{BF} =1$ となります。

 

辺BFの長さの求め方

 

したがって、

 

$\mathrm{CF} =\mathrm{BC} -\mathrm{BF} =2-1=1$

 

$\therefore\mathrm{CF} =1$ …⑥ となるので、

 

直角三角形 $\mathrm{ACF}$ の斜辺を除く2辺( $\mathrm{AF}$ と $\mathrm{CF}$ )それぞれの長さは、⑤、⑥より、「$\sqrt{3}$」と「$1$」になります。

 

直角三角形ACFの斜辺を除く2辺の長さ

 

直角三角形 $\mathrm{ACF}$ の2辺の長さが求められたので、あとは三平方の定理で直角三角形 $\mathrm{ACF}$ の斜辺の長さを求めるだけです。

 

三平方の定理より、直角三角形 $\mathrm{ACF}$ の斜辺 $\mathrm{AC}$ の長さは、

 

$\mathrm{AC} =\sqrt{(\sqrt{3} )^2 +1^2} =\sqrt{3+1}$ $=\sqrt{4}$ $=2$

 

したがって、ひし形 $\mathrm{ABCD}$ の対角線 $\mathrm{AC}$ の長さは、

 

$\therefore\mathrm{AC} =2$

 

となります。

 

ひし形ABCDの対角線ACの長さ

 

 

ひし形の対角線の長さの求め方の解説は以上になりますが、ここで解説した対角線の長さの求め方は、例えば、大きさが同じで向きが異なる2つのベクトルを合成したベクトルの大きさを求めるときなどにもよく使うので、おぼえておくようにしましょう。

 

大きさが同じで向きが異なる2つのベクトルを合成したベクトル

 

ひし形の対角線の長さの求め方のまとめ

ひし形の辺の長さと角度が分かっている場合、ひし形の対角線の長さは、次のようにすると求めることができる。

  • 対角線の半分の長さを求めて、それを2倍する

または、

  • 対角線を斜辺とした直角三角形を書いて、三平方の定理を使う

 

 

 

直角三角形の辺の長さを求めるときに使っている三平方の定理についてもうちょっと詳しく知りたい方は、こちらの三平方の定理のページを参考にしてみてください。
また、$\sin$ 、$\cos$ については、こちらの三角関数のsin、cos、tanって何?のページを参考にしてみてください。

 

 


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