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立方体の対角線の長さの求め方

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立方体の対角線の長さは、

 

立方体の辺の長さに $\sqrt{3}$ をかける

 

と求められます。

 

立方体の対角線の長さの求め方

 

なので、例えば、辺の長さが $a$ の立方体の場合には、

 

辺の長さがaの立方体

 

対角線の長さは、

 

対角線の長さ $=$ 辺の長さ $\times\sqrt{3}$ $=a\times\sqrt{3}$ $=\sqrt{3}\, a$

 

$\therefore$ 対角線の長さ $=\sqrt{3}\, a$

 

となります。

 

辺の長さがaの立方体の対角線の長さは√3a

 

また、辺の長さが $10$ の立方体の場合には、

 

辺の長さが10の立方体

 

対角線の長さは、

 

対角線の長さ $=$ 辺の長さ $\times\sqrt{3}$ $=10\times\sqrt{3}$ $=10\sqrt{3}$

 

$\therefore$ 対角線の長さ $=10\sqrt{3}$

 

となります。

 

辺の長さが10の立方体の対角線の長さは10√3

 

このように、立方体の対角線の長さは、辺の長さに $\sqrt{3}$ をかけるだけで求められます。$\sqrt{3}$ をかけるだけなので簡単ですね！

 

立方体の対角線の長さは、辺の長さに√3をかけるだけ

 

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立方体の辺の長さに $\sqrt{3}$ をかけると対角線の長さになるのはなぜか？

立方体の辺の長さに $\sqrt{3}$ をかけると対角線の長さになるのはなぜでしょうか？

 

これは、三平方の定理を使って対角線の長さを求めてみると分かります。

 

次のように、辺の長さが $a$ の立方体があるとします。

 

立方体

 

この立方体に対角線 $\mathrm{AG}$ を書いてみると、

 

対角線

 

となり、立方体の中に対角線 $\mathrm{AG}$ を斜辺とする直角三角形 $\mathrm{AEG}$ ができます。

 

直角三角形AEG

 

ここで、$\mathrm{EG}$ の長さを三平方の定理を使って求めてみると、

 

$\mathrm{EG} =\sqrt{a^2+a^2} =\sqrt{2a^2} =\sqrt{2}\, a$

 

$\therefore\mathrm{EG} =\sqrt{2}\, a$　…①

 

となります。

 

辺EGの長さ

 

また、$\mathrm{AE}$ の長さは立方体の辺の長さなので、

 

$\therefore\mathrm{AE} =a$　…②

 

となります。

 

したがって、①、②より、直角三角形 $\mathrm{AEG}$ は、次のような直角三角形になります。

 

直角三角形AEG

 

この直角三角形 $\mathrm{AEG}$ の斜辺 $\mathrm{AG}$ の長さ、すなわち、立方体の対角線 $\mathrm{AG}$ の長さを三平方の定理を使って求めてみると、

 

対角線 $\mathrm{AG} =\sqrt{(\sqrt{2}\, a)^2 +a^2}$ $=\sqrt{2a^2+a^2}$ $=\sqrt{3a^2}$ $=\sqrt{3}\, a$

 

$\therefore$ 対角線 $\mathrm{AG} =\sqrt{3}\, a$　…③

 

となります。

 

立方体の対角線AGの長さは√3a

 

③式は、「辺の長さ $a$ を $\sqrt{3}$ 倍すると対角線の長さになりますよ！」ということを表わしているので、つまり、立方体の辺の長さと対角線の長さの比は常に、

 

辺の長さ：対角線の長さ $=1$：$\sqrt{3}$

 

になることになります。

 

立方体の辺の長さと対角線の長さの比は1：√3

 

なので、立方体の場合、

  • 辺の長さが $1$ の場合、対角線の長さは $1\times\sqrt{3} =\sqrt{3}$
  • 辺の長さが $2$ の場合、対角線の長さは $2\times\sqrt{3} =2\sqrt{3}$
  • 辺の長さが $3$ の場合、対角線の長さは $3\times\sqrt{3} =3\sqrt{3}$　…

となり、辺の長さがどんな長さであっても、

 

辺の長さに $\sqrt{3}$ をかけると対角線の長さ

 

になります。

 

立方体の対角線の長さの求め方のまとめ
  • 辺の長さを $\sqrt{3}$ 倍すると、対角線の長さになる
  • 対角線の長さ $=$ 辺の長さ $\times\sqrt{3}$

 

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対角線の長さを求めるときに使っている三平方の定理についてもうちょっと詳しく知りたい方は、こちらの三平方の定理（ピタゴラスの定理）のページを参考にしてみてください。



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