直方体の対角線の長さの求め方

直方体の対角線の長さは、

 

対角線を斜辺とする直角三角形を書いて、三平方の定理を使う

 

と求められます。

 

直方体の対角線の長さの求め方

 

例えば、次のように、辺の長さがそれぞれ $a$ 、$b$ 、$c$ の直方体があるとします。

 

直方体

 

この直方体に対角線 $\mathrm{AG}$ を書いてみると、

 

対角線

 

となり、直方体の中に対角線 $\mathrm{AG}$ を斜辺とする直角三角形 $\mathrm{AEG}$ ができます。

 

直角三角形AEG

 

ここで、$\mathrm{EG}$ の長さを三平方の定理を使って求めてみると、

 

$\therefore\mathrm{EG} =\sqrt{a^2+b^2}$ …①

 

となります。

 

辺EGの長さ

 

また、$\mathrm{AE}$ の長さは直方体の辺の長さ(高さ)なので、

 

$\therefore\mathrm{AE} =c$ …②

 

となります。

 

したがって、①、②より、直角三角形 $\mathrm{AEG}$ は、次のような直角三角形になります。

 

直角三角形AEG

 

この直角三角形 $\mathrm{AEG}$ の斜辺 $\mathrm{AG}$ の長さ、すなわち、直方体の対角線 $\mathrm{AG}$ の長さを三平方の定理を使って求めてみると、

 

対角線 $\mathrm{AG} =\sqrt{(\sqrt{a^2+b^2} )^2+c^2}$ $=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

 

$\therefore$ 対角線 $\mathrm{AG} =\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ …③

 

となります。

 

直方体の対角線AGの長さは√a^2+b^2+c^2

 

このように、直方体の対角線の長さは、対角線を斜辺とする直角三角形を書いて、その直角三角形に三平方の定理を使うと求めることができます。

 

直方体の縦の辺の長さ( $a$ )、横の辺の長さ( $b$ )、高さの辺の長さ( $c$ )が分かっている場合は、③式で対角線の長さを求めることができるので、③式は、直方体の対角線の長さを求める公式としておぼえておくといいと思います。

 

直方体の対角線の長さを求める公式

 

直方体の対角線の長さの求め方のまとめ
  • 対角線を斜辺とした直角三角形を書いて、三平方の定理を使って対角線(斜辺)の長さを求める
  • 対角線の長さ $=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

 

 

 

対角線の長さを求めるときに使っている三平方の定理についてもうちょっと詳しく知りたい方は、こちらの三平方の定理のページを参考にしてみてください。

 

 


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