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正方形の対角線の長さの求め方

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正方形の対角線の長さは、

 

正方形の辺の長さに $\sqrt{2}$ をかける

 

と求められます。

 

正方形の対角線の長さの求め方

 

なので、例えば、辺の長さが $a$ の正方形の場合には、

 

辺の長さがaの正方形

 

対角線の長さは、

 

対角線の長さ $=$ 辺の長さ $\times\sqrt{2}$ $=a\times\sqrt{2}$ $=\sqrt{2}\, a$

 

$\therefore$ 対角線の長さ $=\sqrt{2}\, a$

 

となります。

 

辺の長さがaの正方形の対角線の長さは√2a

 

また、辺の長さが $10$ の正方形の場合には、

 

辺の長さが10の正方形

 

対角線の長さは、

 

対角線の長さ $=$ 辺の長さ $\times\sqrt{2}$ $=10\times\sqrt{2}$ $=10\sqrt{2}$

 

$\therefore$ 対角線の長さ $=10\sqrt{2}$

 

となります。

 

辺の長さが10の正方形の対角線の長さは10√2

 

このように、正方形の対角線の長さは、辺の長さに $\sqrt{2}$ をかけるだけで求められます。$\sqrt{2}$ をかけるだけなので簡単ですね！

 

正方形の対角線の長さは、辺の長さに√2をかけるだけ

 

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正方形の辺の長さに $\sqrt{2}$ をかけると対角線の長さになるのはなぜか？

正方形の辺の長さに $\sqrt{2}$ をかけると対角線の長さになるのはなぜでしょうか？

 

これは、正方形に対角線を書いて、その対角線を斜辺とする直角三角形の辺の比について考えてみると分かります。

 

次のように、辺の長さが $a$ の正方形 $\mathrm{ABCD}$ があるとします。

 

正方形

 

この正方形 $\mathrm{ABCD}$ に対角線 $\mathrm{BD}$ を書いてみると、

 

対角線

 

となり、正方形 $\mathrm{ABCD}$ の中に対角線 $\mathrm{BD}$ を斜辺とする直角三角形 $\mathrm{BCD}$ ができます。

 

直角三角形BCD

 

この直角三角形 $\mathrm{BCD}$ の斜辺 $\mathrm{BD}$ の長さ、すなわち、正方形の対角線 $\mathrm{BD}$ の長さを三平方の定理を使って求めてみると、

 

対角線 $\mathrm{BD} =\sqrt{a^2+a^2} =\sqrt{2\, a^2} =\sqrt{2}\, a$

 

$\therefore$ 対角線 $\mathrm{BD} =\sqrt{2}\, a$　…①

 

となります。

 

三平方の定理については、こちらの三平方の定理（ピタゴラスの定理）のページを参考にしてみてください。

 

①式は、「辺の長さ $a$ を $\sqrt{2}$ 倍すると対角線の長さになりますよ！」ということを表わしているので、つまり、正方形の辺の長さと対角線の長さの比は常に、

 

辺の長さ：対角線の長さ $=1$：$\sqrt{2}$

 

になることになります。

 

正方形の辺の長さと対角線の長さの比は1：√2

 

なので、正方形の場合、

  • 辺の長さが $1$ の場合、対角線の長さは $1\times\sqrt{2} =\sqrt{2}$
  • 辺の長さが $2$ の場合、対角線の長さは $2\times\sqrt{2} =2\sqrt{2}$
  • 辺の長さが $3$ の場合、対角線の長さは $3\times\sqrt{2} =3\sqrt{2}$　…

となり、辺の長さがどんな長さであっても、

 

辺の長さに $\sqrt{2}$ をかけると対角線の長さ

 

になります。

 

 

正方形の対角線の長さの求め方の解説は以上になりますが、ここで解説した $1$：$\sqrt{2}$ の関係は、例えば、大きさが同じで向きが $90^\circ$ 異なる2つのベクトルを合成したベクトルの大きさを求めるときなどにもよく使います。

 

大きさが同じで向きが90°異なる2つのベクトルを合成したベクトル

 

なので、正方形の辺の長さと対角線の長さの関係を表わす、

 

対角線の長さ $=$ 辺の長さ $\times\sqrt{2}$　…②

 

の式は、正方形の対角線の長さを求める公式としておぼえておくといいと思います。

 

ちなみに、②式より、

 

辺の長さ $=\dfrac{\text{対角線の長さ}}{\sqrt{2}}$

 

となるので、対角線の長さから正方形の辺の長さを求める場合は、対角線の長さを $\sqrt{2}$ で割ると求められます。

 

正方形の対角線の長さの求め方のまとめ
  • 辺の長さを $\sqrt{2}$ 倍すると、対角線の長さになる
  • 対角線の長さ $=$ 辺の長さ $\times\sqrt{2}$

 

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