過渡現象｜ラプラス変換によるRL直列回路の過渡現象の解き方

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次の図のように、抵抗 $R$［$\Omega$］、コイル $L$［$\mathrm{H}$］、直流電源 $E$［$\mathrm{V}$］、スイッチ $\mathrm{S}$ からなるRL直列回路があるとします。

 

 

この回路のスイッチをONすると過渡現象が起こるため、スイッチをONすると回路に流れる電流は時間的に変化し、その後ある程度時間が経過すると一定値に落ち着きます。

 

このような時間的に変化する過渡現象の電圧や電流の求め方には、回路の回路方程式（微分方程式）をたててその微分方程式をそのまま直接解いていく方法（変数分離法などを使って解いていく方法）の他に、ラプラス変換を使って解いていく方法があります。

 

このラプラス変換を使ってRL直列回路の過渡現象を解くときの手順は、おおよそ次のような手順になります。

 

 

少し複雑に思えるかもしれませんが、ラプラス変換を使って過渡現象を解く場合はだいたいこのような手順になるので、解き方のパターンをおぼえてしまえばそれほど難しく感じなくなります。

 

また、ラプラス変換を使った計算方法の場合、微分方程式を直接解いていく計算方法よりも計算の手間が少なくなることが多いです。（部分分数分解の計算がちょっとめんどくさい場合もありますが。）

 

このページでは、RL直列回路の過渡現象をラプラス変換を使って解いていますので、ラプラス変換を使った過渡現象の解き方の参考にしてみてください。

 

 

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RL直列回路に流れる電流の求め方

では、ラプラス変換を使って、スイッチ $\mathrm{S}$ をONしたときのRL直列回路に流れる電流を求めてみます。

 

まず初めに、回路の回路方程式をたてます。

 

回路に流れる電流を $i(t)$［$\mathrm{A}$］とすると、抵抗 $R$ での電圧降下は $R\, i(t)$［$\mathrm{V}$］、コイル $L$ での電圧降下は $L\dfrac{d\, i(t)}{dt}$［$\mathrm{V}$］なので、

 

 

この回路にキルヒホッフの第二法則（電圧則）を適用すると、回路方程式は次の①式（微分方程式）で与えられます。

 

$E=R\, i(t)+L\dfrac{d\, i(t)}{dt}$　…①

 

この①式の微分方程式をラプラス変換を使って解いていきます。①式をラプラス変換すると、次の②式になります。

 

$\dfrac{E}{s} =R\, I(s)+L\left( s\, I(s)-i(0)\right)$　…②

 

 

 

②式中の $i(0)$ は初期条件（ $t=0$ のときの電流の値）なので、$i(0)=0$ とすると②式は次の③式になります。

 

$\dfrac{E}{s} =R\, I(s)+L\left( s\, I(s)-0\right)$

 

$\therefore \dfrac{E}{s} =R\, I(s)+s\, L\, I(s)$　…③

 

この③式を $I(s)$ で整理すると、

 

$(R+s\, L)I(s)=\dfrac{E}{s}$

 

$I(s)=\dfrac{E}{s}\dfrac{1}{R+s\, L}$

 

$I(s)=\dfrac{E}{s(s\, L+R)}$

 

右辺の分母と分子を $L$ で割ると、

 

$I(s)=\dfrac{\dfrac{E}{L}}{s\left( s+\dfrac{R}{L}\right)}$

 

$I(s)=\dfrac{E}{L}\dfrac{1}{s\left( s+\dfrac{R}{L}\right)}$　…④

 

となり、この④式を逆ラプラス変換すると $t$ 領域（時間 $t$ の領域）の関数 $i(t)$ を求めることができます。なので、④式を逆ラプラス変換するために、④式の右辺を部分分数分解します。

 

$\dfrac{E}{L}\dfrac{1}{s\left( s+\dfrac{R}{L}\right)} =\dfrac{\alpha}{s} +\dfrac{\beta}{s+\dfrac{R}{L}}$　…⑤　とおくと、

 

⑤式の右辺 $=\dfrac{\alpha}{s} +\dfrac{\beta}{s+\dfrac{R}{L}}$

 

$=\dfrac{\alpha\left( s+\dfrac{R}{L}\right) +\beta\, s}{s\left( s+\dfrac{R}{L}\right)}$

 

$=\dfrac{\alpha\, s+\alpha\dfrac{R}{L} +\beta\, s}{s\left( s+\dfrac{R}{L}\right)}$

 

$=\dfrac{(\alpha +\beta )s+\alpha\dfrac{R}{L}}{s\left( s+\dfrac{R}{L}\right)}$　…⑥

 

この⑥と⑤式の左辺より、次の2つの式が成り立ちます。

 

$\left\{\begin{array}{l} \alpha +\beta =0 \quad\text{…⑦} \\ \alpha\dfrac{R}{L} =\dfrac{E}{L} \quad\text{…⑧} \end{array}\right.$

 

⑧式より、$\alpha\, R=E$ なので、

 

$\therefore\alpha =\dfrac{E}{R}$　…⑨

 

となります。⑨を⑦式に代入すると、$\dfrac{E}{R} +\beta =0$ なので、

 

$\therefore\beta =-\dfrac{E}{R}$　…⑩

 

となります。したがって、$I(s)=\dfrac{E}{L}\dfrac{1}{s\left( s+\dfrac{R}{L}\right)}$ は次のように部分分数分解できます。

 

$I(s)=\dfrac{E}{L}\dfrac{1}{s\left( s+\dfrac{R}{L}\right)}$

 

$=\dfrac{\alpha}{s} +\dfrac{\beta}{s+\dfrac{R}{L}}$

 

$=\dfrac{\dfrac{E}{R}}{s} +\dfrac{-\dfrac{E}{R}}{s+\dfrac{R}{L}}$　（⑨と⑩を代入）

 

$\therefore I(s)=\dfrac{E}{R}\dfrac{1}{s} -\dfrac{E}{R}\dfrac{1}{s+\dfrac{R}{L}}$　…⑪

 

$I(s)$ を部分分数分解できたので、あとは⑪式を逆ラプラス変換するだけです。⑪式を逆ラプラス変換すると、

 

$i(t)=\mathcal{L}^{-1}\left[\, I(s)\,\right]$

 

$=\mathcal{L}^{-1}\left[\,\dfrac{E}{R}\dfrac{1}{s}\,\right] +\mathcal{L}^{-1}\left[\, -\dfrac{E}{R}\dfrac{1}{s+\dfrac{R}{L}}\,\right]$

 

$=\dfrac{E}{R}\mathcal{L}^{-1}\left[\,\dfrac{1}{s}\,\right] -\dfrac{E}{R}\mathcal{L}^{-1}\left[\,\dfrac{1}{s+\dfrac{R}{L}}\,\right]$

 

$=\dfrac{E}{R} -\dfrac{E}{R} e^{-\frac{R}{L} t}$

 

 

となり、RL直列回路に流れる電流 $i(t)$ が求められました。

 

 

ちなみに、この⑫式の右辺の第1項を定常解、第2項を過渡解といいます。

 

 

 

 

RL直列回路に流れる電流のグラフ

電流 $i(t)$ のグラフを書いてみると、次のようなグラフになり、

 

 

RL直列回路に流れる電流 $i(t)$ は時間がたつにつれて増加がゆるやかになり、ある程度時間が経過して定常状態に達すると、$i(t)=\dfrac{E}{R}$ の一定値になります。

 

 

なお、RL直列回路の時定数 $\tau$ は、$\tau=\dfrac{L}{R}$ になります。

 

 

 

以上をまとめると、次のようになります。

 

 

 

微分方程式を直接解く過渡現象の解き方については、こちらのRL直列回路の過渡現象の解き方のページを参考にしてみてください。こちらのページでは、抵抗 $R$ の電圧、コイル $L$ の電圧なども求めています。
ラプラス変換を使ったRC直列回路の過渡現象の解き方については、こちらのラプラス変換によるRC直列回路の過渡現象の解き方のページを参考にしてみてください。
そもそも過渡現象ってなんでしたっけ？という方は、こちらの過渡現象とはのページを参考にしてみてください。

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