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ラプラス変換の公式
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ラプラス変換の公式をまとめてみました。
ラプラス変換の公式は、あれもこれもと並べると数多くあり、すべての公式をおぼえるのは大変です。
なので、このページでは電気数学で「よく使うラプラス変換の公式」、「ほとんど使わないラプラス変換の公式」※に分けてみました。
※個人的な公式の使用頻度で分けていますので、人によっては「それは使わないなぁ〜」とか、「これはよく使う」とかあると思いますが、それはそれで・・・。
ラプラス変換（$t$ 領域（時間 $t$ の領域）の関数から $s$ 領域（複素数 $s$ の領域）の関数への変換）または逆ラプラス変換（$s$ 領域の関数から $t$ 領域の関数への変換）の計算をするときには、ほとんどの場合、ラプラス変換の公式を使って求めていきます。
ですので、ラプラス変換または逆ラプラス変換をするときには、わざわざ一つずつラプラス変換の定義式を使って計算することはほとんどしませんので、「よく使うラプラス変換の公式」はおぼえておくようにしましょう。（ラプラス変換の定義式についてはこちら。）
ちなみに、このページに書いてある式の意味は、［ ］括弧の中の式をラプラス変換すると右辺の式になります、という意味です。
よく使うラプラス変換の公式
● $\mathcal{L}\left[\, 1\, \right]=\dfrac{1}{s}$
● $\mathcal{L}\left[\, u(t)\, \right]=\dfrac{1}{s}$
● $\mathcal{L}\left[\, t\,\right]=\dfrac{1}{s^2}$
● $\mathcal{L}\left[\, e^{\mp at}\,\right] =\dfrac{1}{s\pm a}$ （$a$ は定数、復号同順）
● $\mathcal{L}\left[\,\sin\omega t\,\right] =\dfrac{\omega}{s^2 +\omega^2}$ （$\omega$ は定数） ※$\sin$ の場合は分子が「$\omega$」
● $\mathcal{L}\left[\,\cos\omega t\,\right] =\dfrac{s}{s^2 +\omega^2}$ （$\omega$ は定数） ※$\cos$ の場合は分子が「$s$」
● $\mathcal{L}\left[\, e^{-at}\sin\omega t\,\right] =\dfrac{\omega}{(s+a)^2 +\omega^2}$ （$a \ ,\ \omega$ は定数）
● $\mathcal{L}\left[\, e^{-at}\cos\omega t\,\right] =\dfrac{s+a}{(s+a)^2 +\omega^2}$ （$a \ ,\ \omega$ は定数）
● $\mathcal{L}\left[\, t\, e^{-at}\,\right] =\dfrac{1}{(s+a)^2}$ （$a$ は定数）
● $\mathcal{L}\left[\,\dfrac{d\, f(t)}{dt}\,\right] =s\, F(s)-f(0)$
● $\mathcal{L}\left[\,\dfrac{d^2\, f(t)}{dt^2}\,\right] =s^2F(s)-s\, f(0)-f^\prime (0)$
ほとんど使わないラプラス変換の公式
● $\mathcal{L}\left[\, t\,\cos\omega t\,\right] =\dfrac{s^2-\omega^2}{\left( s^2+\omega^2\right)^2}$ （$\omega$ は定数）
● $\mathcal{L}\left[\,\dfrac{1}{\omega}\sin\omega t\,\right] =\dfrac{1}{s^2+\omega^2}$ （$\omega$ は定数）
● $\mathcal{L}\left[\,\sinh\omega t\,\right] =\dfrac{\omega}{s^2-\omega^2}$ （$\omega$ は定数）
● $\mathcal{L}\left[\,\cosh\omega t\,\right] =\dfrac{s}{s^2-\omega^2}$ （$\omega$ は定数）
● $\mathcal{L}\left[\,\dfrac{1}{\omega}\sinh\omega t\,\right] =\dfrac{1}{s^2-\omega^2}$ （$\omega$ は定数）
● $\mathcal{L}\left[\, t^n\,\right] =\dfrac{n!}{s^{n+1}}$
この他にもまだまだありますが、この辺で・・・。
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ラプラス変換の定理と法則についてはこちらのラプラス変換の定理・法則のページを参考にしてみてください。
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