ラプラス変換の定理・法則

線形性

$a$、$b$ を定数とすると、

$\mathcal{L} \left[\, a \, f(t) + b \, g(t)\, \right] = a \, F(s) + b \, G(s)$

相似法則

$a \gt 0$ のとき、
$\mathcal{L} \left[\, f(at)\, \right] = \dfrac{1}{a} \, F \left( \dfrac{s}{a} \right)$

移動法則

$\mathcal{L} \left[\, e^{at} f(t)\, \right] = F(s-a)$

微分法則

$\mathcal{L} \left[\, \dfrac{d}{dt} f(t)\, \right] = s \, F(s) - f(0)$

$\mathcal{L} \left[\, \dfrac{d^2}{dt^2} f(t)\, \right]$ $= s^2 \, F(s) -s \, f(0) - f^\prime (0)$

積分法則

$\mathcal{L} \left[\, \displaystyle\int_0^t f( \tau ) \, d \tau\, \right] = \dfrac{1}{s} \, F(s)$

初期値の定理

ある時間領域の関数 $f(t)$ があるとして、この $f(t)$ の時間 $t$ がゼロのときの値 $f(0)$ は、$s$ 領域（複素数 $s$ の領域）に置き換えると次のようになります。

$\displaystyle\lim_{t \to 0} f(t) = \lim_{s \to \infty} s \, F(s)$

これを初期値の定理といいます。

上式をみると分かるように、時間 $t \to 0$ を求める場合は、

①$f(t)$ を $s$ 領域の関数 $F(s)$ に変換（ラプラス変換）する

②変換した $s$ 領域の関数 $F(s)$ に $s$ をかける

③$s \to \infty$ にする

として求めることができます。

最終値の定理

ある時間領域の関数 $f(t)$ があるとして、この $f(t)$ の時間 $t$ が十分経過したときの値 $f( \infty )$ は、$s$ 領域に置き換えると次のようになります。

$\displaystyle\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} s \, F(s)$

これを最終値の定理といいます。

上式をみると分かるように、時間 $t \to \infty$ を求める場合は、

①$f(t)$ を $s$ 領域の関数 $F(s)$ に変換（ラプラス変換）する

②変換した $s$ 領域の関数 $F(s)$ に $s$ をかける

③$s \to 0$ にする

として求めることができます。

この最終値の定理は、自動制御の問題でよく使われ、最終値の定理は「最終値定理」という場合もあります。

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