ラプラス変換の定理・法則

※ページ内にPR･広告が含まれる場合があります。

線形性

$a$、$b$ を定数とすると、

$\mathcal{L} \left[\, a \, f(t) + b \, g(t)\, \right] = a \, F(s) + b \, G(s)$

相似法則

$a \gt 0$ のとき、
$\mathcal{L} \left[\, f(at)\, \right] = \dfrac{1}{a} \, F \left( \dfrac{s}{a} \right)$

移動法則

$\mathcal{L} \left[\, e^{at} f(t)\, \right] = F(s-a)$

微分法則

$\mathcal{L} \left[\, \dfrac{d}{dt} f(t)\, \right] = s \, F(s) - f(0)$

$\mathcal{L} \left[\, \dfrac{d^2}{dt^2} f(t)\, \right]$ $= s^2 \, F(s) -s \, f(0) - f^\prime (0)$

積分法則

$\mathcal{L} \left[\, \displaystyle\int_0^t f( \tau ) \, d \tau\, \right] = \dfrac{1}{s} \, F(s)$

初期値の定理

ある時間領域の関数 $f(t)$ があるとして、この $f(t)$ の時間 $t$ がゼロのときの値 $f(0)$ は、$s$ 領域（複素数 $s$ の領域）に置き換えると次のようになります。

$\displaystyle\lim_{t \to 0} f(t) = \lim_{s \to \infty} s \, F(s)$

これを初期値の定理といいます。

上式をみると分かるように、時間 $t \to 0$ を求める場合は、

①$f(t)$ を $s$ 領域の関数 $F(s)$ に変換（ラプラス変換）する

②変換した $s$ 領域の関数 $F(s)$ に $s$ をかける

③$s \to \infty$ にする

として求めることができます。

最終値の定理

ある時間領域の関数 $f(t)$ があるとして、この $f(t)$ の時間 $t$ が十分経過したときの値 $f( \infty )$ は、$s$ 領域に置き換えると次のようになります。

$\displaystyle\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} s \, F(s)$

これを最終値の定理といいます。

上式をみると分かるように、時間 $t \to \infty$ を求める場合は、

①$f(t)$ を $s$ 領域の関数 $F(s)$ に変換（ラプラス変換）する

②変換した $s$ 領域の関数 $F(s)$ に $s$ をかける

③$s \to 0$ にする

として求めることができます。

この最終値の定理は、自動制御の問題でよく使われ、最終値の定理は「最終値定理」という場合もあります。

ラプラス変換の公式　←BACK

NEXT→　よく使われる関数のラプラス変換

ラプラス変換の定理・法則　関連ページ

ラプラス変換の定義式: 電気数学の「ラプラス変換」分野の「ラプラス変換の定義式」についてまとめたページです。「ラプラス変換」は自動制御の問題や微分方程式を解く問題でよく使われます。ここでは定義式をおぼえておきましょう。
ラプラス変換の公式: ラプラス変換の計算で使われるラプラス変換の公式についてまとめています。ラプラス変換の公式はラプラス変換の計算をするときの基本になりますので、よく使う公式はおぼえておくようにしましょう。
よく使われる関数のラプラス変換: 電気数学の「ラプラス変換」分野の「よく使われる関数のラプラス変換」についてまとめたページです。「ラプラス変換」は自動制御の問題や微分方程式を解く問題でよく使われます。ここではよく使われる関数のラプラス変換について、その導出方法をおぼえておきましょう。

電気数学のお勉強｜ラプラス変換｜ラプラス変換の定理・法則