電験三種｜理論｜平成21年度 問7の過去問と解説

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電験三種「理論」平成21年度問7の過去問の解説です。

 

 

電験三種「理論」平成21年度（2009年度）　問7（A問題）の解説

この過去問は単相3線式交流回路に関する計算問題で、3線に流れる各線電流を求める問題です。

 

求めるのは3線に流れる各線電流 $I_a$、$I_b$、$I_c$ の大小関係ですが、この問題は大小関係を考えていくよりも、素直に各線電流 $I_a$、$I_b$、$I_c$ を計算してしまった方がいいです。

 

電験三種の理論の試験はとにかく時間が足りないのですが、試験中にあれこれ考えるよりも普通に計算してしまった方が結果的に早く解ける場合がよくあります。

 

では、解き方の解説です。

 

っと、その前に、この問題の電源について簡単に説明します。

 

この問題の回路は単相3線式で、電源電圧はそれぞれ、

 

$\dot{V_{ab}} =100\angle 0^\circ$　［$\mathrm{V}$］
$\dot{V_{bc}} =100\angle 0^\circ$　［$\mathrm{V}$］
$\dot{V_{ac}} =200\angle 0^\circ$　［$\mathrm{V}$］

 

ですね。これらの電源電圧はどういう電圧を表わしているか分かりますか？

 

例えば $\dot{V_{ab}}$ の場合、

 

 

という意味になります。

 

なので、それぞれの電源の電圧を一つのグラフ上に書くと次のようになります。

 

 

どの電源電圧も位相は $0^\circ$ で、$\dot{V_{ab}}$ と $\dot{V_{bc}}$ の実効値は $100\,\mathrm{V}$、$\dot{V_{ac}}$ の実効値は $200\,\mathrm{V}$ なので、このような電圧波形（グラフ）になります。

 

電源については分かったと思うので、それでは本題の「3線に流れる各線電流」を求めてみましょう。

 

各線電流を求めるためには各電源により各負荷に流れる電流 $\dot{I_{ab}}$、$\dot{I_{bc}}$、$\dot{I_{ac}}$ を求める必要があり、各負荷に流れる電流を求めるときには各負荷の部分毎に考えていけばいいです。つまり、

 

 

と、�@、�A、�Bの3箇所に分けてそれぞれ計算していきます。

 

では、�@の部分に流れる電流 $\dot{I_{ab}}$ から順番に計算してみましょう！

 

�@の部分に流れる電流Iabの計算

�@の部分だけ考えると、次のような回路になります。

 

 

この回路は、インピーダンス $\dot{Z_{ab}} =3+j\,4$ に $\dot{V_{ab}} =100\angle 0^\circ$ の電圧がかかっていて、$\dot{V_{ab}}$ により$\dot{Z_{ab}}$ に流れる電流が $\dot{I_{ab}}$ です。という意味ですね。

 

なので、この回路にオームの法則を適用すると、電流 $\dot{I_{ab}}$ は次のようになります。

 

$\dot{I_{ab}} =\dfrac{\dot{V_{ab}}}{\dot{Z_{ab}}} =\dfrac{100}{3+j\,4}$　（$\because \dot{V_{ab}}$ の位相は $0^\circ$ なので、$\dot{V_{ab}} =100$ となります。）

 

$\therefore \dot{I_{ab}} =\dfrac{100}{3+j\,4}$　［$\mathrm{A}$］　…�C

 

$\dot{I_{ab}}$ が求められたので、次は�Aの部分に流れる電流 $\dot{I_{bc}}$ を計算します。

 

�Aの部分に流れる電流Ibcの計算

�Aの部分だけ考えると、次のような回路になります。

 

 

この回路は、インピーダンス $\dot{Z_{bc}} =4-j\,3$ に $\dot{V_{bc}} =100\angle 0^\circ$ の電圧がかかっていて、$\dot{V_{bc}}$ により$\dot{Z_{bc}}$ に流れる電流が $\dot{I_{bc}}$ です。という意味ですね。

 

なので、この回路にオームの法則を適用すると、電流 $\dot{I_{bc}}$ は次のようになります。

 

$\dot{I_{bc}} =\dfrac{\dot{V_{bc}}}{\dot{Z_{bc}}} =\dfrac{100}{4-j\,3}$　（$\because \dot{V_{bc}}$ の位相は $0^\circ$ なので、$\dot{V_{bc}} =100$ となります。）

 

$\therefore \dot{I_{bc}} =\dfrac{100}{4-j\,3}$　［$\mathrm{A}$］　…�D

 

$\dot{I_{bc}}$ が求められたので、次は�Bの部分に流れる電流 $\dot{I_{ac}}$ を計算します。

 

�Bの部分に流れる電流Iacの計算

�Bの部分だけ考えると、次のような回路になります。

 

 

この回路は、インピーダンス $\dot{Z_{ac}} =8+j\,6$ に $\dot{V_{ac}} =200\angle 0^\circ$ の電圧がかかっていて、$\dot{V_{ac}}$ により$\dot{Z_{ac}}$ に流れる電流が $\dot{I_{ac}}$ です。という意味ですね。

 

なので、この回路にオームの法則を適用すると、電流 $\dot{I_{ac}}$ は次のようになります。

 

$\dot{I_{ac}} =\dfrac{\dot{V_{ac}}}{\dot{Z_{ac}}} =\dfrac{200}{8+j\,6}$　（$\because \dot{V_{ac}}$ の位相は $0^\circ$ なので、$\dot{V_{ac}} =200$ となります。）

 

$\therefore \dot{I_{ac}} =\dfrac{200}{8+j\,6}$　［$\mathrm{A}$］　…�E

 

以上�C〜�Eより各負荷に流れる電流が求められたので、次に、�C〜�Eとキルヒホッフの法則（電流則）を使って、3線に流れる各線電流の大きさ $I_a$、$I_b$、$I_c$ を求めます。

 

線電流Iaの大きさの計算

線電流 $\dot{I_a}$ が流れ込む次の図の赤丸の接続点に着目しましょう。

 

 

この赤丸の接続点には電流 $\dot{I_a}$ が流れ込んで、接続点から電流 $\dot{I_{ab}}$ と $\dot{I_{ac}}$ が出ていきます。

 

なので、この赤丸の接続点にキルヒホッフの法則（電流則）を適用すると、

 

$\dot{I_a} =\dot{I_{ab}} +\dot{I_{ac}}$　…�F　が成り立ちます。

 

�F式に先ほど求めた�Cと�Eを代入します。すると、

 

$\dot{I_a} =\dot{I_{ab}} +\dot{I_{ac}} =\dfrac{100}{3+j\,4} +\dfrac{200}{8+j\,6}$ $=\dfrac{100\left( 8+j\,6\right) +200\left( 3+j\,4\right)}{\left( 3+j\,4\right)\left( 8+j\,6\right)}$

 

$=\dfrac{800+j\,600+600+j\,800}{24+j\,18+j\,32-24}$ $=\dfrac{1400+j\,1400}{j\,50}$ $=\dfrac{28+j\,28}{j}$

 

$=\dfrac{j\,28+j\times j\,28}{j\times j} =\dfrac{j\,28-28}{-1}$ $=28-j\,28$

 

$\therefore \dot{I_a} =28-j\,28$　［$\mathrm{A}$］　…�G

 

�Gの絶対値を計算して大きさを求めましょう。

 

$|\dot{I_a} |=I_a=\sqrt{28^2+28^2} =\sqrt{2\times 28^2}$ $=28\sqrt{2}$

 

$\therefore I_a=28\sqrt{2}$　［$\mathrm{A}$］　…�H

 

これで線電流 $\dot{I_a}$ の大きさ $I_a$ が求められました。次は、線電流 $I_b$ の計算です。

 

線電流Ibの大きさの計算

線電流 $\dot{I_b}$ が流れ込む次の図の赤丸の接続点に着目しましょう。

 

 

この赤丸の接続点には電流 $\dot{I_b}$ と $\dot{I_{ab}}$ が流れ込んで、接続点から電流 $\dot{I_{bc}}$ が出ていきます。

 

なので、この赤丸の接続点にキルヒホッフの法則（電流則）を適用すると、

 

$\dot{I_b} +\dot{I_{ab}} =\dot{I_{bc}}$　、　$\dot{I_b} =\dot{I_{bc}} -\dot{I_{ab}}$　…�I　が成り立ちます。

 

�I式に先ほど求めた�Cと�Dを代入します。すると、

 

$\dot{I_b} =\dot{I_{bc}} -\dot{I_{ab}} =\dfrac{100}{4-j\,3} -\dfrac{100}{3+j\,4}$ $=\dfrac{100\left( 3+j\,4 \right) -100\left( 4-j\,3 \right)}{\left( 4-j\,3 \right)\left( 3+j\, 4\right)}$

 

$=\dfrac{300+j\,400-400+j\,300}{12+j\,16-j\,9+12}$ $=\dfrac{-100+j\,700}{24+j\,7}$ $=\dfrac{\left( -100+j\,700 \right)\left( 24-j\,7 \right)}{\left( 24+j\,7 \right)\left( 24-j\,7 \right)}$

 

$=\dfrac{-2400+j\,700+j\,16800+4900}{576+49}$ $=\dfrac{2500+j\,17500}{625}$ $=\dfrac{100+j\,700}{25}$ $=4+j\,28$

 

$\therefore \dot{I_b} =4+j\,28$　［$\mathrm{A}$］　…�J

 

�Jの絶対値を計算して大きさを求めましょう。

 

$|\dot{I_b} |=I_b=\sqrt{4^2+28^2} =\sqrt{16+784}$ $=\sqrt{800}$ $=10\sqrt{8}$ $=10\times 2\sqrt{2}$ $=20\sqrt{2}$

 

$\therefore I_b=20\sqrt{2}$　［$\mathrm{A}$］　…�K

 

これで線電流 $\dot{I_b}$ の大きさ $I_b$ が求められました。次は、線電流 $I_c$ の計算です。

 

線電流Icの大きさの計算

線電流 $\dot{I_c}$ が流れ込む次の図の赤丸の接続点に着目しましょう。

 

 

この赤丸の接続点には電流 $\dot{I_c}$ と $\dot{I_{bc}}$ と $\dot{I_{ac}}$ が流れ込んで、接続点から出ていく電流はありません。

 

なので、この赤丸の接続点にキルヒホッフの法則（電流則）を適用すると、

 

$\dot{I_c} +\dot{I_{bc}} +\dot{I_{ac}} =0$　、　$\dot{I_c} =-\dot{I_{bc}} -\dot{I_{ac}}$　…�L　が成り立ちます。

 

�L式に先ほど求めた�Dと�Eを代入します。すると、

 

$\dot{I_c} =-\dot{I_{bc}} -\dot{I_{ac}}$ $=-\dfrac{100}{4-j\,3} -\dfrac{200}{8+j\,6}$ $=-\left(\dfrac{100}{4-j\,3} +\dfrac{200}{8+j\,6}\right)$

 

$=-\dfrac{100\left( 8+j\,6\right) +200\left( 4-j\,3 \right)}{\left( 4-j\,3\right)\left( 8+j\,6\right)}$ $=-\dfrac{800+j\,600+800-j\,600}{32+j\,24-j\,24+18}$

 

$=-\dfrac{1600}{50} =-32$

 

$\therefore \dot{I_c} =-32$　［$\mathrm{A}$］　…�M

 

したがって、$\dot{I_c}$ の大きさ $I_c$ は、

 

$\therefore I_c=32$　［$\mathrm{A}$］　…�N

 

これで線電流 $\dot{I_c}$ の大きさ $I_c$ が求められました。

 

 

以上で各線電流の大きさ $I_a$、$I_b$、$I_c$ が求められたので、あとはこれらの大小関係を求めるだけですね。�H、�K、�Nより、

 

$I_a=28\sqrt{2}\fallingdotseq 39.6$

 

$I_b=20\sqrt{2}\fallingdotseq 28.3$

 

$I_c=32.0$

 

なので求める答は、（2）の $I_a\gt I_c\gt I_b$　…（答）　になります。

 

 

交流回路の計算では虚数単位「$j$」がよく使われますが、この虚数単位「$j$」が苦手という方はけっこういます。
電験三種の問題では、「虚数単位「$j$」を2乗すると「$-1$」になる」という基本だけおぼえておけばほとんどの計算問題は解けますので、あまり苦手意識を持たないようにしましょう。慣れれば簡単です。

 

 

この問題でもキルヒホッフの法則を使っていますが、キルヒホッフの法則は回路計算の基本なので必ず使えるようにしておきましょう。キルヒホッフの法則についてよく分からない方はキルヒホッフの法則のページを参考にしてみてください。

 

おすすめの電験三種の過去問題集はこちら、電験三種の参考書はこちら、電験三種用の数学参考書はこちらで紹介していますので参考にしてみてください。

 

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