電験三種｜理論｜平成21年度 問5の過去問と解説

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電験三種「理論」平成21年度問5の過去問の解説です。

 

 

電験三種「理論」平成21年度（2009年度）　問5（A問題）の解説

この過去問はコンデンサに蓄えらえる電界のエネルギー（静電エネルギー）に関する問題で、（1）〜（5）の回路の中でコンデンサ全体に蓄えられる電界のエネルギーが最も小さいのはどれか？　という問題です。

 

問題文を見てみると、「コンデンサ全体に蓄えられている電界のエネルギーが最も小さい回路」と書いていますよね？

 

コンデンサ全体と書いているので、（2）〜（5）のコンデンサはそれぞれ合成してしまって、その合成したコンデンサに蓄えられる電界のエネルギーを求めて、最後に大きさを比較すればいいです。

 

それで、この問題では各回路の電界のエネルギーを求めなければなりませんが、電界のエネルギーを求める公式は分かりますか？　これが分からないと、どうにも解けません。

 

コンデンサの静電容量を $C$［$\mathrm{F}$］、コンデンサにかかる電圧を $E$［$\mathrm{V}$］とすると、電界のエネルギー $W$［$\mathrm{J}$］は、

 

$W=\dfrac{1}{2} CE^2$　［$\mathrm{J}$］　ですね。

 

 

では、（1）〜（5）の回路それぞれの電界のエネルギーを求めてみましょう。

 

（1）の回路のコンデンサに蓄えられる電界のエネルギー

（1）は、次のような回路図です。

 

 

これって、公式そのまんまでいけますね！

 

（1）の回路のコンデンサ全体（と言っても1個しかない）に蓄えられる電界のエネルギー $W_1$ は、

 

$\therefore W_1=\dfrac{1}{2} CE^2$　［$\mathrm{J}$］　…�@　となります。

 

これは何も考えなくていいので、ぜんぜん簡単ですね。

 

（2）の回路のコンデンサに蓄えられる電界のエネルギー

（2）は、次のような回路図です。

 

 

（1）の回路図とは違って、電源が2個、コンデンサが2個になっています。

 

このような場合には、ひとまず、電源側とコンデンサ側で分けて考えてみましょう。まずは電源側から。

 

電源側には、電圧 $E$［$\mathrm{V}$］の電源が2個直列に接続されています。なので、電源側は、

 

 

と書き換えることができますね。これは例えば、$1.5\,\mathrm{V}$ の乾電池2個を直列に接続すると電圧は $1.5\times 2=3\,\mathrm{V}$ になりますよね？　それと同じことです。

 

次は、コンデンサ側です。

 

コンデンサ側には、静電容量 $C$［$\mathrm{F}$］のコンデンサが2個直列に接続されています。なので、コンデンサが2個直列接続のときの合成静電容量の公式を使って、コンデンサを1個に合成してしまいます。すると、

 

 

と書き換える（合成する）ことができますね。（コンデンサが2個直列接続のときには、和分の積で求められます。）

 

すると以上より、（2）の回路図は次のように書き換えることができます。

 

 

あとは右の回路図を電界のエネルギーの公式にあてはめるだけなので、（2）の回路のコンデンサ全体に蓄えられる電界のエネルギー $W_2$ は、

 

$W_2=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{C}{2}\right)\cdot\left( 2E\right)^2$ $=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{C}{2}\times 4E^2$ $=CE^2$

 

$\therefore W_2=CE^2$　［$\mathrm{J}$］　…�A　となります。

 

（3）の回路のコンデンサに蓄えられる電界のエネルギー

（3）は、次のような回路図です。

 

 

（3）の回路は、電源が2個直列接続、コンデンサが2個並列接続になっています。これも（2）の回路と同じように電源側とコンデンサ側で分けて考えましょう。

 

電源側については（2）の回路図と同じなので、書き換えると次のようになりますね。

 

 

コンデンサ側は、静電容量 $C$［$\mathrm{F}$］のコンデンサが2個並列に接続されています。なので、コンデンサが2個並列接続のときの合成静電容量の公式を使って、コンデンサを1個に合成してしまいます。すると、

 

 

と書き換える（合成する）ことができますね。（コンデンサが2個並列接続のときには、ただ足すだけで求められます。）

 

すると以上より、（3）の回路図は次のように書き換えることができます。

 

 

あとは右の回路図を電界のエネルギーの公式にあてはめるだけなので、（3）の回路のコンデンサ全体に蓄えられる電界のエネルギー $W_3$ は、

 

$W_3=\dfrac{1}{2}\cdot\left( 2C\right)\cdot\left( 2E\right)^2$ $=\dfrac{1}{2}\times 2C\times 4E^2$ $=C\times 4E^2$ $=4CE^2$

 

$\therefore W_3=4CE^2$　［$\mathrm{J}$］　…�B　となります。

 

（4）の回路のコンデンサに蓄えられる電界のエネルギー

（4）は、次のような回路図です。

 

 

（4）の回路は、電源が2個並列接続、コンデンサが2個直列接続になっています。これも同じように電源側とコンデンサ側で分けて考えましょう。

 

電源側は、電圧 $E$［$\mathrm{V}$］の電源が2個並列に接続されています。なので電源側は、

 

 

と書き換えることができます。これは例えば、$1.5\,\mathrm{V}$ の乾電池2個を並列に接続すると電圧は変わらずにそのまま $1.5\,\mathrm{V}$ になりますよね？　それと同じことです。

 

コンデンサ側は、静電容量 $C$［$\mathrm{F}$］のコンデンサが2個直列に接続されています。なので、（2）と同じようにコンデンサが2個直列接続のときの合成静電容量の公式を使って、コンデンサを1個に合成してしまいます。すると、

 

 

と書き換える（合成する）ことができますね。

 

すると以上より、（4）の回路図は次のように書き換えることができます。

 

 

あとは右の回路図を電界のエネルギーの公式にあてはめるだけなので、（4）の回路のコンデンサ全体に蓄えられる電界のエネルギー $W_4$ は、

 

$W_4=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{C}{2}\right)\cdot E^2=\dfrac{C}{4}\times E^2$ $=\dfrac{CE^2}{4}$

 

$\therefore W_4=\dfrac{1}{4} CE^2$　［$\mathrm{J}$］　…�C　となります。

 

（5）の回路のコンデンサに蓄えられる電界のエネルギー

（5）は、次のような回路図です。

 

 

（5）の回路は、電源が2個並列接続、コンデンサも2個並列接続になっています。

 

電源側は、電圧 $E$［$\mathrm{V}$］の電源が2個並列に接続されているので、

 

 

と書き換えることができます。（4）と同じですね。

 

コンデンサ側は、静電容量 $C$［$\mathrm{V}$］のコンデンサが2個並列に接続されています。なので、（3）と同じようにコンデンサが2個並列接続のときの合成静電容量の公式を使って、コンデンサを1個に合成してしまいます。すると、

 

 

と書き換える（合成する）ことができますね。

 

すると以上より、（5）の回路図は次のように書き換えることができます。

 

 

あとは右の回路図を電界のエネルギーの公式にあてはめるだけなので、（5）の回路のコンデンサ全体に蓄えられる電界のエネルギー $W_5$ は、

 

$W_5=\dfrac{1}{2}\cdot\left( 2C\right)\cdot E^2=\dfrac{1}{2}\times 2C\times E^2$ $=C\times E^2$ $=CE^2$

 

$\therefore W_5=CE^2$　［$\mathrm{J}$］　…�D　となります。

 

 

以上で（1）〜（5）の回路のコンデンサ全体に蓄えられる電界のエネルギー $W_1$、$W_2$、$W_3$、$W_4$、$W_5$ が求められました。

 

それで問題は、電界のエネルギーが最も小さい回路はどれか？なので、�@〜�Dの中で一番小さいものが答になります。�@〜�Dを並べてみると、

 

$W_1=\dfrac{1}{2} CE^2$　［$\mathrm{J}$］　…�@

 

$W_2=CE^2$　［$\mathrm{J}$］　…�A

 

$W_3=4CE^2$　［$\mathrm{J}$］　…�B

 

$W_4=\dfrac{1}{4} CE^2$　［$\mathrm{J}$］　…�C

 

$W_5=CE^2$　［$\mathrm{J}$］　…�D

 

となり、この中で一番小さいのは $W_4$ なので、答は（4）になります。　・・・（答）

 

 

 

この問題のように電験三種の問題では、選択肢の（1）〜（5）まですべて計算して答を導く問題もよく出題されます。（1）〜（5）まですべて計算するのは大変ですが、「めんどくさ〜！」と思わずに一つ一つ確実に計算していくようにしましょう。
計算してみると、問題のレベルとしてはそんなに難しくなく、意外に簡単に計算できてしまう問題だったりすることも多いですよ。

 

 

コンデンサの合成静電容量についてよく分からない方は合成静電容量の求め方（計算方法）のページを参考にしてみてください。コンデンサに蓄えられる電荷についてはコンデンサの静電容量と電荷の計算の基本（直列接続と並列接続）のページが参考になると思います。

 

おすすめの電験三種の過去問題集はこちら、電験三種の参考書はこちら、電験三種用の数学参考書はこちらで紹介していますので参考にしてみてください。

 

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