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2本の銅線の抵抗の比を求める計算問題の解き方
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第二種電気工事士学科試験の2本の銅線の抵抗の比を求める計算問題の解き方について解説しています。
第二種電気工事士学科試験を受験する方の中には、
計算問題が苦手！とか、
計算問題はもう捨てちゃいました！（捨てないで〜）
という方もいるかもしれませんが、第二種電気工事士学科試験で出題されている計算問題のほとんどは、
- 過去に出題された計算問題とまったく同じ問題
- 過去に出題された計算問題の数値を変えただけの問題
- ちょっとだけ何か（？）を変えた類似問題
で、出題項目ごとに過去問題を見てみると、問題の出題パターンもほぼ同じです。
ですので、計算問題が苦手な方でも、出題項目ごとにおぼえることをおぼえて解き方のパターンに慣れてしまえば、計算問題でも点数をとれるようになります。
このページでは、過去に試験で出題された過去問題を使って2本の銅線の抵抗の比を求める計算問題の解き方について解説していますので、このページを読んで2本の銅線の抵抗の比を求める計算問題を解けるようになりましょう。
計算問題も解けるようになると、合格がぐぐぐーん！と近づきますよ！
問題には過去問題を使っていますので、過去問題の勉強にもなると思います。
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2本の銅線の抵抗の比を求める計算問題を解くための基礎知識
まず初めに、2本の銅線の抵抗の比を求める計算問題を解くためにおぼえておかなければならないことをおぼえてしまいましょう。
2本の銅線の抵抗の比を求める計算問題を解けるようになるためにおぼえておかなければならないのは、次の2つの電線の抵抗の公式です。
- 電線の太さが断面積の電線の抵抗の公式
- 電線の太さが直径の電線の抵抗の公式
この2つの公式をおぼえておけば、あとはこの公式のどちらかを使って2本の銅線それぞれの抵抗を求め、その求めた2本の銅線の抵抗の比を求めるだけです。
銅線の太さが断面積の場合は「電線の太さが断面積の電線の抵抗の公式」、銅線の太さが直径の場合は「電線の太さが直径の電線の抵抗の公式」を使います。
電線の太さが断面積の電線の抵抗の公式
電線の太さが断面積の電線の抵抗の公式は次のような公式で、この公式の電線の太さは断面積で与えられます。
電線の太さが断面積の電線の抵抗の公式：$R=\rho\dfrac{L}{S}$ …①
①式の $R$ は電線の抵抗［$\Omega$］、$\rho$ は電線の抵抗率［$\Omega\,\cdotp\mathrm{m}$］、$L$ は電線の長さ［$\mathrm{m}$］、$S$ は電線の断面積［$\mathrm{m^2}$］を表わし、①式は、電線の抵抗率 $\rho$ 、電線の長さ $L$ 、電線の断面積 $S$ が分かれば、電線の抵抗 $R$ を求めることができますよ、という式です。
ここで、①式を見てみると$\boldsymbol{\rho}$（抵抗率）というものがありますが、この抵抗率 $\rho$ は、電線の材料（材質）が同じ場合は、電線の長さや太さが変わっても値（抵抗率 $\rho$ の値）は変わりません。
抵抗率 $\rho$［$\Omega\,\cdotp\mathrm{m}$］は、電線の長さを $1\,\mathrm{m}$（単位長さ）、電線の断面積を $1\,\mathrm{m^2}$（単位断面積）としたときの電線の抵抗値を示します。
$R=\rho\dfrac{L}{S}$ $R=\rho\dfrac{1\left[ \mathrm{m}\right]}{1\left[ \mathrm{m^2}\right]}$ $\therefore R=\rho$
なので、電線の材料（材質）が同じであれば、電線の長さや太さが変わっても抵抗率の値は変わりません。（抵抗率は、電線の長さや太さには依存しないってことですね。）
例えば、「銅でできている電線」と「アルミニウムでできている電線」があるとすると、この2本の電線は異なる材料でできているので、この2本の電線の抵抗率は異なる値になります。
また、「銅でできている電線」と「銅でできている電線」（同じ材質の電線）があるとすると、この2本の電線は同じ材料でできているので、この2本の電線の抵抗率は同じ値になります。（電線の長さや太さが変わっても、抵抗率の値は変わりません。）
2本の銅線の抵抗の比を求める計算問題の問題文には、よく同材質の銅線と書いてあるんですけど、これは、
同材質（の銅線） ⇒ 抵抗率が同じ（銅線）
ということになります。問題文に同材質と書いてあったら抵抗率は同じとおぼえておきましょう。
電線の太さが断面積の電線の抵抗の公式については、ここでは「①式」と「電線の材料（材質）が同じ場合は、抵抗率は同じ値になる」をおぼえておけばいいのですが、ここで、ちょっとだけ注意することがあります。（ちょっとじゃないけど…。）
そ、それは、単位です！
①式中の $S$ は電線の断面積を表わしますが、この $S$ の単位は$\boldsymbol{\mathrm{m^2}}$（平方メートル）です。
なので、問題に書かれている電線の断面積の単位が「 $\mathrm{mm^2}$ 」（平方ミリメートル）だったら、その電線の断面積を「 $\mathrm{mm^2}$ 」（平方ミリメートル）から「 $\mathrm{m^2}$ 」（平方メートル）に直して①式の公式に代入しなければなりません。（換算が必要ってことです。）
$\mathrm{mm^2}$（平方ミリメートル）を $\mathrm{m^2}$（平方メートル）に直す（換算する）ときは、$\mathrm{mm^2}$（平方ミリメートル）の値に $10^{-6}$ をかけます。例えば、$1\,000\,000\,\mathrm{mm^2}$（百万平方ミリメートル） …② を平方メートルに直すときは、②の値に $10^{-6}$ をかけます。
$1\,000\,000$［$\mathrm{mm^2}$］$\times\color{#ff3333}{10^{-6}}$ ⇒ $1$［$\mathrm{m^2}$］ （$1\,000\,000\,\mathrm{mm^2}$ は $1\,\mathrm{m^2}$ になる）
断面積が $2\,\mathrm{mm^2}$ だったら、これも同じようにして、$2$ に $10^{-6}$ をかけます。
$2$［$\mathrm{mm^2}$］$\times\color{#ff3333}{10^{-6}}$ ⇒ $2\times 10^{-6}$［$\mathrm{m^2}$］ （$2\,\mathrm{mm^2}$ は $2\times 10^{-6}\,\mathrm{m^2}$ になる）
もし、$\mathrm{mm^2}$ を $\mathrm{m^2}$ に直すときに $10$ の何乗だったか忘れてしまった場合は、$1$ 平方メートルは何平方ミリメートルになるか考えてみると分かります。
- $1\,\mathrm{cm}$ は $10\,\mathrm{mm}$
- $10\,\mathrm{cm}$ は $100\,\mathrm{mm}$
- $100\,\mathrm{cm}$（ $1\,\mathrm{m}$ ）は $1\,000\,\mathrm{mm}$
ということは、
- $1\,\mathrm{m^2}$ は $1\,000\,\mathrm{mm}\times1\,000\,\mathrm{mm}$ で、$1\,000\,000\,\mathrm{mm^2}$ （$\mathrm{m^2}$ と $\mathrm{mm^2}$ は $1:1\,000\,000$ ）
となるから、$\mathrm{mm^2}$ を $\mathrm{m^2}$ に直すときは $1\,000\,000$（ $=10^6$ ）で割る。ということは、$10^{-6}$ をかけるんだー！てな感じで。
$\dfrac{1}{1\,000\,000} =\dfrac{1}{10^6} =10^{-6}$ になります。なので、$1\,000\,000$ で割るというのは、$10^{-6}$ をかけるのと同じです。
この $\mathrm{mm^2}$ から $\mathrm{m^2}$ への換算は、他の抵抗の計算問題を解くときにも使うのでおぼえておきましょう。
電線の太さが直径の電線の抵抗の公式
電線の太さが直径の電線の抵抗の公式は次のような公式で、この公式の電線の太さは直径で与えられます。
電線の太さが直径の電線の抵抗の公式：$R=\dfrac{4\rho L}{\pi D^2}$ …③
③式の $R$ は電線の抵抗［$\Omega$］、$\rho$ は電線の抵抗率［$\Omega\,\cdotp\mathrm{m}$］、$L$ は電線の長さ［$\mathrm{m}$］、$D$ は電線の直径［$\mathrm{m}$］を表わし、③式は、電線の抵抗率 $\rho$ 、電線の長さ $L$ 、電線の直径 $D$ が分かれば、電線の抵抗 $R$ を求めることができますよ、という式です。
③式中の $\pi$ は円周率（ $\pi\fallingdotseq 3.14$ ）で、円の面積とかを求めるときによく使うやつですね。円の面積 $=\pi\times r^2$（ $\text{円周率}\times\text{半径}^2$ ）みたいなね。
電線の太さが直径の電線の抵抗の公式については、ここでは「③式」と先ほど①式のところで解説した「電線の材料（材質）が同じ場合は、抵抗率は同じ値になる」をおぼえておけばいいのですが、ここでも、ちょっとだけ注意することがあります。（これも、ちょっとじゃないけど…。）
そ、それは、ここでも単位です！
③式中の $D$ は電線の直径を表わしますが、この $D$ の単位は$\boldsymbol{\mathrm{m}}$（メートル）です。
なので、問題に書かれている電線の直径の単位が「 $\mathrm{mm}$ 」（ミリメートル）だったら、その電線の直径を「 $\mathrm{mm}$ 」（ミリメートル）から「 $\mathrm{m}$ 」（メートル）に直して③式の公式に代入しなければなりません。（換算が必要ってことです。）
$\mathrm{mm}$（ミリメートル）を $\mathrm{m}$（メートル）に直す（換算する）ときは、$\mathrm{mm}$（ミリメートル）の値に $10^{-3}$ をかけます。例えば、$1\,000\,\mathrm{mm}$（千ミリメートル） …④ をメートルに直すときは、④の値に $10^{-3}$ をかけます。
$1\,000$［$\mathrm{mm}$］$\times\color{#ff3333}{10^{-3}}$ ⇒ $1$［$\mathrm{m}$］ （$1\,000\,\mathrm{mm}$ は $1\,\mathrm{m}$ になる）
直径が $1.6\,\mathrm{mm}$ だったら、これも同じようにして、$1.6$ に $10^{-3}$ をかけます。
$1.6$［$\mathrm{mm}$］$\times\color{#ff3333}{10^{-3}}$ ⇒ $1.6\times 10^{-3}$［$\mathrm{m}$］ （$1.6\,\mathrm{mm}$ は $1.6\times 10^{-3}\,\mathrm{m}$ になる）
もし、$\mathrm{mm}$ を $\mathrm{m}$ に直すときに $10$ の何乗だったか忘れてしまった場合は、次のように $1$ センチは何ミリで…、と書いてみると分かります。
- $1\,\mathrm{cm}$ は $10\,\mathrm{mm}$
- $10\,\mathrm{cm}$ は $100\,\mathrm{mm}$
- $100\,\mathrm{cm}$（ $1\,\mathrm{m}$ ）は $1\,000\,\mathrm{mm}$ （$\mathrm{m}$ と $\mathrm{mm}$ は $1:1\,000$ ）
となるから、$\mathrm{mm}$ を $\mathrm{m}$ に直すときは $1\,000$（ $=10^3$ ）で割る。ということは、$10^{-3}$ をかけるんだー！てな感じで。
$\dfrac{1}{1\,000} =\dfrac{1}{10^3} =10^{-3}$ になります。なので、$1\,000$ で割るというのは、$10^{-3}$ をかけるのと同じです。
この $\mathrm{mm}$ から $\mathrm{m}$ への換算は、他の抵抗の計算問題を解くときにも使うので、先ほどの $\mathrm{mm^2}$ から $\mathrm{m^2}$ への換算といっしょにおぼえておきましょう。
- $\mathrm{mm^2}$ から $\mathrm{m^2}$ へ換算するときは、$10^{-6}$ をかける
- $\mathrm{mm}$ から $\mathrm{m}$ へ換算するときは、$10^{-3}$ をかける
以上の「電線の太さが断面積の電線の抵抗の公式」と「電線の太さが直径の電線の抵抗の公式」をおぼえたら、2本の銅線の抵抗の比を求める計算問題を解くための基礎知識はOKです！
では、過去に第二種電気工事士学科試験で出題された過去問題を解いてみましょう！
断面積の公式から直径の公式を導出できる！
次のようにすると、「電線の太さが断面積の電線の抵抗の公式」から「電線の太さが直径の電線の抵抗の公式」を導くことができます。
$R=\rho\dfrac{L}{S}$ …⑤ （電線の太さが断面積の電線の抵抗の公式）
この公式の「 $S$ 」は断面積なので、電線の直径を $D$ とした場合、断面積 $S$ は、
$S=\pi\times\left( \dfrac{D}{2}\right)^2$ …⑥
$=\pi\times\dfrac{D^2}{4} =\dfrac{\pi D^2}{4}$
$\therefore S=\dfrac{\pi D^2}{4}$ …⑦ と表わせます。
⑥では、円の面積の公式（ $\text{円周率}\pi\times\text{半径}^2$ ）を使っています。$D$ は直径なので、半径は $\dfrac{D}{2}$ になります。
この⑦を⑤式に代入します。
$R=\rho\dfrac{L}{S}$ （⑤式）
$=\rho\dfrac{L}{\color{#ff3333}{\dfrac{\pi D^2}{4}}}$ （⑦を⑤式に代入した）
$=\dfrac{\rho L}{\dfrac{\pi D^2}{4}} =\rho L\times\dfrac{4}{\pi D^2} =\dfrac{4\rho L}{\pi D^2}$
$\therefore \color{#ff3333}{R=\dfrac{4\rho L}{\pi D^2}}$ （電線の太さが直径の電線の抵抗の公式）
導出できた！
以上のように円の面積の公式を使うと、「電線の太さが断面積の電線の抵抗の公式」から「電線の太さが直径の電線の抵抗の公式」を導くことができるので、「電線の太さが直径の電線の抵抗の公式」を忘れてしまったときは計算してみるといいと思います。
2つの公式どっちも忘れてしまったときはどうしましょう…。
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2本の銅線の抵抗の比を求める計算問題（過去問題）と解き方
A、B 2本の同材質の銅線がある。A は直径 $1.6\,\mathrm{mm}$ 、長さ $20\,\mathrm{m}$ 、B は直径 $3.2\,\mathrm{mm}$ 、長さ $40\,\mathrm{m}$ である。A の抵抗は B の抵抗の何倍か。
イ．2ロ．3ハ．4ニ．5
出題：令和2年度下期午前問2平成29年度上期問3平成27年度上期問3平成25年度上期問2
解き方
この問題は、2本の銅線の抵抗の比（A の抵抗は B の抵抗の何倍か？）を求める問題なので、はじめに A と B の2本の銅線の抵抗を求めてしまえば、あとは比の計算（A の銅線の抵抗÷B の銅線の抵抗）をするだけです。
銅線の抵抗は、先ほどおぼえた電線の抵抗の公式を使えば求められるのですが、問題を読んでみると、銅線の長さと太さ（直径）は書いてあるので分かりますが、抵抗率は書いてないので分かりません。
ですが、問題文に同材質の銅線と書いてあるので、「A と B の2本の銅線の抵抗率は同じになる」ということが分かります。（電線の材質が同じだったら、抵抗率も同じになるのでした。）
なので、抵抗率の値は分かりませんが A と B の2本の銅線の抵抗率は同じになるので、銅線の抵抗率をどちらも $\rho$［$\Omega\,\cdotp\mathrm{m}$］として A と B の2本の銅線の抵抗を求めます。
もちろん、求めた抵抗には $\rho$ が含まれてしまいますが、この問題は「2本の銅線の抵抗の比を求める問題」なので、$\rho$ があっても大丈夫！です。（比の計算をしたときに $\rho$ は消えます！）
では、抵抗率をどちらも $\rho$［$\Omega\,\cdotp\mathrm{m}$］として、A と B の2本の銅線の抵抗を求めてみましょう。
A と B の2本の銅線の太さはどちらも直径で与えられているので、「電線の太さが直径の電線の抵抗の公式」（次の①式）を使って銅線の抵抗を求めます、よ！
$R=\dfrac{4\rho L}{\pi D^2}$ …① （電線の太さが直径の電線の抵抗の公式）
$R$：電線の抵抗［$\Omega$］ $\rho$：電線の抵抗率［$\Omega\,\cdotp\mathrm{m}$］ $L$：電線の長さ［$\mathrm{m}$］ $D$：電線の直径［$\mathrm{m}$］
A の銅線の抵抗
A の銅線は、直径 $1.6\,\mathrm{mm}$ 、長さ $20\,\mathrm{m}$ なので、これらの値を①式（電線の太さが直径の電線の抵抗の公式）に代入して A の銅線の抵抗 $R_A$ を求めます。
$R=\dfrac{4\rho L}{\pi D^2}$ （①式）
$R_A=\dfrac{4\rho\times \color{#ff3333}{20}}{\pi\times\left( \color{#ff3333}{1.6\times 10^{-3}}\right)^2}$ …② （A の銅線の値を代入した）
$=\dfrac{80\rho}{\pi\times 1.6^2\times\left( 10^{-3}\right)^2}$
$=\dfrac{80\rho}{2.56\pi\times 10^{-6}}$ （$10^{-3}$ の2乗は $10^{-6}$ になります）
$=\dfrac{80\rho}{2.56\pi}\times 10^6$ （$\dfrac{1}{10^{-6}}$ は $10^6$ になります）
$\therefore R_A=\dfrac{80\rho}{2.56\pi}\times 10^6$ …③ （A の銅線の抵抗）
②の直径 $D$ には、直径 $1.6$［$\mathrm{mm}$］をメートルに換算した $1.6\times 10^{-3}$［$\mathrm{m}$］の値を代入しています。
B の銅線の抵抗
B の銅線は、直径 $3.2\,\mathrm{mm}$ 、長さ $40\,\mathrm{m}$ なので、これらの値を①式（電線の太さが直径の電線の抵抗の公式）に代入して B の銅線の抵抗 $R_B$ を求めます。
$R=\dfrac{4\rho L}{\pi D^2}$ （①式）
$R_B=\dfrac{4\rho\times \color{#ff3333}{40}}{\pi\times\left( \color{#ff3333}{3.2\times 10^{-3}}\right)^2}$ …④ （B の銅線の値を代入した）
$=\dfrac{160\rho}{\pi\times 3.2^2\times\left( 10^{-3}\right)^2}$
$=\dfrac{160\rho}{10.24\pi\times 10^{-6}}$ （$10^{-3}$ の2乗は $10^{-6}$ になります）
$=\dfrac{160\rho}{10.24\pi}\times 10^6$ （$\dfrac{1}{10^{-6}}$ は $10^6$ になります）
$\therefore R_B=\dfrac{160\rho}{10.24\pi}\times 10^6$ …⑤ （B の銅線の抵抗）
④の直径 $D$ には、直径 $3.2$［$\mathrm{mm}$］をメートルに換算した $3.2\times 10^{-3}$［$\mathrm{m}$］の値を代入しています。
「A の銅線の抵抗」と「B の銅線の抵抗」が求められたので、あとは比の計算（A の銅線の抵抗÷B の銅線の抵抗）をするだけです。
A の抵抗は B の抵抗の何倍か？（比の計算）
A の銅線の抵抗÷B の銅線の抵抗 $=\dfrac{R_A}{R_B}$
$=\dfrac{\color{#ff3333}{\dfrac{80\rho}{2.56\pi}\times 10^6}}{\color{#ff3333}{\dfrac{160\rho}{10.24\pi}\times 10^6}}$ （③、⑤を代入した）
$=\dfrac{\dfrac{80}{2.56}}{\dfrac{160}{10.24}} =\dfrac{80}{2.56}\times\dfrac{10.24}{160}$
$=\dfrac{1}{2.56}\times\dfrac{10.24}{2} =\dfrac{10.24}{5.12} =2$
$\therefore$ A の銅線の抵抗÷B の銅線の抵抗 $=\dfrac{R_A}{R_B} =2$
したがって、A の銅線の抵抗は B の銅線の抵抗の2倍になるので、「イ」が正解になります。
ちなみに、ここでやっている計算方法を簡単にまとめると、
❶抵抗率を $\rho$ として、A の銅線の抵抗を求める
❷抵抗率を $\rho$ として、B の銅線の抵抗を求める
❸比の計算（A の銅線の抵抗÷B の銅線の抵抗）をする
となります。
❸の比の計算をするときに、間違えて「B の銅線の抵抗÷A の銅線の抵抗」としないように注意しましょう。逆に計算してしまうと、A と B の銅線の抵抗を正しく求められたとしても選択肢に答えがない！ってことになります。
解答：イ
問題1の別解①（銅線の長さと太さを比較して求める方法）
電線の抵抗は電線の長さに比例し断面積に反比例するので、この問題は、2本の銅線の長さと太さを比較することでも解くことができます。
このページの基礎知識のところで解説した「電線の太さが断面積の電線の抵抗の公式」は、次のような公式でした。
$R=\rho\dfrac{L}{S}$ …⑥ （電線の太さが断面積の電線の抵抗の公式）
$R$：電線の抵抗［$\Omega$］ $\rho$：電線の抵抗率［$\Omega\,\cdotp\mathrm{m}$］ $L$：電線の長さ［$\mathrm{m}$］ $S$：電線の断面積［$\mathrm{m^2}$］
この公式を見てみると分かるように、電線の抵抗は電線の長さ（$\boldsymbol{L}$）に比例し、電線の断面積（$\boldsymbol{S}$）に反比例します。
つまり、電線の長さが $a$ 倍になれば電線の抵抗は $a$ 倍になり、電線の断面積が $b$ 倍になれば電線の抵抗は $1/b$ 倍になるということですね。
なので、
- A の銅線の長さは、B の銅線の長さの何倍になっているか？
- A の銅線の断面積は、B の銅線の断面積の何倍になっているか？
を考える（比較する）と、「A の抵抗が B の抵抗の何倍になるか？」が分かります。
では、はじめに銅線の長さを比較してみましょう。
問題文より、A の銅線の長さは $20\,\mathrm{m}$ 、B の銅線の長さは $40\,\mathrm{m}$ です。したがって、
$\dfrac{\text{A の銅線の長さ}}{\text{B の銅線の長さ}} =\dfrac{20}{40} =\dfrac{1}{2}$
$\therefore \dfrac{\text{A の銅線の長さ}}{\text{B の銅線の長さ}} =\dfrac{1}{2}$
となるので、A の銅線の長さは B の銅線の長さの$\dfrac{\boldsymbol{1}}{\boldsymbol{2}}$ 倍になります。
次に、銅線の断面積を比較してみましょう。
問題文より、A の銅線の直径は $1.6\,\mathrm{mm}$ 、B の銅線の直径は $3.2\,\mathrm{mm}$ です。したがって、
$\dfrac{\text{A の銅線の断面積}}{\text{B の銅線の断面積}}$
$=\dfrac{\pi\times\left( \dfrac{1.6\times 10^{-3}}{2}\right)^2}{\pi\times\left( \dfrac{3.2\times 10^{-3}}{2}\right)^2}$ …⑦ （直径を断面積にするために円の面積の公式を使った）
$=\dfrac{\pi\times\dfrac{1.6^2\times\left( 10^{-3}\right)^2}{2^2}}{\pi\times\dfrac{3.2^2\times\left( 10^{-3}\right)^2}{2^2}}$
$=\dfrac{1.6^2}{3.2^2} =\left(\dfrac{1.6}{3.2}\right)^2 =\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 =\dfrac{1}{2^2}$ $=\dfrac{1}{4}$
$\therefore \dfrac{\text{A の銅線の断面積}}{\text{B の銅線の断面積}} =\dfrac{1}{4}$
となるので、A の銅線の断面積は B の銅線の断面積の$\dfrac{\boldsymbol{1}}{\boldsymbol{4}}$ 倍になります。
問題文で与えられている電線の太さは直径なので、⑦では、円の面積の公式（$\text{円周率}\pi\times\text{半径}^2$ ）を使って直径から断面積を求めています。なお、⑦式中の「 $\times 10^{-3}$ 」は直径の単位を「 $\mathrm{mm}$ 」から「 $\mathrm{m}$ 」に換算するためのものですが、ここでは比の計算をしているだけなので「 $\times 10^{-3}$ 」はなくてもかまいません。（比の計算なので、直径の単位を $\mathrm{mm}$ のまま計算してもいいよってことです。）
以上より、
- A の銅線の長さは B の銅線の長さの $\dfrac{1}{2}$ 倍
- A の銅線の断面積は B の銅線の断面積の $\dfrac{1}{4}$ 倍
になるので、A の抵抗は B の抵抗の $\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{4}} =\dfrac{1}{2}\times 4=\color{#ff3333}{2}$ 倍になります。したがって、「イ」が正解になります。
解答：イ
A、B 2本の同材質の銅線がある。A は直径 $1.6$［$\mathrm{mm}$］、長さ $40$［$\mathrm{m}$］、B は直径 $3.2$［$\mathrm{mm}$］、長さ $20$［$\mathrm{m}$］である。A の抵抗は B の抵抗の何倍か。
イ．2ロ．4ハ．6ニ．8
出題：平成23年度上期問1
解き方
問題2は問題1とほぼ同じ問題で、問題1と問題2の違いは、A と B の2本の銅線の長さが違うだけです。問題1と同じ解き方で解くことができますので、問題1の解き方と同じように解いてみます。
問題文に同材質の銅線と書いてあるので、A と B の2本の銅線の抵抗率は同じです。なので、抵抗率をどちらも $\rho$［$\Omega\,\cdotp\mathrm{m}$］として A と B の2本の銅線の抵抗を求めます。
A と B の2本の銅線の抵抗を求めるときは、A と B の2本の銅線の太さがどちらも直径で与えられているので、「電線の太さが直径の電線の抵抗の公式」（次の①式）を使います。
$R=\dfrac{4\rho L}{\pi D^2}$ …① （電線の太さが直径の電線の抵抗の公式）
$R$：電線の抵抗［$\Omega$］ $\rho$：電線の抵抗率［$\Omega\,\cdotp\mathrm{m}$］ $L$：電線の長さ［$\mathrm{m}$］ $D$：電線の直径［$\mathrm{m}$］
A の銅線の抵抗
A の銅線は、直径 $1.6\,\mathrm{mm}$ 、長さ $40\,\mathrm{m}$ なので、これらの値を①式（電線の太さが直径の電線の抵抗の公式）に代入して A の銅線の抵抗 $R_A$ を求めます。
$R=\dfrac{4\rho L}{\pi D^2}$ （①式）
$R_A=\dfrac{4\rho\times \color{#ff3333}{40}}{\pi\times\left( \color{#ff3333}{1.6\times 10^{-3}}\right)^2}$ …② （A の銅線の値を代入した）
$=\dfrac{160\rho}{\pi\times 1.6^2\times\left( 10^{-3}\right)^2}$
$=\dfrac{160\rho}{2.56\pi\times 10^{-6}}$ （$10^{-3}$ の2乗は $10^{-6}$ になります）
$=\dfrac{160\rho}{2.56\pi}\times 10^6$ （$\dfrac{1}{10^{-6}}$ は $10^6$ になります）
$\therefore R_A=\dfrac{160\rho}{2.56\pi}\times 10^6$ …③ （A の銅線の抵抗）
②の直径 $D$ には、直径 $1.6$［$\mathrm{mm}$］をメートルに換算した $1.6\times 10^{-3}$［$\mathrm{m}$］の値を代入しています。
B の銅線の抵抗
B の銅線は、直径 $3.2\,\mathrm{mm}$ 、長さ $20\,\mathrm{m}$ なので、これらの値を①式（電線の太さが直径の電線の抵抗の公式）に代入して B の銅線の抵抗 $R_B$ を求めます。
$R=\dfrac{4\rho L}{\pi D^2}$ （①式）
$R_B=\dfrac{4\rho\times \color{#ff3333}{20}}{\pi\times\left( \color{#ff3333}{3.2\times 10^{-3}}\right)^2}$ …④ （B の銅線の値を代入した）
$=\dfrac{80\rho}{\pi\times 3.2^2\times\left( 10^{-3}\right)^2}$
$=\dfrac{80\rho}{10.24\pi\times 10^{-6}}$ （$10^{-3}$ の2乗は $10^{-6}$ になります）
$=\dfrac{80\rho}{10.24\pi}\times 10^6$ （$\dfrac{1}{10^{-6}}$ は $10^6$ になります）
$\therefore R_B=\dfrac{80\rho}{10.24\pi}\times 10^6$ …⑤ （B の銅線の抵抗）
④の直径 $D$ には、直径 $3.2$［$\mathrm{mm}$］をメートルに換算した $3.2\times 10^{-3}$［$\mathrm{m}$］の値を代入しています。
「A の銅線の抵抗」と「B の銅線の抵抗」が求められたので、あとは比の計算（A の銅線の抵抗÷B の銅線の抵抗）をするだけです。
A の抵抗は B の抵抗の何倍か？（比の計算）
A の抵抗は B の抵抗の何倍か？なので、A の銅線の抵抗÷B の銅線の抵抗を計算します。
A の銅線の抵抗÷B の銅線の抵抗 $=\dfrac{R_A}{R_B}$
$=\dfrac{\color{#ff3333}{\dfrac{160\rho}{2.56\pi}\times 10^6}}{\color{#ff3333}{\dfrac{80\rho}{10.24\pi}\times 10^6}}$ （③、⑤を代入した）
$=\dfrac{\dfrac{160}{2.56}}{\dfrac{80}{10.24}} =\dfrac{160}{2.56}\times\dfrac{10.24}{80}$
$=\dfrac{2}{2.56}\times\dfrac{10.24}{1} =\dfrac{20.48}{2.56} =8$
$\therefore$ A の銅線の抵抗÷B の銅線の抵抗 $=\dfrac{R_A}{R_B} =8$
したがって、A の銅線の抵抗は B の銅線の抵抗の8倍になるので、「ニ」が正解になります。
解答：ニ
問題2の別解①（銅線の長さと太さを比較して求める方法）
この問題2を、問題1の別解①の解き方（銅線の長さと太さを比較して求める方法）でも解いてみましょう。
問題文より、A の銅線の長さは $40\,\mathrm{m}$ 、B の銅線の長さは $20\,\mathrm{m}$ です。したがって、
$\dfrac{\text{A の銅線の長さ}}{\text{B の銅線の長さ}} =\dfrac{40}{20} =2$
となるので、A の銅線の長さは B の銅線の長さの$\boldsymbol{2}$ 倍になります。
問題文より、A の銅線の直径は $1.6\,\mathrm{mm}$ 、B の銅線の直径は $3.2\,\mathrm{mm}$ です。したがって、
$\dfrac{\text{A の銅線の断面積}}{\text{B の銅線の断面積}}$
$=\dfrac{\pi\times\left( \dfrac{1.6\times 10^{-3}}{2}\right)^2}{\pi\times\left( \dfrac{3.2\times 10^{-3}}{2}\right)^2}$ …⑥ （直径を断面積にするために円の面積の公式を使った）
$=\dfrac{\pi\times\dfrac{1.6^2\times\left( 10^{-3}\right)^2}{2^2}}{\pi\times\dfrac{3.2^2\times\left( 10^{-3}\right)^2}{2^2}}$
$=\dfrac{1.6^2}{3.2^2} =\left(\dfrac{1.6}{3.2}\right)^2 =\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 =\dfrac{1}{2^2}$ $=\dfrac{1}{4}$
$\therefore \dfrac{\text{A の銅線の断面積}}{\text{B の銅線の断面積}} =\dfrac{1}{4}$
となるので、A の銅線の断面積は B の銅線の断面積の$\dfrac{\boldsymbol{1}}{\boldsymbol{4}}$ 倍になります。
問題文で与えられている電線の太さは直径なので、⑥では、円の面積の公式（$\text{円周率}\pi\times\text{半径}^2$ ）を使って直径から断面積を求めています。なお、⑥式中の「 $\times 10^{-3}$ 」は直径の単位を「 $\mathrm{mm}$ 」から「 $\mathrm{m}$ 」に換算するためのものですが、ここでは比の計算をしているだけなので「 $\times 10^{-3}$ 」はなくてもかまいません。（比の計算なので、直径の単位を $\mathrm{mm}$ のまま計算してもいいよってことです。）
以上より、
- A の銅線の長さは B の銅線の長さの $2$ 倍
- A の銅線の断面積は B の銅線の断面積の $\dfrac{1}{4}$ 倍
になるので、A の抵抗は B の抵抗の $\dfrac{2}{\dfrac{1}{4}} =2\times 4=\color{#ff3333}{8}$ 倍になります。したがって、「ニ」が正解になります。
解答：ニ
A、B 2本の同材質の銅線がある。A は直径 $1.6\,\mathrm{mm}$ 、長さ $100\,\mathrm{m}$ 、B は直径 $3.2\,\mathrm{mm}$ 、長さ $50\,\mathrm{m}$ である。A の抵抗は B の抵抗の何倍か。
イ．1ロ．2ハ．4ニ．8
出題：令和2年度下期午後問2
解き方
問題3も問題1とほぼ同じ問題で、問題1と問題3の違いは、A と B の2本の銅線の長さが違うだけです。問題1と同じ解き方で解くことができますので、問題1の解き方と同じように解いてみます。
問題文に同材質の銅線と書いてあるので、A と B の2本の銅線の抵抗率は同じです。なので、抵抗率をどちらも $\rho$［$\Omega\,\cdotp\mathrm{m}$］として A と B の2本の銅線の抵抗を求めます。
A と B の2本の銅線の抵抗を求めるときは、A と B の2本の銅線の太さがどちらも直径で与えられているので、「電線の太さが直径の電線の抵抗の公式」（次の①式）を使います。
$R=\dfrac{4\rho L}{\pi D^2}$ …① （電線の太さが直径の電線の抵抗の公式）
$R$：電線の抵抗［$\Omega$］ $\rho$：電線の抵抗率［$\Omega\,\cdotp\mathrm{m}$］ $L$：電線の長さ［$\mathrm{m}$］ $D$：電線の直径［$\mathrm{m}$］
A の銅線の抵抗
A の銅線は、直径 $1.6\,\mathrm{mm}$ 、長さ $100\,\mathrm{m}$ なので、これらの値を①式（電線の太さが直径の電線の抵抗の公式）に代入して A の銅線の抵抗 $R_A$ を求めます。
$R=\dfrac{4\rho L}{\pi D^2}$ （①式）
$R_A=\dfrac{4\rho\times \color{#ff3333}{100}}{\pi\times\left( \color{#ff3333}{1.6\times 10^{-3}}\right)^2}$ …② （A の銅線の値を代入した）
$=\dfrac{400\rho}{\pi\times 1.6^2\times\left( 10^{-3}\right)^2}$
$=\dfrac{400\rho}{2.56\pi\times 10^{-6}}$ （$10^{-3}$ の2乗は $10^{-6}$ になります）
$=\dfrac{400\rho}{2.56\pi}\times 10^6$ （$\dfrac{1}{10^{-6}}$ は $10^6$ になります）
$\therefore R_A=\dfrac{400\rho}{2.56\pi}\times 10^6$ …③ （A の銅線の抵抗）
②の直径 $D$ には、直径 $1.6$［$\mathrm{mm}$］をメートルに換算した $1.6\times 10^{-3}$［$\mathrm{m}$］の値を代入しています。
B の銅線の抵抗
B の銅線は、直径 $3.2\,\mathrm{mm}$ 、長さ $50\,\mathrm{m}$ なので、これらの値を①式（電線の太さが直径の電線の抵抗の公式）に代入して B の銅線の抵抗 $R_B$ を求めます。
$R=\dfrac{4\rho L}{\pi D^2}$ （①式）
$R_B=\dfrac{4\rho\times \color{#ff3333}{50}}{\pi\times\left( \color{#ff3333}{3.2\times 10^{-3}}\right)^2}$ …④ （B の銅線の値を代入した）
$=\dfrac{200\rho}{\pi\times 3.2^2\times\left( 10^{-3}\right)^2}$
$=\dfrac{200\rho}{10.24\pi\times 10^{-6}}$ （$10^{-3}$ の2乗は $10^{-6}$ になります）
$=\dfrac{200\rho}{10.24\pi}\times 10^6$ （$\dfrac{1}{10^{-6}}$ は $10^6$ になります）
$\therefore R_B=\dfrac{200\rho}{10.24\pi}\times 10^6$ …⑤ （B の銅線の抵抗）
④の直径 $D$ には、直径 $3.2$［$\mathrm{mm}$］をメートルに換算した $3.2\times 10^{-3}$［$\mathrm{m}$］の値を代入しています。
「A の銅線の抵抗」と「B の銅線の抵抗」が求められたので、あとは比の計算（A の銅線の抵抗÷B の銅線の抵抗）をするだけです。
A の抵抗は B の抵抗の何倍か？（比の計算）
A の抵抗は B の抵抗の何倍か？なので、A の銅線の抵抗÷B の銅線の抵抗を計算します。
A の銅線の抵抗÷B の銅線の抵抗 $=\dfrac{R_A}{R_B}$
$=\dfrac{\color{#ff3333}{\dfrac{400\rho}{2.56\pi}\times 10^6}}{\color{#ff3333}{\dfrac{200\rho}{10.24\pi}\times 10^6}}$ （③、⑤を代入した）
$=\dfrac{\dfrac{400}{2.56}}{\dfrac{200}{10.24}} =\dfrac{400}{2.56}\times\dfrac{10.24}{200}$
$=\dfrac{2}{2.56}\times\dfrac{10.24}{1} =\dfrac{20.48}{2.56} =8$
$\therefore$ A の銅線の抵抗÷B の銅線の抵抗 $=\dfrac{R_A}{R_B} =8$
したがって、A の銅線の抵抗は B の銅線の抵抗の8倍になるので、「ニ」が正解になります。
解答：ニ
問題3の別解①（銅線の長さと太さを比較して求める方法）
この問題3を、問題1の別解①の解き方（銅線の長さと太さを比較して求める方法）でも解いてみましょう。
問題文より、A の銅線の長さは $100\,\mathrm{m}$ 、B の銅線の長さは $50\,\mathrm{m}$ です。したがって、
$\dfrac{\text{A の銅線の長さ}}{\text{B の銅線の長さ}} =\dfrac{100}{50} =2$
となるので、A の銅線の長さは B の銅線の長さの$\boldsymbol{2}$ 倍になります。
問題文より、A の銅線の直径は $1.6\,\mathrm{mm}$ 、B の銅線の直径は $3.2\,\mathrm{mm}$ です。したがって、
$\dfrac{\text{A の銅線の断面積}}{\text{B の銅線の断面積}}$
$=\dfrac{\pi\times\left( \dfrac{1.6\times 10^{-3}}{2}\right)^2}{\pi\times\left( \dfrac{3.2\times 10^{-3}}{2}\right)^2}$ …⑥ （直径を断面積にするために円の面積の公式を使った）
$=\dfrac{\pi\times\dfrac{1.6^2\times\left( 10^{-3}\right)^2}{2^2}}{\pi\times\dfrac{3.2^2\times\left( 10^{-3}\right)^2}{2^2}}$
$=\dfrac{1.6^2}{3.2^2} =\left(\dfrac{1.6}{3.2}\right)^2 =\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 =\dfrac{1}{2^2}$ $=\dfrac{1}{4}$
$\therefore \dfrac{\text{A の銅線の断面積}}{\text{B の銅線の断面積}} =\dfrac{1}{4}$
となるので、A の銅線の断面積は B の銅線の断面積の$\dfrac{\boldsymbol{1}}{\boldsymbol{4}}$ 倍になります。
問題文で与えられている電線の太さは直径なので、⑥では、円の面積の公式（$\text{円周率}\pi\times\text{半径}^2$ ）を使って直径から断面積を求めています。なお、⑥式中の「 $\times 10^{-3}$ 」は直径の単位を「 $\mathrm{mm}$ 」から「 $\mathrm{m}$ 」に換算するためのものですが、ここでは比の計算をしているだけなので「 $\times 10^{-3}$ 」はなくてもかまいません。（比の計算なので、直径の単位を $\mathrm{mm}$ のまま計算してもいいよってことです。）
以上より、
- A の銅線の長さは B の銅線の長さの $2$ 倍
- A の銅線の断面積は B の銅線の断面積の $\dfrac{1}{4}$ 倍
になるので、A の抵抗は B の抵抗の $\dfrac{2}{\dfrac{1}{4}} =2\times 4=\color{#ff3333}{8}$ 倍になります。したがって、「ニ」が正解になります。
解答：ニ
2本の銅線の抵抗の比を求める計算問題の解き方の解説は以上になりますが、2本の銅線の抵抗の比を求める計算問題を解くためには、電線の抵抗の公式の知識が必要になります。
このページに掲載している電線の抵抗の公式は、第二種電気工事士学科試験で出題されている他の抵抗の計算問題を解くときにもよく使う基本公式ですので、必ずおぼえておくようにしましょう。基本は大事！
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