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誘導電動機のL形等価回路

等価回路

三相誘導電動機の一相分のL形等価回路(簡易等価回路)は、次のように表わされます。

 

三相誘導電動機の1相分のL形等価回路(簡易等価回路)

 

$\dot{V}$ :一次相電圧 [$ \mathrm{V} $]
$\dot{I_g}$ :励磁コンダクタンスに流れる電流 [$ \mathrm{A} $]
$g_0$ :励磁コンダクタンス [$ \mathrm{S} $]
$b_0$ :励磁サセプタンス [$ \mathrm{S} $]
$\dot{I_1}^\prime$ :一次負荷電流 [$ \mathrm{A} $]
$r_1$ :一次抵抗 [$ \Omega $]
$x_1$ :一次漏れリアクタンス [$ \Omega $]
${r_2}^\prime$ :二次抵抗(一次換算値)[$ \Omega $]
${x_2}^\prime$ :二次漏れリアクタンス(一次換算値)[$ \Omega $]
$s$ :すべり

 

励磁コンダクタンスg0に流れる電流Igの求め方

等価回路図より、励磁コンダクタンス $g_0$ には電圧 $V$ がかかっているので、励磁コンダクタンス $g_0$ に流れる電流 $I_g$ は、

 

$I_g = \left| \dot{I_g} \right| = g_0 V$ [$ \mathrm{A} $] となります。

 

一次負荷電流I1’の求め方

一次負荷電流 ${I_1}^\prime$ が流れるループのインピーダンスを $\dot{Z_1}$ とすると、

 

一次負荷電流I1’がながれるループのインピーダンスをZ1とする

 

$\dot{Z_1}$ $= r_1 + j x_1 + {r_2}^\prime + j {x_2}^\prime + \dfrac{1-s}{s} {r_2}^\prime$ $= \left( r_1 + {r_2}^\prime + \dfrac{1-s}{s} {r_2}^\prime \right)$ $+ j ( x_1 + {x_2}^\prime )$ $= \left( r_1 + \left( \dfrac{s+1-s}{s} \right) {r_2}^\prime \right)$ $+ j (x_1 + {x_2}^\prime )$ $= \left( r_1 + \dfrac{{r_2}^\prime}{s} \right) + j (x_1 + {x_2}^\prime )$

 

$\therefore \dot{Z_1} = \left( r_1 + \dfrac{{r_2}^\prime}{s} \right) + j (x_1 + {x_2}^\prime )$ となるので、インピーダンス $\dot{Z_1}$ の大きさ $\left| \dot{Z_1} \right|$ は次のようになります。

 

$\therefore \left| \dot{Z_1} \right|$ $= \sqrt{\left( r_1 + \dfrac{{r_2}^\prime}{s} \right)^2 + (x_1 + {x_2}^\prime )^2}$

 

したがって、一次負荷電流 ${I_1}^\prime$ が流れるループには電圧 $V$ がかかっているので、一次負荷電流 ${I_1}^\prime$ は次のようになります。

 

${I_1}^\prime = \left| \dot{I_1}^\prime \right| = \dfrac{V}{\left| \dot{Z_1} \right|}$ $= \dfrac{V}{\sqrt{\left( r_1 + \dfrac{{r_2}^\prime}{s} \right)^2 + (x_1 + {x_2}^\prime )^2}}$

 

$\therefore {I_1}^\prime$ $= \dfrac{V}{\sqrt{\left( r_1 + \dfrac{{r_2}^\prime}{s} \right)^2 + (x_1 + {x_2}^\prime )^2}}$ [$ \mathrm{A} $]

 

I1’が流れ、ここにかかる電圧はV

 

 


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三相分の鉄損Piの求め方

鉄損は等価回路中の励磁コンダクタンス $g_0$ による損失であるので、一相分の鉄損を ${P_i}^\prime$ とすると ${P_i}^\prime$ は次式となります。

 

${P_i}^\prime = {I_g}^2 \dfrac{1}{g_0}$

 

ここで、励磁コンダクタンス $g_0$ に流れる電流 $I_g$ は、$I_g = g_0 V$ であるので、一相分の鉄損 ${P_i}^\prime$ は、

 

${P_i}^\prime = {I_g}^2 \dfrac{1}{g_0} = \left( g_0 V \right)^2 \cdot \dfrac{1}{g_0}$ $= {g_0}^2 \, V^2 \cdot \dfrac{1}{g_0}$ $= g_0 V^2$ となります。

 

したがって、三相分の鉄損 $P_i$ は一相分の鉄損 ${P_i}^\prime$ の3倍なので、

 

$P_i = 3 \times {P_i}^\prime = 3 \times g_0 V^2 = 3 g_0 V^2$

 

$\therefore P_i = 3 g_0 V^2$ [$ \mathrm{W} $] となります。

 

このページに記載の三相誘導電動機のL形等価回路は、一相分の等価回路を表わしていることに注意しましょう。

 

三相分の一次銅損PC1の求め方

一次銅損は一次抵抗 $r_1$ による損失であるので、一相分の一次銅損を ${P_{C1}}^\prime$ とすると ${P_{C1}}^\prime$ は次式となります。

 

${P_{C1}}^\prime = {{I_1}^\prime}^2 \, r_1$

 

したがって、三相分の一次銅損 $P_{C1}$ は一相分の一次銅損 ${P_{C1}}^\prime$ の3倍なので、

 

$P_{C1} = 3 \times {P_{C1}}^\prime = 3 {{I_1}^\prime}^2 \, r_1$

 

$\therefore P_{C1} = 3 {{I_1}^\prime}^2 \, r_1$ [$ \mathrm{W} $] となります。

 

ここで、先ほど求めた一次負荷電流 ${I_1}^\prime$ を上式に代入すると、三相分の一次銅損 $P_{C1}$ は次式でも表わせます。

 

$P_{C1}$ $= 3 \cdot \left( \dfrac{V}{\sqrt{\left( r_1 + \dfrac{{r_2}^\prime}{s} \right)^2 + (x_1 + {x_2}^\prime )^2}} \right)^2$ $\cdot r_1$ $= \dfrac{3 V^2 \, r_1}{\left( r_1 + \dfrac{{r_2}^\prime}{s} \right)^2 + (x_1 + {x_2}^\prime )^2}$

 

$\therefore P_{C1} = \dfrac{3 V^2 \, r_1}{\left( r_1 + \dfrac{{r_2}^\prime}{s} \right)^2 + (x_1 + {x_2}^\prime )^2}$ [$ \mathrm{W} $]

 

三相分の二次入力P2の求め方

二次入力は等価回路の二次側の抵抗分で消費される電力になります。

 

等価回路より二次側の合成抵抗分を求めると、

 

${r_2}^\prime + \dfrac{1-s}{s} {r_2}^\prime = \left( 1 + \dfrac{1-s}{s} \right) {r_2}^\prime$ $= \left( \dfrac{s+1-s}{s} \right) {r_2}^\prime$ $= \dfrac{{r_2}^\prime}{s}$

 

$\therefore \text{二次側の合成抵抗分} = \dfrac{{r_2}^\prime}{s}$

 

求めた二次側の合成抵抗分は一相分の抵抗分で、流れる電流は ${I_1}^\prime$ であるので、求める三相分の二次入力 $P_2$ は次のようになります。

 

$P_2 = 3 \times {{I_1}^\prime}^2 \, \dfrac{{r_2}^\prime}{s} = 3 \dfrac{{{I_1}^\prime}^2 \, {r_2}^\prime}{s}$

 

$\therefore P_2 = 3 \dfrac{{{I_1}^\prime}^2 \, {r_2}^\prime}{s}$ [$ \mathrm{W} $]

 

三相分の二次銅損PC2の求め方

二次銅損は二次抵抗 ${r_2}^\prime$ による損失であるので、一相分の二次銅損を ${P_{C2}}^\prime$ とすると ${P_{C2}}^\prime$ は次式となります。

 

${P_{C2}}^\prime = {{I_1}^\prime}^2 \, {r_2}^\prime$

 

したがって、三相分の二次銅損 $P_{C2}$ は一相分の二次銅損 ${P_{C2}}^\prime$ の3倍なので、

 

$P_{C2} = 3 \times {P_{C2}}^\prime = 3 {{I_1}^\prime}^2 \, {r_2}^\prime$

 

$\therefore P_{C2} = 3 {{I_1}^\prime}^2 \, {r_2}^\prime$ [$ \mathrm{W} $] となります。

 

三相分の出力POの求め方

出力は等価回路の二次側の負荷抵抗 $\dfrac{1-s}{s} {r_2}^\prime$ で消費される電力になります。

 

等価回路の二次側の負荷抵抗

 

この負荷抵抗(等価回路)は一相分を表わしているので、求める三相分の出力 $P_o$ は次式となります。

 

$P_o = 3 \times {{I_1}^\prime}^2 \, \left( \dfrac{1-s}{s} {r_2}^\prime \right)$ $= 3 {{I_1}^\prime}^2 \, \left( \dfrac{1-s}{s} \right) {r_2}^\prime$

 

$\therefore P_o = 3 {{I_1}^\prime}^2 \, \left( \dfrac{1-s}{s} \right) {r_2}^\prime$ [$ \mathrm{W} $]

 

効率ηの求め方

効率は電動機の出力を電動機の入力で割ったもので表わされます。

 

ここで電動機の入力 $P_{in}$ は、電動機の出力+電動機の損失分であるので、すなわち、

 

電動機の入力 $P_{in}$ = 電動機の出力 $P_o$ + 鉄損 $P_i$ + 一次銅損 $P_{C1}$ + 二次銅損 $P_{C2}$

 

となります。

 

したがって効率 $\eta$ は、

 

$\eta = \dfrac{P_o}{P_in} \times 100$ $= \dfrac{P_o}{P_o + P_i + P_{C1} + P_{C2}} \times 100$

 

$\therefore \eta = \dfrac{P_o}{P_o + P_i + P_{C1} + P_{C2}} \times 100$ [$ \mathrm{\%} $] となります。

 

等価回路のまとめ

等価回路の各抵抗とそれぞれの抵抗が表わす値

等価回路の各抵抗とそれぞれの抵抗が表わす値(意味)は、次の図のようになります。

 

等価回路と各抵抗が表わす値

 

三相誘導電動機のL形等価回路の別表現

三相誘導電動機のL形等価回路は、${r_2}^\prime$ と $\dfrac{1-s}{s} {r_2}^\prime$ を合成した次のような等価回路で表わすこともあります。

 

三相誘導電動機のL形等価回路の別表現

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