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直流発電機の誘導起電力

直流発電機の誘導起電力の公式

直流発電機の誘導起電力 $E$ を与える式は、

 

$E$ :直流発電機の誘導起電力 [$ \mathrm{V} $]
$a$ :並列回路数(重ね巻の場合 $a=p$、波巻の場合 $a=2$)
$p$ :磁極数
$Z$ :電機子の導体総数
$N$ :電機子の回転速度 [$ \mathrm{min^{-1}} $]

 

とすると、次式で与えられます。

 

$E=\dfrac{pZ}{60a} \phi N$ [$ \mathrm{V} $]

 

直流発電機の誘導起電力の式の導出

直流発電機の誘導起電力の式は、次のようにすると導出できます。

 

ファラデーの電磁誘導の法則より、ある $n$[本]の導体が時間 $\varDelta t$[$ \mathrm{s} $]の間に $\varDelta \phi$[$ \mathrm{Wb} $]の磁束を切るとき、このときに発生する誘導起電力 $e$ は次式で与えられます。

 

$e=n \dfrac{\varDelta \phi}{\varDelta t}$ [$ \mathrm{V} $] …@

 

ここで、@式の $\dfrac{\varDelta \phi}{\varDelta t}$ は、$\varDelta t = 1$[$ \mathrm{s} $]とすれば $\dfrac{\varDelta \phi}{\varDelta t}$ は1秒間の磁束 $\phi$ の変化量ということになるので、例えば次のように磁束密度 $B$[$ \mathrm{T} $]の中で、長さ $l$[$ \mathrm{m} $]の導体が速度 $v$[$ \mathrm{m / s} $]で移動している場合、$\dfrac{\varDelta \phi}{\varDelta t}$ は、$\dfrac{\varDelta \phi}{\varDelta t} = B \cdot vl = Blv$ と表わされます。

 

ファラデーの電磁誘導の法則
(移動速度 $v$ は導体が1秒間に進む距離なので、$l \times v$ が1秒間に磁束を切る面積になります。)

 

したがって、 $n$[本]の導体が磁束を切る場合の誘導起電力 $e$ は、次のようになります。

 

$e=nBlv$ [$ \mathrm{V} $] …A

 

次に、A式の $n$、$B$、$v$ について、直流発電機と対応させて考えてみます。

 

直流発電機の電機子巻線の導体総数を $Z$、並列回路数を $a$ とすると、直列導体数 $n$ は、

 

$n = \dfrac{Z}{a}$ …B となります。

 

また、電機子の直径を $D$[$ \mathrm{m} $]、長さを $l$[$ \mathrm{m} $]、磁極数を $p$、毎極の有効磁束を $ \phi $[$ \mathrm{Wb} $]とすれば、電機子の周辺の平均磁束密度 $B$ は、

 

$B = \dfrac{\text{全磁束}}{\text{電機子の周辺の面積}} = \dfrac{p \cdot \phi}{\pi D \cdot l}$

 

$\therefore B = \dfrac{p \phi}{\pi D l}$ [$ \mathrm{T} $] …C となります。($\pi D$ は円周で、半径を $r$ とすると $\pi D = 2 \pi r$ です。)

 

速度 $v$ については、電機子の半径を $r$[$ \mathrm{m} $]、電機子の回転角速度を $\omega$[$ \mathrm{rad / s} $]とすれば、$v=r \omega$ であるので、これを電機子の直径 $D$、電機子の回転速度 $N$[$ \mathrm{min^{-1}} $]で表わすと次のようになります。($f$ は周波数で、$\omega = 2 \pi f$ です。)

 

$v = r \omega = r \cdot 2 \pi f = 2 \pi r \cdot f$ $= \pi \cdot 2r \cdot \dfrac{N}{60}$ $= \pi D \dfrac{N}{60}$

 

$\therefore v = \pi D \dfrac{N}{60}$ [$ \mathrm{m / s} $] …D

 

以上より、B、C、D式をA式に代入すると、

 

$e = nBlv = \dfrac{Z}{a} \cdot \dfrac{p \phi}{\pi D l} \cdot l \cdot \pi D \dfrac{N}{60}$ $= \dfrac{Z p \phi N}{60 a}$ $= \dfrac{p Z}{60 a} \phi N$

 

$\therefore e = \dfrac{p Z}{60 a} \phi N$

 

したがって、$e=E$ とすれば、直流発電機の誘導起電力を与える式は次式となります。

 

$\therefore E = \dfrac{p Z}{60 a} \phi N$ [$ \mathrm{V} $]

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