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ループ解析とは?

ループ解析とはキルヒホッフの第二法則(電圧則)を応用した電気回路の解析方法で、このループ解析をおぼえておくと、回路が複雑であっても機械的に解くことができるので実務でも役に立ちます。(ただし、回路によっては計算がちょっと大変になることもあります。)

 

ちなみに解析とは、電気回路中の各部の電圧、電流を求めることなどをいい「回路を解く」とほぼ同じ意味と考えてもらっていいです。

ループ解析の基本的な手順と使い方

ループ解析の基本的な手順は次のようになります。

 

@ループを決め各ループに流れる電流を仮定する。
A各ループについて回路方程式を作る。
BAで作った回路方程式(連立方程式)を解いて各ループ電流を求める。
CBで求めた各ループ電流から各素子に流れる電流を求める。
DCで求めた電流から各素子にかかる電圧を求める。

 

それでは実際にこの手順に従ってループ解析をしてみます。

 

例えば次のような回路があるとして、それぞれの抵抗R1、R2、R3にかかる電圧と抵抗R1、R2、R3に流れる電流をループ解析で求めます。

 

ループ解析の回路

 

@ループを決め各ループに流れる電流を仮定する。
次のようにループ@とループAを考え、それぞれのループに流れる電流をI1、I2と仮定します。

 

ループ@とループA

 

このとき、電流が流れる向きも仮定することに注意してください。
この場合、ループ@、ループAともに時計回りを正としています。
また、R2にはループ@の電流とループAの電流があるので、R2に実際に流れる電流を求めるときはループ@に流れる電流I1からループAに流れる電流I2を引いて求めます。

 

A各ループについて回路方程式を作る。
ループ@の回路方程式は次のようになります。
V=R1I1+R2(I1−I2)  ・・・(A)
(↑R2に流れる電流I1とI2は互いに逆向きなので引き算しています。)
0=R3I2+R2(I2−I1)  ・・・(B)
(↑電源がないループなので左辺はゼロになります。電流の符号にも注意しましょう。)

 

BAで作った回路方程式(連立方程式)を解いて各ループ電流を求める。
(A)と(B)の連立方程式を電流I1、I2について解けばループ@とループAの電流が求められます。
(A)式より、
I2を求める式の展開(1)
I2を求める式の展開(2)
I2を求める式の展開(3)
I2を求める式の展開(4)
(B)式より、
I2を求める式の展開(5)
(C)を(D)式に代入すると、
I2を求める式の展開(6)
I2を求める式の展開(7)

I2を求める式の展開(8)
I2を求める式の展開(9)
I2を求める式の展開(10)
I2を求める式の展開(11)
I2を求める式の展開(12)
(↑ループAの電流I2の式)
電流I2の式が求められたので、(E)を(C)式に代入して電流I1の式を求めます。
I1を求める式の展開(1)
I1を求める式の展開(2)

I1を求める式の展開(3)
I1を求める式の展開(4)
I1を求める式の展開(5)
I1を求める式の展開(6)
(↑ループ@の電流I1の式)
したがって(E)、(F)より、ループ@とループAの電流I1、I2は、
I1の式
I2の式
となります。

 

CBで求めた各ループ電流から各素子に流れる電流を求める。
R1に流れる電流はループ@に流れる電流そのままなので、
R1に流れる電流の式
R2に流れる電流の向きを紙面下向きを正と仮定すると、R2に流れる電流はI1からI2を引いた値になるので、
R2に流れる電流の式の展開(1)
R2に流れる電流の式の展開(2)
R2に流れる電流の式の展開(3)
R2に流れる電流の式
R3に流れる電流はループAに流れる電流そのままなので、
R3に流れる電流の式

 

DCで求めた電流から各素子にかかる電圧を求める。
Cで各素子(R1、R2、R3)に流れる電流が求められたので、求めた電流から各素子にかかる電圧を求めます。
R1にかかる電圧はR1に流れる電流が(I)式で与えられるので、
R1にかかる電圧の式の展開
R1にかかる電圧の式
R2にかかる電圧はR2に流れる電流が(J)式で与えられるので、
R2にかかる電圧の式の展開
R2にかかる電圧の式
R3にかかる電圧はR3に流れる電流が(K)式で与えられるので、
R3にかかる電圧の式の展開
R3にかかる電圧の式

 

以上(I)〜(N)より、R1、R2、R3にかかる電圧と流れる電流をループ解析で求めることができました。

 

 

 

このページの回路と同じ回路を、分圧の法則による直流回路の計算のページでは分圧の法則を使って、また、分流の法則による直流回路の計算のページでは分流の法則を使って計算していますので参考にしてみてください。

 

直流回路を解く解き方にはいろいろな計算方法があることが分かるかと思います。(もちろん計算結果はどれも同じになります。)

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