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ループ解析とは?

ループ解析とはキルヒホッフの第二法則(電圧則)を応用した電気回路の解析方法で、このループ解析をおぼえておくと、回路が複雑であっても機械的に解くことができるので実務でも役に立ちます。(ただし、回路によっては計算がちょっと大変になることもあります。)

 

ちなみに解析とは、電気回路中の各部の電圧、電流を求めることなどをいい「回路を解く」とほぼ同じ意味と考えてもらっていいです。

ループ解析の基本的な手順と使い方

ループ解析の基本的な手順は、次のようになります。

 

ループ解析の基本的な手順

@ループを決め、各ループに流れる電流を仮定する。
A各ループについて回路方程式を作る。
BAで作った回路方程式(連立方程式)を解いて各ループ電流を求める。
CBで求めた各ループ電流から各素子に流れる電流を求める。
DCで求めた電流から各素子にかかる電圧を求める。

 

それでは、実際にこの手順に従ってループ解析をしてみます。

 

例えば次のような回路があるとして、それぞれの抵抗 $R_1$、$R_2$、$R_3$ にかかる電圧と、抵抗 $R_1$、$R_2$、$R_3$ に流れる電流をループ解析で求めます。

 

ループ解析の回路

 

@ループを決め、各ループに流れる電流を仮定する。

次のようにループ@とループAを考え、それぞれのループに流れる電流を $I_1$、$I_2$ と仮定します。

 

ループ@とループA

 

このとき、電流が流れる向き も仮定することに注意してください。ここでは、ループ@、ループAともに時計回りを正としています。

 

また、$R_2$ にはループ@の電流とループAの電流があるので、$R_2$ に実際に流れる電流を求めるときは、ループ@に流れる電流 $I_1$ からループAに流れる電流 $I_2$ を引いて求めます。

 

A各ループについて回路方程式を作る。

ループ@の回路方程式は、次のようになります。

 

$V = R_1 I_1 + R_2 \left( I_1 - I_2 \right)$ …($\mathrm{A}$)
(↑$R_2$ に流れる電流 $I_1$ と $I_2$ は互いに逆向きなので引き算しています。)

 

ループAの回路方程式は、次のようになります。

 

$0 = R_3 I_2 + R_2 \left( I_2 - I_1 \right)$ …($\mathrm{B}$)
(↑電源がないループなので左辺はゼロになります。電流の符号にも注意しましょう。)

 

BAで作った回路方程式(連立方程式)を解いて各ループ電流を求める。

($\mathrm{A}$)と($\mathrm{B}$)の連立方程式

 

$\left\{ \begin{array}{l} V = R_1 I_1 + R_2 \left( I_1 - I_2 \right) \text{…(} \mathrm{A} \text{)} \\ 0 = R_3 I_2 + R_2 \left( I_2 - I_1 \right) \text{…(} \mathrm{B} \text{)} \end{array} \right.$

 

を電流 $I_1$、$I_2$ について解けば、ループ@とループAの電流が求められます。

 

($\mathrm{A}$)式より、

 

$V = R_1 I_1 + R_2 I_1 - R_2 I_2$ 、 $V = \left( R_1 + R_2 \right) I_1 -R_2 I_2$ 、 $\left( R_1 + R_2 \right) I_1 = V + R_2 I_2$

 

$\therefore I_1 = \dfrac{V +R_2 I_2}{R_1 + R_2}$ …($\mathrm{C}$)

 

($\mathrm{B}$)式より、

 

$\therefore 0 = R_3 I_2 + R_2 I_2 - R_2 I_1$ …($\mathrm{D}$)

 

($\mathrm{C}$)を($\mathrm{D}$)式に代入すると、

 

$0 = R_3 I_2 + R_2 I_2 - R_2 \cdot \dfrac{V +R_2 I_2}{R_1 + R_2}$

 

$0 = R_3 I_2 + R_2 I_2 - \dfrac{R_2 V +{R_2}^2 I_2}{R_1 + R_2}$

 

$0 = R_3 I_2 + R_2 I_2 - \dfrac{R_2 V}{R_1 + R_2}$ $- \dfrac{{R_2}^2}{R_1 + R_2} I_2$

 

$\left( R_3 + R_2 - \dfrac{{R_2}^2}{R_1 + R_2} \right) I_2$ $= \dfrac{R_2 V}{R_1 + R_2}$

 

$\dfrac{\left( R_3 + R_2 \right) \left( R_1 + R_2 \right) - {R_2}^2}{R_1 + R_2} I_2$ $= \dfrac{R_2 V}{R_1 + R_2}$

 

$\left( R_1 R_3 + R_2 R_3 + R_1 R_2 + {R_2}^2 - {R_2}^2 \right)$ $I_2$ $= R_2 V$

 

$\therefore I_2 = \dfrac{R_2 V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$ …($\mathrm{E}$) (←ループAの電流 $I_2$ の式)

 

電流 $I_2$ の式が求められたので、($\mathrm{E}$)を($\mathrm{C}$)式に代入して電流 $I_1$ の式を求めます。

 

$I_1$ $= \dfrac{V + R_2 \cdot \dfrac{R_2 V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}}{R_1 + R_2}$ $= \dfrac{\dfrac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3 +{R_2}^2}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3} V}{R_1 + R_2}$

 

$= \dfrac{\left( R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3 + {R_2}^2 \right) V}{\left( R_1 + R_2 \right) \left( R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3 \right)}$ $= \dfrac{\left\{ R_1 \left( R_2 + R_3 \right) + R_2 \left( R_2 + R_3 \right) \right\} V}{\left( R_1 + R_2 \right) \left( R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3 \right)}$

 

$= \dfrac{\left( R_2 + R_3 \right) \left( R_1 + R_2 \right) V}{\left( R_1 + R_2 \right) \left( R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3 \right)}$

 

$\therefore I_1 = \dfrac{\left( R_2 + R_3 \right) V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$ …($\mathrm{F}$) (←ループ@の電流 $I_1$ の式)

 

したがって($\mathrm{E}$)、($\mathrm{F}$)より、ループ@とループAの電流 $I_1$、$I_2$ は、

 

$\therefore$ ループ@の電流: $I_1 = \dfrac{\left( R_2 + R_3 \right) V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$ [$ \mathrm{A} $] …($\mathrm{G}$)

 

$\therefore$ ループAの電流: $I_2 = \dfrac{R_2 V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$ [$ \mathrm{A} $] …($\mathrm{H}$)

 

となります。

 

CBで求めた各ループ電流から各素子に流れる電流を求める。

$R_1$ に流れる電流は、ループ@に流れる電流そのままなので、

 

$\therefore R_1\text{に流れる電流}$ $= \dfrac{\left( R_2 + R_3 \right) V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$ [$ \mathrm{A} $] …($\mathrm{I}$)

 

$R_2$ に流れる電流の向きを紙面下向きを正と仮定すると、$R_2$ に流れる電流は $I_1$ から $I_2$ を引いた値になるので、

 

$R_2 \text{に流れる電流} = I_1 - I_2$

 

$= \dfrac{\left( R_2 + R_3 \right) V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$ $- \dfrac{R_2 V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$ $= \dfrac{R_2 V + R_3 V - R_2 V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$

 

$\therefore R_2 \text{に流れる電流}$ $= \dfrac{R_3 V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$ [$ \mathrm{A} $] …($\mathrm{J}$)

 

$R_3$ に流れる電流は、ループAに流れる電流そのままなので、

 

$\therefore R_3 \text{に流れる電流}$ $= \dfrac{R_2 V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$ [$ \mathrm{A} $] …($\mathrm{K}$)

 

DCで求めた電流から各素子にかかる電圧を求める。

Cで各素子($R_1$、$R_2$、$R_3$)に流れる電流が求められたので、求めた電流から各素子にかかる電圧を求めます。

 

$R_1$ にかかる電圧は、$R_1$ に流れる電流が($\mathrm{I}$)式で与えられるので、

 

$R_1\text{にかかる電圧}$ $= \dfrac{\left( R_2 + R_3 \right) V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3} \times R_1$

 

$\therefore R_1\text{にかかる電圧}$ $= \dfrac{R_1 \left( R_2 + R_3 \right) V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$ [$ \mathrm{V} $] …($\mathrm{L}$)

 

$R_2$ にかかる電圧は、$R_2$ に流れる電流が($\mathrm{J}$)式で与えられるので、

 

$R_2 \text{にかかる電圧}$ $= \dfrac{R_3 V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3} \times R_2$

 

$\therefore R_2 \text{にかかる電圧}$ $= \dfrac{R_2 R_3 V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$ [$ \mathrm{V} $] …($\mathrm{M}$)

 

$R_3$ にかかる電圧は、$R_3$ に流れる電流が($\mathrm{K}$)式で与えられるので、

 

$R_3 \text{にかかる電圧}$ $= \dfrac{R_2 V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3} \times R_3$

 

$\therefore R_3 \text{にかかる電圧}$ $= \dfrac{R_2 R_3 V}{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_3}$ [$ \mathrm{V} $] …($\mathrm{N}$)

 

以上($\mathrm{I}$)〜($\mathrm{N}$)より、$R_1$、$R_2$、$R_3$ にかかる電圧と流れる電流をループ解析で求めることができました。

 

 

 

このページの回路と同じ回路を、分圧の法則による直流回路の計算のページでは分圧の法則を使って、また、分流の法則による直流回路の計算のページでは分流の法則を使って計算していますので参考にしてみてください。
直流回路を解く解き方にはいろいろな計算方法があることが分かるかと思います。(もちろん計算結果はどれも同じになります。)

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